Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

называется потоком вектора напряженности через площадку dS,

гдеЕnпроекция вектора напряжённости на нормаль n к площадке dS .

Единица потока вектора напряженности электростатического поля — 1 В×м.

Примечание. Полный поток вектора напряжённости электрического поля определяется интегрированием выражения для «элементарного» потока через площадку dS по всей поверхностиS.

Немецким ученым К. Гауссом (1777—1855) была доказана теорем, определяющая поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверх­ность.

В соответствии с выводами предыдущего раздела, поток вектора напряженности Теорема гаусса для электростатического поля в вакуумесквозь сферичес­кую поверхность радиусаr. охватывающую точечный заряд Q. находящийся в ее центре, будет равен

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы.

Действительно, если окружить сферу произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Теорема гаусса для электростатического поля в вакуумеЕсли замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рисунок слева), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее.

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.

Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q . поток вектора Е будет равен Q/e0 . т. е. теорема Гаусса не теряет справедливости.

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов.

Вводя суммирование под знак интеграла, записываем, что

Согласно закону Гаусса, каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Qi /e0 . Следовательно,

Полученная формула выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме:

поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произ­вольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e0 .

Примечание. В специальной литературе она также носит название теоремы Остроградского-Гаусса.

В общем случае электрические заряды могут быть размещены с некоторой объемной плотностью r=dQ/dV. . Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S. охватывающей некоторый объем V ,

Используя эту формулу, теорему Гаусса можно записать так:

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме
Главная | О нас | Обратная связь

Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме

Рассмотрим однородное электростатическое поле. Выделим в этом поле небольшую площадку dS (Рис.8.5).

Величина называется элементарным потоком векторанапряженности через площадку dS.

Здесь =dS — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали к площадке.

Единица потока вектора напряженности электростатического поля — 1 В. м.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора сквозь эту поверхность

где интеграл берется по замкнутой поверхности S. Поток вектора является алгебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля . но и от выбора направления . Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т.е. нормаль, направленная наружу области, охватываемой поверхностью.

В электростатике графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности (см.п.8.2.).Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, условились проводить их с определенной густотой: число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора .

Тогда число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль которойобразует угол с вектором . равно и, следовательно, численно равно потоку вектора напряженности через площадку.

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.

В соответствии с формулой (8.5.1.) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд q, находящийся в ее центре (рис.8.6), равен

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить заряд (рис.8.6) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд q, поток вектора будет равен . т.е.

Знак потока совпадает со знаком заряда q.

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции напряженность поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Поэтому

Согласно (8.5.2.), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен . Следовательно,

Формула (8.5.3.) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме:

Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на .

Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М.В. Остроградским, а затем независимо от него применительно к электростатическому полю — К.Гауссом.

Применение теоремы Остроградского — Гаусса к расчету электрических полей. Поле равномерно заряженной непроводящей сферы, бесконечной равномерно заряженной пластины, двух параллельных пластин и прямой равномерно заряженной нити.

Теорема Остроградского — Гаусса облегчает расчет электрических полей.

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Вычисление напряженности поля большой системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно существенно упростить, используя теорему Гаусса. Эта теорема определяет поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора напряженности через эту поверхность определяется выражением

где проекция вектора на нормаль к площадке dS (рис. 1.10); вектор, модуль которого равен dS. а направление совпадает с направлением нормали к площадке ( ).

Рассмотрим сферическую поверхность радиуса r. охватывающую точечный заряд q. находящийся в ее центре (рис. 1.11). В соответствии с формулой (1.23) поток вектора напряженности сквозь эту поверхность будет равен:

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы: если окружить рассматриваемую сферу произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Рассмотрим теперь общий случай произвольной замкнутой поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции напряженность поля, создаваемого всеми зарядами, равна векторной сумме напряженностей полей, обусловленных каждым зарядом в отдельности; поэтому поток вектора напряженности результирующего поля будет равен:

Согласно (1.24) каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен . Следовательно,

т.е. поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную.

Применим теорему Гаусса для определения напряженности поля равномерно заряженной бесконечной плоскости. В этом случае ее поверхностная плотность заряда

одинакова в любом месте плоскости. Это означает, что линии напряженности перпендикулярны плоскости в любой точке, т.е. поле заряженной плоскости однородно (рис. 1.12).

Мысленно выделим в пространстве цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости и одно из оснований проходит через интересующую нас точку. Согласно теореме Гаусса,

С другой стороны, так как линии напряженности пересекают только основания цилиндра, поток вектора можно выразить через напряженность электрического поля у обоих оснований цилиндра, т.е.

Приведем (без вывода) выражения для расчета напряженности электростатического поля, образованного некоторыми другими заряженными телами:

1. Напряженность поля, создаваемого разноименно заряженными параллельными бесконечно протяженными плоскостями (поле плоского конденсатора)

2. Напряженность поля, образованного заряженным шаром

где заряд шара радиуса ; расстояние от центра шара до точки поля ( ).

3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечно длинной нити (цилиндра)

где линейная плотность заряда на нити (заряд, приходящийся на единицу длины); расстояние от нити до точки поля.

§81. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом (1777—1855) теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность.

В соответствии с формулой (79.3) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q. находящийся в ее центре (рис. 124),

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить сферу (рис. 124) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 125), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

в поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.

Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/0. т. е.

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

Знак потока совпадает со знаком заряда Q. Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции (80.2) напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напря-женностей Еi. создаваемых каждым зарядом в отдельности:Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме;. Поэтому

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

Согласно (81.1), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Qi /0. Следовательно,

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

Формула (81.2) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на 0. Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М. В. Остроградским (1801 —1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю — К. Гауссом.

В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой

объемной плотностью =dQ/dV, различной

в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V,

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

Используя формулу (81.3), теорему Гаусса (81.2) можно записать так:

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

§ 82. Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 126) заряжена с постоянной поверхностной плотностью +  (=dQ/dS—заряд, приходящийся на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (cos=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания En совпадает с Е), т.е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен S. Согласно теореме Гаусса (81.2), 2ES =S/0, откуда

Из формулы (82.1) вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, ины-

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

ми словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.

2.Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 127). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями + и -. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние — от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля E =0. В области между плоскостями E =E+ +E (E+ и E определяются по формуле (82.1)), поэтому результирующая напряженность

Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается формулой (82.2), а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +0. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией.

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 128). Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R. то внутрь поверхности попадает весь заряд Q. создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (81.2), 4r 2 E =Q/0. откуда

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости E от r приведен на рис. 129. Если r. то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (E =0).

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме. Применение теоремы Гаусса к расчёту некоторых электростатических полей в вакууме.

Задачу вычисления напряженности поля системы электрических зарядов, используя помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно сильно облегчить, если применять открытую немецким ученым К. Гауссом (1777—1855) теорему, которая определяет поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.

Из определения потока вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность, поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, которая охватывает точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис. 1), равен

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности произвольной формы. Действительно, если заключить сферу (рис. 1) в произвольную замкнутую поверхность, то каждая линия напряженности, которая пронизывает сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

В случае, если замкнутая поверхность любой формы охватывает заряд (рис. 2), то при пересечении любой линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. При вычислении потока нечетное число пересечений в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток полагается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, которые входят в поверхнЕсли замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, которые входят в поверхность, равно числу линий напряженности, которые выходят из нее.

Значит, для поверхности произвольной формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/&#&49;0. т. е.

Знак потока совпадает со знаком заряда Q.

Исследуем общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. Используя с принцип суперпозиции, напряженность Е поля, которая создавается всеми зарядами, равна сумме напряженностей Ei полей, которые создаваются каждым зарядом в отдельности. Поэтому

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

Согласно (1), каждый из интегралов, который стоит под знаком суммы, равен Qi /&#&49;0. Значит,

Формула (2) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме. поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на &#&49;0. Эта теорема получена математически для векторного поля произвольной природы русским математиком М.В.Остроградским (1801—1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю — К. Гауссом.

В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью &#&61;=dQ/dV, которая различна в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, которая охватывает некоторый объем V,

Используя формулу (3), теорему Гаусса (2) можно записать так:

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме

Циркуляцией вектора напряженности называется работа, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому пути L

Так как работа сил электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю (работа сил потенциального поля), следовательно циркуляция напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю.

Потенциал электростатического поля. Поле консервативной силы может быть описано не только векторной функцией, но эквивалентное описание этого поля можно получить, определив в каждой его точке подходящую скалярную величину. Для электростатического поля такой величиной является потенциал электростатического поля. определяемый как отношение потенциальной энергии пробного заряда q к величине этого заряда,  = Wп / q. откуда следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Единицей измерения потенциала служит Вольт (1 В).

Потенциал поля точечного зарядаQ в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью  :

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме .

Принцип суперпозиции. Потенциал есть скалярная функция, для неё справедлив принцип суперпозиции. Так для потенциала поля системы точечных зарядов Q1,Q2 , Qn имеем

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме ,

где ri — расстояние от точки поля, обладающей потенциалом , до заряда Qi . Если заряд произвольным образом распределен в пространстве, то

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме ,

где r — расстояние от элементарного объема dx. dy. dz до точки (x. y. z ), где определяется потенциал; V — объем пространства, в котором распределен заряд.

Потенциал и работа сил электрического поля. Основываясь на определении потенциала, можно показать, что работа сил электрического поля при перемещении точечного заряда q из одной точки поля в другую равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках пути, A = q (  &#614&0; 
Если по аналогии с потенциальной энергией считать, что в точках, бесконечно удалённых от электрических зарядов — источников поля, потенциал равен нулю, то работу сил электрического поля при перемещении заряда q из точки 1 в бесконечность можно представить как Aq1 .
Таким образом, потенциал â данной точке электростатического поля — это физическая величина, численно равная работе, совершаемой силами электрического поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из данной точки поля в бесконечно удаленную.  = A / q .
В некоторых случаях потенциал электрического поля нагляднее определяется как физическая величина, численно равная работе внешних сил против сил электрического поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из бесконечности в данную точку. Последнее определение удобно записать следующим образом:

Теорема гаусса для электростатического поля в вакууме .

В современной науке и технике, особенно при описании явлений, происходящих в микромире, часто используется единица работы и энергии, называемая электрон-вольтом (эВ). Это работа, совершаемая при перемещении заряда, равного заряду электрона, между двумя точками с разностью потенциалов 1 В: 1 эВ = 1,6010 &#6148&; Кл1 В = 1,6010 &#6148&; Дж

Эквипотенциальные поверхности — понятие, применимое к любому потенциальному векторному полю, например, к статическому электрическому полю или к ньютоновскому гравитационному полю. Эквипотенциальная поверхность — это поверхность, на которой скалярный потенциал данного потенциального поля принимает постоянное значение (поверхность уровня потенциала). Другое, эквивалентное, определение — поверхность, в любой своей точке ортогональная силовым линиям поля.

Поверхность проводника в электростатике является эквипотенциальной поверхностью. Кроме того, помещение проводника на эквипотенциальную поверхность не вызывает изменения конфигурации электростатического поля. Этот факт используется в методе изображений, который позволяет рассчитывать электростатическое поле для сложных конфигураций.

В (стационарном) гравитационном поле уровень неподвижной жидкости устанавливается по эквипотенциальной поверхности. В частности, приближенно можно утверждать, что по эквипотенциальной поверхности гравитационного поля Земли проходит уровень океанов [1]. Форма поверхности океанов [2]. продолженная на поверхность Земли, называется геоидом и играет важную роль в геодезии. Геоид, таким образом является эквипотенциальной поверхностью силы тяжести, состоящей из гравитационной и центробежной составляющей.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *