Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

Существуют два равнозначных определения консервативной силы. Оба они подробно обсуждались в механике.

1. Консервативной называется сила, работа которой не зависит от формы траектории.

2. Консервативной называется сила, работа которой на замкнутой траектории равна нулю.

Рассмотрим перемещение заряда q в электростатическом поле по замкнутой траектории (рис. 3.5.). Заряд из точки 1 перемещается по пути L1 в точку 2, а затем возвращается в исходное положение по другому пути L2. В процессе этого движения на заряд со стороны поля действует консервативная электрическая сила: .

Работа этой силы на замкнутой траектории L = L1 + L2 равна нулю:

.Это уравнение, упростив, запишем так:

Разберём подробно последнее уравнение. Подынтегральное выражение — элементарная работа электрической силы, действующей на единичный положительный заряд, на перемещении (рис. 3.6.):

здесь q = 1 — единичный заряд.

При подсчёте работы на замкнутой траектории необходимо сложить элементарные работы электрической силы на всех участках траектории. Иными словами, проинтегрировать (3.19) по замкнутому контуру L :

Интеграл по замкнутому контуру = называется циркуляцией вектора напряжённости электростатического поля по контуру L. По своей сути циркуляция вектора напряжённости — это работа электростатического поля, совершаемая при перемещении по замкнутому контуру единичного положительного заряда.

Так как речь идёт о работе консервативной силы, то на замкнутой траектории она равна нулю:

.Теорема о циркуляции в электростатике: циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю .

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

32. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поляТеорема о циркуляции в электростатике: циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

33. Теореме Гаусса для электростатического поля в вакууме. Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности поля бесконечной заряженной плоскости, поля конденсатора.теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме . поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε0 .Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Пусть электрическое поле создаётся зарядом, равномерно распределённым по поверхности безграничной плоскости, с поверхностной плотностью s. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Из симметрии задачи следует, что поле повсюду направлено перпендикулярно к поверхности. Выясним, как меняется напряжённость поля по мере удаления от заряженной плоскости.

В качестве гауссовой поверхности удобно выбрать цилиндр. Ось цилиндра направим перпендикулярно плоскости, его основание расположим на расстоянии Х симметрично по обе стороны от поверхности.

Вычислим поток вектора напряжённости через боковую поверхность и основания цилиндра. Как следует из рис. 2.8. поток вектора напряжённости Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического полячерез боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как здесь повсюду векторы напряжённости «скользят» по поверхности иТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

Тогда полный поток через замкнутую цилиндрическую поверхность можно записать как поток через два основания цилиндра.

Это величина, рассчитанная по определению потока.

Теперь воспользуемся теоремой Гаусса, заметив, что заряд q. «находящийся внутри гауссовой поверхности», в данном случае сосредоточен на площадкеS =Sосн. «вырезанной» цилиндром на бесконечной плоскости

Объединим результаты(2.15) и (2.14) в уравнение Гаусса:

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Вывод .Поле, созданное бесконечной равномерно заряженной плоскостью, однородно. Оно не меняется с расстоянием от заряженной поверхности ни по величине, ни по направлению.

Теперь рассмотрим еще один важный пример. Пусть поле создаётся двумя бесконечными плоскостями, заряженными разноименно, но с одинаковой по величине поверхностной плотностью заряда (рис. 2.9.). Это важная идеализация электростатики — плоский конденсатор. Каждая обкладка этого конденсатора создаёт однородное поле, напряжённость которого мы только что установили (2.16):

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Силовые линии поля положительно заряженной плоскости направлены от неё, а отрицательной — к плоскости. При сложении этих полей, напряжённость результирующего поля вне конденсатора оказывается равной нулю, а внутри конденсатора, где эти поля совпадают по направлению, — поле удваивается:

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

34. Теореме Гаусса. Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности поля заряженной сферической поверхности и объемно заряженного шара.

Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно споверхностной плотностью +σ. Т.к. заряд распределен равномернопо поверхности то поле, которое создавается им, обладает сферической симметрией. Значит линии напряженности направлены радиально (рис. 3). Проведем мысленно сферу радиуса r, которая имеет общий центр с заряженной сферой. Если r>R,ro внутрь поверхности попадает весь заряд Q, который создает рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, 4πr 2 E = Q/ε0. откудаТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля(3) При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. 4. Если r’

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Поле объемно заряженного шара. Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно собъемной плотностью ρ (ρ = dQ/dV – заряд, который приходится на единицу объема). Учитывая соображения симметрии, аналогичные п.3, можно доказать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в случае (3). Внутри же шара напряженность поля будет иная. Сфера радиуса r’0 =(4/3)πr’ 3 ρ/ε0. Т.к. ρ=Q/(4/3πR 3 )) получаемТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля(4) Значит, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r’ согласно зависимости (4). График зависимости Е от r для рассмотренного случая показан на рис. 5.

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

35. Напряженность поля бесконечной заряженной нити. ПустьТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля— поверхностная плотность заряда на плоскости (рис. 3).

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

В качестве поверхности площадью S выберем цилиндрическую поверхность, образующая которой перпендикулярна плоскости. Основания этого цилиндра расположены перпендикулярно линиям напряженности по обе стороны от плоскости. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля= 90°, cosТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля= 0), то поток через боковую поверхность цилиндра отсутствует, и полный поток через поверхность цилиндра равен сумме потоков через два основания: N = 2ES. Внутри цилиндра заключен заряд q =Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поляS, поэтому, согласно теореме Остроградского-Гаусса,

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

где Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля= 1 (для вакуума), откуда следует, что напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Бесконечная равномерно заряженная нить

Пусть Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля— линейная плотность заряда нити. Выделим участок нити длинойТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поляи окружим его цилиндрической поверхностью, расположенной так, что ось цилиндра совпадает с нитью (рис. 4).

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Линии напряженности электростатического поля, создаваемого нитью в сечении, перпендикулярном самой нити, направлены перпендикулярно боковой поверхности цилиндра, поэтому поток напряженности сквозь боковую поверхность Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля, где R — радиус цилиндра. Через оба основания цилиндра поток напряженности равен нулю (Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля= 90°, cosТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля= 0). Тогда полный поток напряженности через выделенный цилиндр

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Заряд, находящийся внутри этого цилиндра, Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

Согласно теореме Остроградского—Гаусса, можно записать

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Следовательно, модуль напряженности поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечно длинной нитью на расстоянии R от нее,

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

36. Проводники в электрическом поле. Определение: Проводниками называют материалы, имеющие так называемые свободные заряды, которые могут перемещаться в объеме проводника под действием сколь угодно малого внешнего электрического поля.

Примечание: Типичным примером проводников являются металлы, атомы которых при формировании кристалла решетки отдают в коллективное использование 1-3 Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля-в с внешних оболочек. Эти электроны, несмотря на то, что находятся в потенциальной яме объема проводника, весьма слабо связаны с атомом, то есть имеют большую подвижность (связь каждого электрона одновременно принадлежит всем атомам, что и обеспечивает их высокую подвижность).Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Примечание: При помещении проводников во внешнее электрическое поле, свободные заряды начинают перемещаться в этом поле, если в объем проводника был дополнительно внесен некоторый заряд, то под действием этого внешнего поля, этот дополнительный заряд распределиться по поверхности проводника.

Примечание: Таким образом, при электризации проводника сообщенный ему дополнительный заряд оказывается, распределен в области поверхности проводника. Это распределение заряда будет происходить до тех пор, пока при распределении заряда потенциал поля в любой точке проводника не станет одинаковым.

Отметим свойства заряженного проводника во внешнем электрическом поле.

1. Электрический потенциал в любой точке объема равен потенциалу в любой точке поверхности проводника.

2. Линии электрического поля перпендикулярны поверхности проводника.

3. При помещении заряда проводника во внешнее электрическое поле внутри объема проводника будет наблюдаться движение зарядов до тех пор, пока суммарное поле внутри объема, обусловленное внешним полем, и поле дополнительного заряда не станет равным нулю.Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Примечание: Эквипотенциальные поверхности огибают проводник, помещенный во внешнее электрическое поле, а одна из них, потенциал которой равен потенциалу проводника, пересекает его.

Примечание: Для любого проводника существует только одна поверхность, потенциал которой равен потенциалу поверхности проводника.

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля
Главная | О нас | Обратная связь

Поток и циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Теорема Гаусса для вектора напряженности

Возьмем произвольный контур (Г) и произвольную поверхность S в неоднородном электростатическом поле (рис.3.7,а,б).

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Тогда циркуляцией вектора по произвольному контуру (Г) называют интеграл вида :

а потоком ФЕ вектора через произвольную поверхность S следующее выражение

Входящие в эти формулы вектора и определяются следующим образом. По модулю они равны элементарной длине dl контура (Г) и площади dS элементарной площадки поверхности S. Направление вектора совпадает с направлением обхода контура (Г), а вектор направлен по вектору нормали к площадке dS (рис.3.7).

В случае электростатического поля циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру (Г) равна отношению работы Акруг сил поля по перемещению точечного заряда q по этому контуру к величине заряда и в соответствии с формулой (3.20) будет равна нулю

Из теории известно, что, если для произвольного поля вектора циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру (Г) равна нулю, то это поле является потенциальным. Следовательно, электростатическое поле является потенциальным и электрические заряды в нем обладают потенциальной энергией .

Если учесть, что густота линий определяет модуль вектора в данной точке поля, то тогда поток вектора будет численно равен количеству N линий . пронизывающих поверхность S.

На рис.3.8 приведены примеры расчета потока через различные поверхности S (рис.3.8,а,б,в поверхность S — плоская; рис.3.8,г S — замкнутая поверхность). В последнем случае поток через замкнутую поверхность равен нулю, так как количество линий . входящих ( ) и выходящих ( ) из нее, одинаково, но они берутся с противоположными знаками ( +>0, — <0).

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Для вектора можно сформулировать теорему Гаусса. определяющую поток вектора через произвольную замкнутую поверхность.

Теорема Гаусса в отсутствие диэлектрика (вакуум ) формулируется следующим образом: поток вектора через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов . охватываемых этой поверхностью, деленное на.

Эта теорема является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции электростатических полей.

Покажем справедливость теоремы для случая поля точечного заряда. Пусть замкнутая поверхность представляет собой сферу радиусом R, в центре которой находится точечный положительный заряд q (рис.3.9,а).

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

Полученный результат не изменится, если вместо сферы выбрать произвольную замкнутую поверхность (рис.3.9,б), так как поток вектора численно равен количеству линий . пронизывающих поверхность, а число таких линий в случаях а и б одинаково.

Такие же рассуждения с использованием принципа суперпозиции электростатических полей можно привести и в случае нескольких зарядов, попадающих внутрь замкнутой поверхности, что и подтверждает теорему Гаусса.

Терема Гаусса для векторав присутствии диэлектрика. В этом случае помимо свободных зарядов необходимо учитывать и связанные заряды . появляющиеся на противоположных гранях диэлектрика при его поляризации во внешнем электрическом (подробнее см. раздел диэлектрики). Поэтому теорема Гаусса для вектора в присутствии диэлектрика запишется таким образом

где в правую часть формулы входит алгебраическая сумма свободных и связанных зарядов, охватываемых поверхностью S.

Из формулы (3.28) вытекает физический смысл теоремы Гаусса для вектора . источниками электростатического поля вектора являются свободные и связанные заряды.

В частном случае симметричного расположения зарядов и диэлектрика, при наличии осевой или сферической симметрии или в случае изотропного однородного диэлектрика, относительная диэлектрическая проницаемость среды остается постоянной величиной, не зависящей от рассматриваемой внутри диэлектрика точки, и поэтому можно учесть наличие диэлектрика в формуле (3.28) не только введением связанных зарядов . но и параметром . что является более удобным при практических расчетах. Так, можно записать (см. параграф 3.1.12.6, формула (3.68))

Тогда теорема Гаусса для вектора в этом случае запишется так

где — относительная диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится поверхность S.

Отметим, что формула (3.29) применяется при решении задач на этот раздел, а также для большинства встречающихся на практике случаев.

webkonspect.com — сайт, с элементами социальной сети, создан в помощь студентам в их непростой учебной жизни.

Здесь вы сможете создать свой конспект который поможет вам в учёбе.

Чем может быть полезен webkonspect.com:

  • простота создания и редактирования конспекта (200 вопросов в 3 клика).
  • просмотр конспекта без выхода в интернет .
  • удобный текстовый редактор позволит Вам форматировать текст, рисовать таблицы, вставлять математические формулы и фотографии.
  • конструирование одного конспекта совместно с другом, одногрупником.
  • webkonspect.com — надёжное место для хранения небольших файлов.

Лекция №3. Работа сил электростатического поля. Циркуляция вектора напряженности

Лекция №3.
§1. Работа сил электростатического поля. Циркуляция вектора напряженности.
Как уже отмечалось на заряд q находящийся в электрическом поле другого заряда (или системы зарядов) будет действовать кулоновская сила. Вследствие этого свободный (не закрепленный) заряд q под действием этой силы будет перемещаться в пространстве.

Как известно их механики материальной точки, эта сила будет совершать механическую работу, не зависимо от того, какова природа силы.

ЭТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического полялементарная работа силы Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля на перемещении Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля равна: Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

В силу того, что кулоновская сила центральная, т.е. зависит только от расстояния r , .

Работа силы при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 равна:

Из формулы (1) видно, что эта работа не зависит от того пути, по которому перемещался заряд q. а зависит только от начального и конечного положений этого заряда.

Очевидно, что если мы каким-то «насильственным» образом переместим заряд q из точки 1 в точку 2, то мы совершаем работу против сил поля, которая также дается формулой (1).

Если вместо заряда мы имеем систему зарядов , то общая работа по перемещению заряда q на основании принципа суперпозиции полей, может быть представлена в виде суммы работ:

Если в результате перемещения заряд q оказывается в исходной точке, то, очевидно, путь (контур L ) перемещения этого заряда оказывается замкнутым и . Тогда: (2)

ИТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического полянтеграл Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля называется циркуляцией вектора Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поляпо контуру L. Поля. Обладающие свойством (2), называются потенциальными. а силы — консервативными.

Учитывая, что . Для замкнутого контура L найдем:

Формула (3) носит название теоремы о циркуляции вектора . циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю, а само электростатическое поле является потенциальным .

Условие потенциальности (3) можно сформулировать несколько в ином виде.

ПТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поляусть на замкнутый контур L опирается некоторая поверхность S.

Согласно теореме Стакса:

, где , а символический вектор-оператор «набла»: . Согласно (3) , откуда: (3*)

Условия (3) и (3*) – эквивалентны и являются условиями потенциальности электростатического поля. Они справедливы только для системы неподвижных зарядов. Для напряженности движущихся зарядов эти условия не выполняются и в дальнейшем будут изменены. с соответствующими дополнениями соотношения (3) и (3*) войдут в систему уравнений Максвелла.

§2. Потенциал электростатического поля.

ПТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поляоместим в поле заряда Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического полянекоторое материальное тело, на котором находится заряд Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля, предоставим ему возможность двигаться под действием кулоновской силы. Если заряд переместился из точки 1 в точку 2, то он приобрел скорость Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля, а следовательно и кинетическую энергию Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

Увеличение кинетической энергии материального тела могло произойти только за счет убыли потенциальной энергии заряженного тела. Как известно из механики, убыль потенциальной энергии равна работе консервативных сил (1): .

Отсюда следует, что потенциальная энергия заряда q . находящегося в поле , равна: .

Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной, в зависимости от того, что мы выбираем за первоначальный уровень отсчета потенциальной энергии.

Если полагать, что при удалении заряда q в бесконечность (∞), т.е. за пределы электрического поля заряда , то его потенциальная энергия и тогда С=0. В этом случае потенциальная энергия взаимодействия зарядов может быть записана в виде: (4).

Потенциальная энергия взаимодействия определяется только величиной зарядов q и , и их расположением относительно друг друга.

Если в точку поля, создаваемого зарядом , мы будем помещать разные заряды то в каждом случае потенциальная энергия взаимодействия будет различной .

Однако отношение будет одинаково. Эта величина:

называется потенциалом электрического поля точечного заряда q в данной точке пространства (r).

Если электрическое поле создается системой зарядов, то в силу принципа суперпозиции, потенциальная энергия заряда q (энергия взаимодействия заряда q с зарядами системы) равна:

а потенциал φ системы зарядов:

а)Потенциал поля, создаваемый системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов. создаваемых в данной точке пространства каждым зарядом в отдельности.

б)Потенциал φ является энергетической характеристикой электрического поля и наряду с напряженностью , которая является силовой характеристикой электрического поля, используется для описания электрического поля.

Каков физический смысл потенциала электрического поля? Чтобы это прояснить, вернемся еще раз к определению работы по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2.

ЭТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического полята работа равна:

Если взять заряд , то эта работа будет численно равна разности потенциалов в точках 1 и 2. Если теперь единичный заряд перемещать из данной точки в бесконечность, где по

определению , то эта работа будет численно равна потенциалу данной точки поля. Поэтому можно дать следующее определение потенциала:

потенциал электрического поля – физическая величина. определяемая работой ( и численно равная ей) по перемещению единичного заряда из данной точки поля в бесконечность (т.е. за пределы этого поля).

Единица потенциала: , т.е. потенциал точки, в которой заряд обладает энергией .

§3. Связь между потенциалом и напряженностью.
В предыдущем разделе мы определили, что работа по перемещению заряда q из одной точки в другую, может быть найдена двумя способами:

Приравнивая эти работы, найдём:

Выражение (7) дает связь между вектором и разностью потенциалов в интегральной форме.

В частности, если поле однородное , то:

где d – расстояние вдоль силовой линии .

Найдем связь между потенциалом φ и напряженностью в дифференциальной форме. При сложной конфигурации электрического поля, потенциал φ в общем случае есть некоторая скалярная координат точки, т.е. . Соответственно напряженность есть также некоторая векторная функция координат: .

Как следует из (7), если точки 1 и 2 взяты бесконечно близко, то:

Из последнего равенства следует:

Таким образом вектор связан с потенциалом φ следующим соотношением:

Знак «минус» указывает на то, что вектор направлен в сторону убывания потенциала .

Вектор градиента некоторой скалярной функции обладает следующими свойствами:

а) Указывает направление в пространстве, в котором функция изменяется с максимальной скоростью.

бТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля) Величина Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля даёт модуль вектора градиента. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля — нормаль к поверхности равного потенциала Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля (эквипотенциальной поверхности).

в) проекция вектора градиента на направление перпендикулярное равна нулю.
Как следует из (8), если потенциал определен, то компоненты вектора напряженности находятся простым дифференцированием потенциала , что значительно проще, чем искать три компонента вектора напряженности.

Наиболее удобно пользоваться формулой (8) в задачах, обладающих сферической симметрией, так как в этом случае:

Замечание 1. Потенциал «земли» или «заземленных» проводников равен нулю: . Поверхность Земли проводящая и простирается в бесконечность, где

Замечание 2. Потенциал — это непрерывная функция координат, в отличии от напряженности .
Пример. Рассмотрим проводящий шар радиуса R. на котором находится заряд Q. Определить потенциал вне и внутри шара.

РТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поляанее мы нашли. что поле вне шара, такое же как от точечного заряда Q. расположенного в центре шара: Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля; Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля. Внутри шара Е=0. Таким образом потенциал вне шара: Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля; Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля. Внутри шара Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля. Но потенциал – непрерывная функция r.

ГТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического полярафик зависимости потенциала Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля и напряженности E даны на рисунке:

Задача № 15.15 (Чертов)
ДТеорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поляано:

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля

На произвольном расстоянии x от данной точки х=0 выбираем элемент dx, его заряд . Этот элемент в точке х=0 создает потенциал.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *