Сумма векторов в координатах

Действия с векторами в координатах

В первой части урока мы рассматривали правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассматривали их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда заданы координаты векторов:

1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости и . Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты. . Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: . Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор и найдём сумму трёх векторов:

Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы . то их суммой является вектор .

2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор умножить на число . необходимо каждую координату данного вектора умножить на число :
.

Для пространственного вектора правило такое же:

Приведённые факты строго доказываются в курсе аналитической геометрии.

Примечание:Данные правила справедливы не только для ортонормированных базисов,но и для произвольного аффинного базиса плоскости или пространства. Более подробно о базисах читайте в статьеЛинейная (не) зависимость векторов. Базис векторов .

Даны векторы и . Найти и

Решение чисто аналитическое:

Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе Сумма векторов в координатах. то графическое решение задачи будет таким:
Сумма векторов в координатах
Коль скоро речь идет только о векторах в ортонормированном базисе, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну, и координатную сетку для удобства. Строго говоря, ранее я допустил небольшой огрех – в некоторых чертежах урока тоже можно было не чертить декартову прямоугольную систему координат. Векторам она не нужна, им нужен базис. Впрочем, лучше всегда рисуйте, а то напугаете всех своими знаниями =)

Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости.

Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки. Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением (на практике, собственно, бОльшего и не надо):

Даны векторы и . Найти и

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:

И в заключение занятный пример с векторами на плоскости:

Даны векторы . Найти и

Это задача для самостоятельного решения.

Какой вывод? Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты, главное, не допустить вычислительных ошибок. Следующие рекомендуемые к изучению уроки:

. Скалярное произведение векторов
Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов
Векторное и смешанное произведение векторов

Это, так скажем, вектор-минимум студента =)

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Сумма векторов в координатах
Главная | О нас | Обратная связь

Операции над векторами в координатах

Пусть заданы векторы и в прямоугольной системе координат.Линейные операции над ними выполняютсяпо следующим формулам:

Пример1. Даны два вектора и . Найти координаты и длину вектора .

Пример2. Дан вектор . образующий с осью угол . и вектор . образующий с той же осью угол . Найти проекцию суммы . где . на ось . если известно, что . .

Решение.Так как проекция суммы векторов равна сумме их про­екций, необходимо найти проекцию каждого слагаемого на ось .

Понятие радиус-вектора точки. Координаты и длина вектора, заданного граничными точками.

Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координат произвольную точку М. Координаты вектора будем называть координатами точки М. Вектор называется радиус-вектором точки М и обозначается .

Найдем координаты вектора . если известны координаты начальной и конечной точек (рис. 4).

Нетрудно заметить, что .Тогда согласно введенным для векторов операциям имеем

Рассмотрим радиус-векторточки в прямоугольной системе координат . Пусть образует с осями координат соответственно углы (рис. 5).

Направление вектора определяется с помощью направляющих косинусов . . . которыеравны:

Пример 3. Найти координаты вектора и его длину, если . .

Решение. Найдем координаты вектора :

Тогда длина вектора будет равна

Пример 4. Найтинаправляющие косинусы вектора . если . .

Решение.Найдем координаты вектора :

Тогда его длина и направляющие косинусы будут соответственноравны:

Условия коллинеарности и равенства векторов, заданных в координатах.

Пусть задан ненулевой вектор Тогда любой коллинеарный с ним вектор будет отличаться от него на постоянный множитель, т.е. . где Следовательно, у коллинеарных векторов и координаты пропорциональны:

причем, если: 1) l>0, то и сонаправлены;

2) l<0, то и имеют противоположные направления;

3) 0<½l½9lt;1, то корочевектора в l раз;

4) ½l½>1, то длиннеевектора в l раз.

Условием равенства двух векторов является

Это означает, что координаты равных векторов совпадают .

Пример 5. Определить, при каких значениях параметров и векторы и коллинеарны. Как направлены эти векторы и как соотносятся их длины?

Решение.Из коллинеарностивекторов и будет следовать пропорциональность их соответствующих координат . В нашем случае эти пропорции будут выглядеть следующим образом:

Вторая пропорция полностью определена, откуда . Следовательно, . откуда a = 4. С другой стороны . тогда b = –1.

Так как . то векторы и имеют противоположные направления и вектор в два раза короче вектора .

Пример 6. Даны три вершины параллелограмма . ; ; . Найти его четвертую вершину .

Решение.Заметим, что вектор равен вектору . а значит координаты этих векторов равны. Найдем координаты этих векторов: . . Тогда или ; или ; или . Таким образом, точкаDимеет координаты .

Л и т е р а т у р а: [1,гл. 5, §§5.3, 5.5, 5.6];[2, гл.18,§§ &–11];[3, гл.2, пп.12.6–12.8];[4, гл. 2, § 5, пп. 5.4, 5.5].

Операции над векторами в прямоугольной системе координат.

С векторами, заданными в прямоугольной системе координат совершать действия еще проще, чем с их геометрическими образами. В этой статье мы покажем как выполняются операции сложения векторов и умножения вектора на число, если известны их координаты, и подробно разберем решения примеров.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy. Рассмотрим векторы Сумма векторов в координатах и Сумма векторов в координатах. Эти векторы можно разложить по координатным векторам Сумма векторов в координатах и Сумма векторов в координатах как Сумма векторов в координатах и Сумма векторов в координатах, что было показано в статье координаты вектора в прямоугольной системе координат.

Найдем сумму векторов Сумма векторов в координатах и Сумма векторов в координатах, а также произведение вектора Сумма векторов в координатах на произвольное действительное число Сумма векторов в координатах.

В силу свойств операций над векторами. справедливы следующие равенства
Сумма векторов в координатах

Правые части этих равенств представляют собой разложение векторов Сумма векторов в координатах и Сумма векторов в координатах по координатным векторам Сумма векторов в координатах и Сумма векторов в координатах, следовательно, векторы Сумма векторов в координатах и Сумма векторов в координатах имеют координаты Сумма векторов в координатах и Сумма векторов в координатах соответственно.

Аналогично для векторов Сумма векторов в координатах и Сумма векторов в координатах, заданных в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, мы можем записать
Сумма векторов в координатах
следовательно, Сумма векторов в координатах.

Таким образом, координаты суммы векторов Сумма векторов в координатах и Сумма векторов в координатах равны сумме соответствующих координат векторов Сумма векторов в координатах и Сумма векторов в координатах ,

а координаты произведения вектора Сумма векторов в координатах на число Сумма векторов в координатах равны соответствующим координатам вектора Сумма векторов в координатах, умноженным на это число в заданной системе координат.

Если требуется найти координаты суммы нескольких векторов, то они будут равны сумме соответствующих координат каждого из векторов.

Разберем решения нескольких примеров.

Выполните операцию сложения векторов Сумма векторов в координатах и Сумма векторов в координатах, а также найдите координаты произведения вектора Сумма векторов в координатах на число Сумма векторов в координатах.

Векторы и операции над векторами

n — мерные векторы и операции над ними

Векторы занимают особое место среди объектов, рассматриваемых в высшей математике, поскольку каждый вектор имеет не только числовое значение — длину, но и физическое и геометрическое — направленность. Вектор, представленный направленным отрезком, идущим от точки A к точке B. обозначается так: .

Сумма векторов в координатах

Вектор — это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (х, y, z ). Говоря совсем просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, чтобы добраться до точки.

Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в искомой точке.

Все остальные термины — это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.

Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.

Сумма векторов в координатах

Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка. т.е. отрезка, у которого различают начало и конец.

Если A — начало вектора, а B — его конец, то вектор обозначается символом или одной строчной буквой . На рисунке конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)

Длиной (или модулем ) геометрического вектора называется длина порождающего его отрезка

Два вектора называются равными . если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.

В физике часто рассматриваются закреплённые векторы. заданные точкой приложения, длиной и направлением. Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным. Мы договоримся рассматривать только свободные векторы .

Сумма векторов в координатах

Умножение вектора на число

Произведением векторана число называется вектор, получающийся из вектора растяжением (при ) или сжатием (при ) в раз, причём направление вектора сохраняется, если , и меняется на противоположное, если . (Рис. 2)

Из определения следует, что векторы и = всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными. (Можно говорить также, что эти векторы параллельны, однако в векторной алгебре принято говорить «коллинеарны».) Справедливо и обратное утверждение: если векторы и коллинеарны, то они связаны отношением

Следовательно, равенство (1) выражает условие коллинеарности двух векторов.

Сумма векторов в координатах

Сложение и вычитание векторов

При сложении векторов нужно знать, что суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . (Рис. 3)

Сумма векторов в координатах

Это определение может быть распределено на любое конечное число векторов. Пусть в пространстве даны n свободных векторов . При сложении нескольких векторов за их сумму принимают замыкающий вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего вектора. То есть, если к концу вектора приложить начало вектора , а к концу вектора — начало вектора и т.д. и, наконец, к концу вектора — начало вектора , то суммой этих векторов служит замыкающий вектор , начало которого совпадает с началом первого вектора , а конец — с концом последнего вектора . (Рис. 4)

Слагаемые называются составляющими вектора , а сформулированное правило — правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

При умножении вектора на число -1 получается противоположный вектор . Векторы и имеют одинаковые длины и противоположные направления. Их сумма даёт нулевой вектор. длина которого равна нулю. Направление нулевого вектора не определено.

В векторной алгебре нет необходимости рассматривать отдельно операцию вычитания: вычесть из вектора вектор означает прибавить к вектору противоположный вектор , т.е.

Пример 1. Упростить выражение:

то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Сумма векторов в координатах

Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины искомых векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Итак, искомые векторы равны:

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:

Даны длины векторов и длина суммы этих векторов . Найти длину разности этих векторов .

Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать — в уроке «Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов «.

А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе онлайн «Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)» .

А где произведения векторов?

Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки «Скалярное произведение векторов » и «Векторное и смешанное произведения векторов «.

Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую (плоскость).

Сумма векторов в координатах

Пусть — произвольный вектор (Рис. 5), а и — проекции его начала (точки A ) и конца (точки B ) на ось l. (Для построения проекции точки A ) на прямую проводим через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит искомую проекцию.

Составляющей векторана оси l называется такой вектор , лежащий на этой оси, начало которого совпадает с проекцией начала, а конец — с проекцией конца вектора .

Проекцией вектора на ось l называется число

равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l. и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Основные свойства проекций вектора на ось:

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.

4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Пример 3. Рассчитать проекцию суммы векторов на ось l. если , а углы —

Сумма векторов в координатах

Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:

Находим искомую проекцию суммы векторов:

Знакомство с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве состоялось в соответствующем уроке . желательно открыть его в новом окне.

В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс. ось 0yосью ординат. и ось 0zосью аппликат .

Сумма векторов в координатах

С произвольной точкой М пространства свяжем вектор

называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:

Числа x, y, z называются координатами точки М. соответственно абсциссой. ординатой и аппликатой. и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором (или ортом ) оси. Обозначим через

Соответственно орты координатных осей Ox. Oy. Oz

Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:

Сумма векторов в координатах

Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.

После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме

Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.

Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением

Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

то есть, координаты векторов пропорциональны.

Пример 4. Даны векторы . Коллинеарны ли эти векторы?

Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:

Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.

n — мерные векторы и операции над ними

При изучении многих вопросов, в частности, экономических, оказалось удобным обобщить рассмотренные приёмы установления соответствия между числами и точками двумерного и трёхмерного пространства и рассматривать последовательности n действительных чисел как «точки» некоторого абстрактного «n -мерного пространства», а сами числа — как «координаты» этих точек. За составляющие n -мерного вектора можно принимать такие данные, как урожайность различных культур, объёмы продаж товаров, технические коэффициенты, номенклатура товаров на складах и т.д.

n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде

где — i – й элемент (или i – я координата) вектора x.

Возможна и другая запись вектора – в виде столбца координат:

Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Например, (2; 5) – двухмерный вектор, (2; -3; 0) – трёхмерный, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимерный,

n – мерный вектор.

Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю:

Введём операции над n -мерными векторами.

на действительное число называется вектор

т.е. при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

можно получить противоположный вектор

т.е. при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются .

Если в плане продаж сети торговых предприятий продажи товаров определить как положительные уровни товаров, а затраты на продажи – как отрицательные, то получим вектор затрат-продаж

продажи (затраты) k – м предприятием товара i. а k = 1, 2, 3,…, m .

Суммарный вектор затрат-продаж y определяется суммированием векторов затрат-продаж всех m предприятий сети:

Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор :

При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:

Операции над n -мерными векторами удовлетворяют следующим свойствам.

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа./ / Понятие вектора. Действия с векторами, их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение на число, коллинеарность. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекции, разложение векторов, координаты, действия в координатах, взаимное расположение

Понятие вектора. Действия с векторами, их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение на число, коллинеарность. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекции, разложение векторов, координаты, действия в координатах, взаимное расположение

Поделитесь ссылкой с друзьями:

Понятие вектора. Коллинеарные векторы. Действия с векторами и их свойства — сложение и
вычитание векторов, умножение вектора на число, критерий коллинеарности. Скалярное умножение
(произведение) векторов. Проекция вектора на вектор. Разложение векторов по неколлинеарным
векторам. Координаты вектора на плоскости. Действия с векторами в координатах на плоскости.
Взаимное расположение векторов. Разложение вектора по координатным векторам.

Понятие вектора.

Сумма векторов в координатах

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *