Теорема чебышева

Теорема Чебышева

Для доказательства теоремы Чебышева (да и других теорем, в том числе) воспользуемся одноимённым неравенством. Неравенство Чебышева (как впрочем и теорема) справедливо как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Мы ограничимся, например, доказательством неравенства для непрерывной случайной величины.

НЕРАВЕНСТВО Чебышева [12]: Вероятность того, что отклонение случайной величины Х . имеющей конечную дисперсию , от её математического ожидания по абсолютной величине на меньше любого положительного числа , ограничена сверху величиной , то есть, справедливо неравенство:

Доказательство . По определению дисперсии для непрерывной случайной величины можем записать

Выделим на числовой оси Ох -окрестность точки (см. рис.). Заменим теперь интегрирование по всей оси интегралом по переменной х на множестве . Так как под знаком интеграла стоит неотрицательная функция[13], то результат интегрирования в результате может только уменьшиться, то есть

Интеграл в правой части полученного неравенства – это вероятность того, что случайная величина Х будет принимать значения вне интервала . Значит

Замечание . Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто даёт грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Например, если и, следовательно, ; таким образом, в этом случае неравенство Чебышева указывает лишь на то, что вероятность отклонения находится в пределах от нуля до единицы, а это и без того очевидно, так как любая вероятность удовлетворяет этому условию.

Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико. Оценка, полученная Чебышевым, является универсальной, она справедлива для любых случайных величин, имеющих и .

ПРИМЕР .Найти вероятность выхода случайной величины Х . имеющей математическое ожидание и дисперсию , за трёхсигмовые границы.

Решение . Воспользуемся неравенством Чебышева:

Сравним полученный результат с тем, который следует из правила трёх сигм для нормального закона распределения:

Нетрудно сделать ВЫВОД . случайные величины, встречающиеся на практике, чаще всего имеют значительно меньшую вероятность выхода за трёхсигмовые границы, чем 1/9. Для них область является областью практически возможных значений случайной величины.

ТЕОРЕМА Чебышева (частный случай): Пусть Х1. Х2. …, Хn – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание М (Х ), и пусть дисперсии этих величин равномерно ограничены (то есть не превышают некоторого постоянного числа С ). Тогда, при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к их математическому ожиданию, то есть имеет место равенство:

Доказательство . Применим к случайной величине неравенство Чебышева:

Заметим (по условиям теоремы), что для дисперсии справедливы соотношения:

Тогда, согласно неравенству Чебышева

Переходя к пределу при получаем

А так как вероятность не может быть больше единицы, то отсюда и следует утверждение теоремы.

Теорема Чебышева была обобщена на более общий случай, доказательство которой проводится аналогично доказательству, предложенному выше.

ТЕОРЕМА Чебышева (общий случай): Пусть Х1. Х2. …, Хn – попарно независимые случайные величины, и пусть дисперсии этих величин равномерно ограничены (то есть не превышают некоторого постоянного числа С ). Тогда, при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, то есть имеет место равенство:

188.123.231.15 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Теорема чебышева
Главная | О нас | Обратная связь

Закон больших чисел « в форме» теоремы Чебышева

Функция распределения случайной величины и ее свойства.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(Х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х: F(x)=P(X

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Свойства функции распределения:

1.Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единицы, т.е. F(-∞)= Теорема чебышева. F(+∞)= Теорема чебышева .

4.Вероятность попадания случайной величины в интервал [х1,х2) (включая х1) равна прирощению ее функции распределения на этом интервале, т.е. Р(х1 ≤ Х < х2 ) = F(x2 ) — F(x1 ).

Неравенство Маркова и Чебышева

Теорема . Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа А верно равенство: P(x>A) ≤Теорема чебышева.

Так как события Х > А и Х ≤ А противоположные, то заменяя Р(Х >А) выражаем 1 — Р(Х ≤ А), придем к другой форме неравенства Маркова: P(X ≥ A) ≥1 — Теорема чебышева .

Неравенство Маркова к применимо к любым неотрицательным случайным величинам.

Теорема: Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева:

Р (|Х – a| > &#&49;) ≤ D(X)/&#&49; 2 или Р (|Х – a| ≤ &#&49;) ≥ 1 – DX/&#&49; 2 ,где а= М(Х), &#&49;9gt;0.

Закон больших чисел « в форме» теоремы Чебышева.

Теорема Чебышева: Если дисперсии n независимых случайных величин Х1, Х2,…. Хn ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий а12 ….,аn. т.е Теорема чебышева .

Смысл закона больших чисел заключается в том, что средние значения случайных величин стремятся к их математическому ожиданию при n &#85&4; ∞ Теорема чебышева по вероятности. Отклонение средних значений от математического ожидания становится сколь угодно малым с вероятностью, близкой к единице, если n достаточно велико. Другими словами, вероятность любого отклонения средних значений от а сколь угодно мала с ростом n .

Теорема Бернулли: Частость события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа n сходиться по вероятности к вероятности р этого события в отдельном испытании: Теорема чебышева \

Теорема Бернулли является следствием теоремы Чебышева, ибо частость события можно представить как среднюю арифметическую n независимых альтернативных случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения.

18.Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины и их свойства .

Математическим ожиданием называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности

Для дискретной случайной величины: Теорема чебышева

Для непрерывной случайной величины: Теорема чебышева

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С

2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, т.е М(кХ)=кМ(Х).

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е. M(X±Y)=M(X)±M(Y).

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)*M(Y).

5. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличиться (уменьшиться) математическое ожидание этой случайной величины: M(X±C)=M(X)±C.

6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: M[X-M(X)]=0.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Неравенство Чебышева и его значение. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова) и ее использование в математической статистике.

Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью. Изучение закономерностей, проявляющихся в массовых случайных явлениях, позволяет научно предсказывать результаты будущих испытаний.

Предельные теоремы теории вероятностей делятся на две группы, одна из которых получила название закона больших чисел. а другая — центральной предельной теоремы .

В настоящей главе рассматриваются следующие теоремы, относящиеся к закону больших чисел: неравенство Чебышева, теоремы Чебышева и Бернулли.

Закон больших чисел состоит из нескольких теорем, в которых доказывается приближение средних характеристик при соблюдении определенных условий к некоторым постоянным значениям.

1. Неравенство Чебышева .

Если случайная величина Теорема чебышеваимеет конечное математическое ожидание и дисперсию, то для любого положительного числаТеорема чебышевасправедливо неравенство

т. е. вероятность того, что отклонение случайной величины Теорема чебышеваот своего математического ожидания по абсолютной величине не превзойдетТеорема чебышева, больше разности между единицей и отношением дисперсии этой случайной величины к квадратуТеорема чебышева.

Запишем теперь вероятность события Теорема чебышева, т. е. события, противоположного событиюТеорема чебышева. Очевидно, что

Неравенство Чебышева справедливо для любого закона распределения случайной величины Теорема чебышеваи применимо как к положительным, так и к отрицательным случайным величинам. Неравенство (9.2) ограничивает сверху вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину, большую чемТеорема чебышева. Из этого неравенства следует, что при уменьшении дисперсии верхняя граница вероятности тоже уменьшается и значение случайной величины с небольшой дисперсией сосредоточиваются около ее математического ожидания.

Пример 1. Для правильной организации сборки узла необходимо оценить вероятность, с которой размеры деталей отклоняются от середины поля допуска не более чем на Теорема чебышева. Известно, что середина поля допуска совпадает с математическим ожиданием размеров обрабатываемых деталей, а среднее квадратическое отклонение равноТеорема чебышева.

Решение. По условию задачи имеем: Теорема чебышева,Теорема чебышеваТеорема чебышева. В нашем случаеТеорема чебышева— размер обрабатываемых деталей. Используя неравенство Чебышева, получим

Теорема чебышева.

2. Теорема Чебышева .

При достаточно большом числе независимых испытаний Теорема чебышеваможно с вероятностью, близкой к единице, утверждать, что разность между средним арифметическим наблюдавшихся значений случайной величиныТеорема чебышеваи математическим ожиданием этой величиныТеорема чебышевапо абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числаТеорема чебышевапри условии, что случайная величинаТеорема чебышеваимеет конечную дисперсию, т. е.

Теорема чебышева,

где Теорема чебышева— положительное число, близкое к нулю.

Переходя в фигурных скобках к противоположному событию, получим

Теорема чебышева.

Теорема Чебышева позволяет с достаточной точностью по средней арифметической судить о математическом ожидании или наоборот: по математическому ожиданию предсказывать ожидаемую величину средней. Так, на основании этой теоремы можно утверждать, что если произведено достаточно большое количество измерений определенного параметра прибором, свободным от систематической погрешности, то средняя арифметическая результатов этих измерений сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемого параметра.

Пример 2. Для определения потребности в жидком металле и сырье выборочным путем устанавливают средний вес отливки гильзы к автомобильному двигателю, т. к. вес отливки, рассчитанный по металлической модели, отличается от фактического веса. Сколько нужно взять отливок, чтобы с вероятностью, большей Теорема чебышева, можно было утверждать, что средний вес отобранных отливок отличается от расчетного, принятого за математическое ожидание веса, не более чем наТеорема чебышевакг. Установлено, что среднее квадратическое отклонение веса равно Теорема чебышевакг .

Решение. По условию задачи имеем Теорема чебышева,Теорема чебышева,Теорема чебышева, гдеТеорема чебышева— средний вес отливок гильзы. Если применить к случайной величинеТеорема чебышеванеравенстсво Чебышева, то получим

Теорема чебышева,

а с учетом равенств (4.4) и (4.5) —

Теорема чебышева.

Подставляя сюда данные задачи, получим

Теорема чебышева,

3. Теорема Бернулли .

Теорема Бернулли устанавливает связь между частостью появления события и его вероятностью.

При достаточно большом числе независмых испытаний Теорема чебышеваможно с вероятностью, близкой к единице, утверждать, что разность между частостью появления событияТеорема чебышевав этих испытаниях и его вероятностью в отдельном испытании по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числаТеорема чебышева, если вероятность наступления этого события в каждом испытании постоянна и равнаТеорема чебышева.

Утверждение теоремы можно записать в виде следующего неравенства:

где Теорема чебышеваиТеорема чебышева— любые сколь угодно малые положительные числа.

Используя свойство математического ожидания и дисперсии, а также неравенсво Чебышева, формулу (9.3) можно записать в виде

При решении практических задач иногда бывает необходимо оценить вероятность наибольшего отклонения частоты появлений события от ее ожидаемого значения. Случайной величиной в этом случае является число появлений события Теорема чебышевавТеорема чебышеванезависимых испытаниях. Имеем:

Теорема чебышева,

Теорема чебышева,

Теорема чебышева.

Используя неравенство Чебышева, в этом случае получим

Теорема чебышева.

Пример 3. Из Теорема чебышеваизделий, отправляемых в сборочный цех, было подвергнуто обследованиюТеорема чебышева, отобранных случайным образом изделий. Среди них оказалосьТеорема чебышевабракованных. Приняв долю бракованных изделий среди отобранных за вероятность изготовления бракованного изделия, оценить вероятность того, что во всей партии бракованных изделий окажется не болееТеорема чебышева% и не менееТеорема чебышева%.

Решение. Определим вроятность изготовления бракованного изделия:

Теорема чебышева.

Наибольшее отклонение частости появлений бракованных изделий от вероятности Теорема чебышевапо абсолютной величине равноТеорема чебышева; число испытанийТеорема чебышева. Используя формулу (9.4), находим искомую вероятность:

Теорема чебышева,

Теорема чебышева.

4. Теорема Ляпунова.

Рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определенным предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Эта группа теорем носит общее название центральной предельной теоремы. Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин.

Закон распределения суммы независимых случайных величин Теорема чебышева(Теорема чебышева) приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличенииТеорема чебышева, если выполняются следующие условия:

1) все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии:

Теорема чебышева; Теорема чебышева;Теорема чебышева,

2) ни одна из величин по своему значению резко не отличается от всех остальных:

Теорема чебышева.

При решении многих практических задач используют следующую формулировку теоремы Ляпунова для средней арифметической наблюдавшихся значений случайной величины Теорема чебышева, которая также является случайной величиной (при этом соблюдаются условия, перечисленные выше):

если случайная величина Теорема чебышеваимеет конечные математическое ожиданиеТеорема чебышеваи дисперсиюТеорема чебышева, то распределение средней арифметическойТеорема чебышева, вычисленной по наблюдавшимся значениям случайной величины вТеорема чебышеванезависимых испытаниях, приТеорема чебышеваприближается к нормальному закону с математическим ожиданиемТеорема чебышеваи дисперсиейТеорема чебышева, т. е.

Теорема чебышева.

Поэтому вероятность того, что Теорема чебышевазаключено в интервалеТеорема чебышеваможно вычислить по формуле

Используя функцию Лапласа (см. приложение 2), формулу (9.5) можно записать в следующем, удобном для расчетов виде:

Теорема чебышева,

Теорема чебышева; Теорема чебышева.

Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы может быть заменен нормальным.

Частным случаем предельной центральной теоремы является теорема Лапласа (см. глава 3, п. 5). В ней рассматривается случай, когда случайные величины Теорема чебышева,Теорема чебышева, дискретны, одинаково распределены и принимают только два возможных значения:Теорема чебышеваиТеорема чебышева. О применении этой теоремы в математической статистике см. п. 6 главы 3.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что называют законом больших чисел. Какой смысл имеет это название ?

2. Сформулируйте неравенство Чебышева и теорему Чебышева.

3. Какова роль предельных теорем в теории вероятностей ?

4. Какой из законов распределения фигурирует в качестве предельного закона ?

5. В чем состоит центральная предельная теорема Ляпунова ?

6. Как можно истолковать теорему Лапласа в качестве предельной теоремы теории вероятностей ?

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. Длина изготовляемых изделий представляет случайную величину, среднее значение которой (математическое ожидание) равно Теорема чебышевасм. Дисперсия этой величины равна Теорема чебышева. Используя нераввенство Чебышева, оценить вероятность того, что: а) отклонение длины изготовленного изделия от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдетТеорема чебышева; б) длина изделия выразится числом, заключенным междуТеорема чебышеваиТеорема чебышевасм.

2. Устройство состоит из Теорема чебышеванезависимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за времяТеорема чебышеваравнаТеорема чебышева. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за времяТеорема чебышеваокажется меньшеТеорема чебышева.

3. Дискретная случайная величина Теорема чебышевазадана законом распределения

Теорема чебышева

Теорема Чебышева

для среднего арифметического случайных величин.

Пусть даны независимые СВ Теорема чебышева. имеющие конечные математические ожидания Теорема чебышева и конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной с, то как бы ни мало было постоянное положительное число ɛ, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице можно утверждать, что отклонение средней арифметической этих n величин от средней арифметической их математических ожиданий не превосходит по абсолютной величине заданного числа ɛ, если число n достаточно велико.

Теорема чебышева

Говорят, что среднее арифметическое СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий: Теорема чебышева

Следствие1. Если все Теорема чебышева независимы и одинаково распределены: Теорема чебышеваТеорема чебышева. то для любого ɛ>0, Теорема чебышева

Среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к их математическому ожиданию а.

Следствие 1 обосновывает «принцип среднего арифметического СВ», который часто используется на практике. Пусть произведено n независимых измерений некоторой величины Теорема чебышева. истинное значение а которой неизвестно. Согласно следствию 1, в качестве приближённого значения величины а можно взять среднее арифметическое результатов измерений: Теорема чебышева. Равенство тем точнее, чем больше n.

На описанных свойствах средней арифметической и относительной частоты основан широко применяющийся в лингво-статистике выборочный метод (по сравнительно небольшой случайной выборке текстов судят о целой разновидности языка). Сходимость средних арифметических частот, полученных по частичным выборкам, к математическим ожиданиям слов (или словосочетаний) при достаточном числе выборок позволяет рассматривать частотные словари в качестве моделей вероятностного распределения слов и словосочетаний в норме данного подъязыка или стиля.

Неравенство Чебышева Теорема чебышева справедливо для любых СВ, в частности для СВ Х = m, имеющих биномиальное распределение, где М(Х)=a=np и D(X)=npq. В этом случае оно имеет вид: Теорема чебышева .

Для СВ Теорема чебышева — относительной частоте события А в n независимых испытаниях, неравенство Чебышева имеет вид:

Теорема Бернулли. о которой говорили в лекции №2, первая (1713 г) и наиболее простая форма закона больших чисел, является частным случаем теоремы Чебышева: Теорема чебышева

Теорема Бернулли теоретически обосновывает возможность приближённого вычисления вероятности события с помощью его относительной частоты.

Пример. Установлено, что вероятность появления существительного в румынских текстах по радиоэлектронике равна 0,34, а допустимое абсолютное отклонение относительной частоты Теорема чебышева от вероятности р равно 0,03. Определим тот наименьший объём исследуемого текста, при котором заданные условия выполнялись бы с вероятностью 0,9545.

Воспользуемся неравенством Чебышева для случайной величины X-«относительная частота появлений существительного в тексте»: Теорема чебышева где p=0,34; Теорема чебышева =0,03;

Теорема чебышева =0, 9545. Отсюда n=5473.

Ответ. Необходимый текст для выполнения заданных условий с вероятностью 0,9545 должен содержать не меньше, чем 5473 словоупотреблений.

Использование ЗБЧ связано с обследованием слишком больших текстовых выборок, объёмы которых превосходят реальные возможности лингво-статистического исследования.

Центральная предельная теорема ЦПТ решает проблему нахождения точности, надёжности оценки, доверительного интервала, используя при этом меньшее число испытаний, чем этого требует ЗБЧ, устанавливает условия, при которых закон распределения суммы большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному.

Пусть СВ Теорема чебышева независимы и одинаково распределены, Теорема чебышеваТеорема чебышева. Теорема чебышева Тогда функция распределения центрированной и нормированной суммы этих СВ стремится при n&#85&4;∞ к функции распределения стандартной нормальной СВ. Это означает, что Теорема чебышева приближённо распределена по нормальному закону: Теорема чебышева. Говорят, что при n&#85&4;∞ СВ Теорема чебышева асимптотически нормальна.

(СВ называется центрированной и нормированной или стандартной, если М(Х)=0, D(X)=1)

Для того чтобы теорема Ляпунова выполнялась (утверждение о нормальном распределении для средних имело место) достаточно выполнение условий, смысл которых заключается в том, что

ни одна из СВ, образующих среднюю, не была в ней преобладающей. В противном случае распределение средней определяется законом распределения этих преобладающих СВ.

Например, служебные слова, многие грамматические формы, фонемы и буквы, поведение которых определяется суммой большого числа случайных воздействий без преобладания в них семантики текста, распределены по закону, близкому к нормальному. Ключевые (или доминантные) слова и словосочетаний текста (передают основные понятия, рассматривающиеся в данном сообщении) являются преобладающими, поэтому их распределение не является нормальным.

ЧЕБЫШЕВА ТЕОРЕМЫ это:

о простых числах — теоремы 1)-8) о распределении простых чисел, доказанные П. Л. Чебышевым [1] в 1848-50.
Пусть Теорема чебышева — число простых чисел, не превосходящих x, т — целое Теорема чебышеваp — простое число, ln и- натуральный логарифм и,

Теорема чебышева

1) Для любого тсумма ряда

Теорема чебышева
имеет конечный предел при Теорема чебышева

2) Как бы ни было мало а>0, a т велико, функция Теорема чебышева бесконечное число раз удовлетворяет каждому из неравенств:

Теорема чебышева

3) Частное Теорема чебышева при Теорема чебышева не может иметь предела, отличного от 1.

4) Если функция Теорема чебышева может быть выражена до количества порядка хln -n х включительно алгебраически в х, ln х, е х , то таким выражением является выражение (*).
После этого П. Л. Чебышев ввел две новые функции распределения простых чисел Теорема чебышева и Теорема чебышеваЧебышева функции

Теорема чебышева
и установил фактич. порядок роста этих функций. Отсюда впервые им получен фактнч. порядок роста числа простых чисел Теорема чебышева и n-го простого числа Р п . Точнее, он доказал:

5) Для x> 1 при Теорема чебышева имеют место неравенства
Теорема чебышева

6) Для х, начиная с нек-рого х 0. имеют место неравенства
Теорема чебышева

7) Существуют постоянные a > 0, .> 0 такие, что n-е простое число Р п , для всех п = 1, 2. удовлетворяет неравенствам an ln . < Р n < An ln n.

8) В интервале ( а, 2a-2) при а>3 лежит, по крайней мере, одно простое число (постулат Бертрана).
Главная идея метода доказательства 1)- 4) состоит в изучении поведения величин

Теорема чебышева
и их производных при Теорема чебышева В основе метода вывода 5)-8) лежит тождество Чебышева:

Теорема чебышева

Лит. :[1] Чeбышев П. Л. Полн. собр. соч. т. 1, Теория чисел, М. — Л. 1944.
А. Ф. Лаврик.

Математическая энциклопедия. — М. Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985 .

Смотреть что такое «ЧЕБЫШЕВА ТЕОРЕМЫ» в других словарях:

ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО — неравенство Бьенеме Чебышева, неравенство теории вероятностей, дающее оценку вероятности отклонений значений случайной величины от ее математич. ожидания через ее дисперсию. Пусть нек рая случайная величина с конечными математич. ожиданием и… … Математическая энциклопедия

Чебышева неравенство — 1) одно из основных неравенств для монотонных последовательностей или функций. В случае конечных последовательностей и оно имеет вид: а в интегральной форме ― вид: … … Большая советская энциклопедия

БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН — общий принцип, в силу к рого совместное действие случайных факторов приводит при нек рых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа… … Математическая энциклопедия

Вероятностей теория — математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким либо образом с первыми. Утверждение о том, что какое либо событие наступает с Вероятностью,… … Большая советская энциклопедия

КАРТОГРАФИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ — задачи, возникающие при построении математич. основы географических и специальных карт, именно, при разработке теории картографических проекций, исследовании их свойств, преобразований, методов изысканий и др. Поверхность Земли при этом принимают … Математическая энциклопедия

Чебышев, Пафнутий Львович — (родился 14 мая 1821 года умер 26 ноября 1894 года в Петербурге) ординарный академик Императорской Академии Наук, действительный тайный советник. П. Л. Чебышев, профессор императорского С. Петербургского университета Тайный советник, доктор… … Большая биографическая энциклопедия

Марков, Андрей Андреевич (старший) — [2 (14) июня 1856 20 июля 1922] рус. математик, специалист по теории чисел, теории вероятностей и математич. анализу. С 1886 адъюнкт, с 1890 экстраординарный, а с 1896 ординарный акад. Петербург. АН. М. родился в семье мелкого чиновника в… … Большая биографическая энциклопедия

Приближение и интерполирование функций — раздел теории функций, посвященный изучению вопросов приближённого представления функций. Приближение функций нахождение для данной функции f функции g из некоторого определённого класса (например, среди алгебраических… … Большая советская энциклопедия

Чисел теория — наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций. Особое место среди целых чисел, т. е. чисел. 3 … Большая советская энциклопедия

Карацуба — Карацуба, Анатолий Алексеевич Карацуба Анатолий Алексеевич Дата рождения: 31 января 1937(1937 01 31) … Википедия

  • Классические ортогональные многочлены. П.К. Суетин. В книге излагаются свойства ортогональных многочленов Чебышева, Лежандра, Чебышева-Эрмита, Чебышева-Лагерра и общих многочленов Якоби. С доказательствами приводятся асимптотические формулы… Подробнее Купить за 1144 руб
  • Классические ортогональные многочлены. П. К. Суетин. В книге излагаются свойства ортогональных многочленов Чебышева, Лежандра, Чебышева-Эрмита, Чебышева-Лагерра и общих многочленов Якоби. С доказательствами приводятся асимптотические формулы… Подробнее Купить за 1066 руб
  • Классические ортогональные многочлены. Суетин П.К. В книге излагаются свойства ортогональных многочленов Чебышева, Лежандра, Чебышева-Эрмита, Чебышева-Лагерра и общих многочленов Якоби. С доказательствами приводятся асимптотические формулы… Подробнее Купить за 960 руб

Другие книги по запросу «ЧЕБЫШЕВА ТЕОРЕМЫ» >>

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *