Теорема дезарга

Теоремы Дезарга

Теперь получим, что: .

Вычтем из равенства (5) равенство (6):

Равенство (7) показывает, что вектор является линейной комбинацией векторов и , поэтому, окончательно, точки лежат на одной прямой q.

Теорема 2 (обратная теореме Дезарга): если три точки пересечения соответствующих сторон трехвершинников АВС и лежат на одной прямой q. то три прямые, проходящие через их соответствующие вершины, пересекаются в одной точке Q.

Справедливость теоремы 2 следует непосредственно по принципу двойственности из доказанной выше теоремы Дезарга.

Замечание 1: теоремы Дезарга верны и в том случае, когда данные трехвершинники лежат в разных плоскостях трехмерного проективного пространства Р3.

Определение 2: точка Q, в которой пересекаются прямые, соединяющие вершины трехвершинников, называется точкой Дезарга.

Прямая q. на которой пересекаются их соответствующие стороны, называется прямой Дезарга .

Фигура, состоящая из 10 точек и 10 прямых упоминаемых в теоремах Дезарга, называется конфигурацией Дезарга .

Замечание 2: через каждую точку конфигурации Дезарга проходят три прямые и на каждой прямой лежат три точки этой конфигурации. Любая из точек может быть принята за точку Дезарга, а любая из 10 прямых может быть принята за прямую Дезарга.

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

2. Теорема Дезарга

Одним из самых ранних открытий в области проективной геометрии является замечательная теорема Дезарга (1593-1662):Если на плоскости два треугольника ABC и А’В’С расположены таким образом у что прямые, соединяющие соответственные вершины, конкуррентны, то три точки, в которых пересекаются, будучи продолжены, три соответственные стороны,- коллинеарны. Эта теорема здесь иллюстрируется чертежом (рис. 72), но пусть читатель проверит ее справедливость, экспериментируя на самостоятельно построенных чертежах. Доказательство теоремы не является тривиальным, несмотря на всю простоту чертежа, состоящего только из прямых линий. Теорема явственно принадлежит проективной геометрии, так как при проектировании рассматриваемый чертеж не теряет свойств, упомянутых в теореме. В дальнейшем мы еще вернемся к этой теореме (стр. 218). В настоящий же момент мы хотели бы привлечь внимание читателя к тому любопытному обстоятельству, что теорема Дезарга справедлива также и в том предположении, что рассматриваемые треугольники расположены в двух различных (непараллельных) плоскостях и что подобного рода «трехмерная», или «пространственная», теорема Дезарга доказывается без малейших затруднений. По предположению, прямые АА’, ВВ’ и СС пересекаются в одной и той же точке Q (рис. 73). В таком случае прямые АВ и А’В’ лежат в одной плоскости и, значит, пересекаются в некоторой точке R; пусть таким же образом АС и А’С пересекаются в точке Q, а ВС и В’С — в точке Р. Так как точки Р, Q и R находятся на продолжениях сторон треугольников ABC и А’В’С, то все они лежат в плоскости каждого из этих треугольников и потому — на прямой пересечения этих двух плоскостей. Значит, Р, Q и R коллинеарны, что и требовалось доказать.

Рис. 72. Конфигурация Дезарга на плоскости

Рис. 73. Конфигурация Дезарга в пространстве

Это простое доказательство наводит на мысль, что можно было бы попытаться доказать «двумерную» теорему Дезарга, так сказать, с помощью перехода к пределу, постепенно сплющивая всю пространственную конструкцию таким образом, чтобы две плоскости в пределе совпали в одну, и в этой последней, вместе с другими, оказалась и точка О. Выполнить, однако, указанный предельный переход не так просто, так как прямая пересечения PQR при совмещении плоскостей не определяется однозначно. Тем не менее конфигурация, изображенная на рис. 72, может быть истолкована как перспективное изображение пространственной конфигурации рис. 73, и это обстоятельство можно использовать при доказательстве «плоской» теоремы.

Есть существенное различие между теоремой Дезарга на плоскости и в пространстве. Наше доказательство, относящееся к случаю трех измерений, опиралось только на геометрические соображения, относящиеся к инцидентности точек, прямых и плоскостей. Можно показать, что доказательство двумерной теоремы — при дополнительная требовании не выходить из данной плоскости — неизбежно должно опираться на некоторые свойства подобных фигур, принадлежащих уже не проективной, а метрической геометрии.

Теорема, обратная теореме Дезарга, утверждает, что если три точки, в которых пересекаются соответственные стороны, коллинеарны, то прямые, соединяющие соответственные вершины, конкуррентны. Доказательство этой теоремы — в случае, когда треугольники лежат в непараллельных плоскостях,- предоставляется читателю в качестве упражнения.

© Злыгостев Алексей Сергеевич, 2001-2017
При копировании ссылка обязательна:
http://mathemlib.ru/ ‘MathemLib.ru: Математическая библиотека

и говорим, что между X и X ўўў имеется непрерывное соответствие или что X проективно отображается в X ўўў.

Точка, соответствующая самой себе, называется «инвариантной9raquo;.

После этих предварительных определений мы располагаем всем необходимым для того, чтобы сформулировать следующие девять аксиом:

I. Существуют по крайней мере две различные точки.

II. Любые две различные точки A и B лежат на единственной прямой (а именно на прямой AB ).

III. Если A и B – различные точки, то на прямой AB существует по крайней мере одна точка, отличная от A и B .

IV. Если A и B – различные точки, то существует по крайней мере одна точка, не лежащая на прямой AB .

V. Если A. B. C – три неколлинеарные точки и D – точка, лежащая на BC и отличная от B и C. а E – точка, лежащая на CA и отличная от C и A. то существует точка F. лежащая на AB. такая, что точки D. E. F коллинеарны.

VI. Три диагональные точки любого полного четырехвершинника неколлинеарны.

VII. Существует по крайней мере одна точка, не лежащая в плоскости ABC .

VIII. Любые две различные плоскости пересекаются по прямой.

IX. Если на прямой имеются три различных точки, каждая из которых инвариантна относительно проективного соответствия, то любая точка этой прямой также инвариантна относительно этого соответствия.

Примечания к аксиомам.

Все сказанное выше кажется интуитивно очевидным, пока мы не доходим до аксиомы V, которая исключает возможность, чтобы прямые AB и DE не пересекались в силу их параллельности. Эта аксиома позволяет определить плоскость ABC с помощью простого приема присоединения точки C ко всем точкам на прямой AB. Аксиома VI также оказывается полезной, хотя существуют некоторые странные геометрии, в которых она отрицается. Аксиома VII делает рассматриваемое пространство трехмерным, а аксиома VIII не позволяет ему стать четырехмерным. Мотивация для введения аксиомы IX станет ясна позднее.

Теорема Дезарга.

Если соответствующие вершины двух треугольников соединены прямыми, пересекающимися в одной точке, то их соответствующие стороны пересекаются в трех коллинеарных точках. Обратно, если соответствующие стороны пересекаются в коллинеарных точках, то прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке.

На рис. 2 вы видите эту знаменитую теорему, примененную к треугольникам PQR. P ўQ ўR ў, у которых прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в точке O. Теорема Дезарга почти очевидна, если два треугольника лежат в различных плоскостях; действительно, в этом случае точки

лежат в плоскости PQR. а также в плоскости P ўQ ўR ў; поэтому они все лежат на прямой PQR ЧP ўQ ўR ў. Случай двух треугольников, лежащих в одной плоскости, сводится к предыдущему с помощью несколько более длинного рассуждения, использующего две новые точки на прямой, проходящей через O вне плоскости треугольников.

Основная теорема проективной геометрии.

Проективное соответствие между двумя прямыми (т.е. между точками этих прямых) единственным образом определяется заданием трех точек на одной прямой и соответствующих трех на другой.

Основная теорема следует из аксиомы IX, если мы установим цепочку перспективных соответствий, связывающих две заданные триады коллинеарных точек. Если две триады точек располагаются на различных прямых, как на рис. 2, то достаточно двух перспективных соответствий. Если обе триады располагаются на одной и той же прямой, то необходимо третье перспективное соответствие, чтобы создать еще одну триаду, не лежащую на той же прямой.

Проективное соответствие между различными прямыми эквивалентно одному перспективному соответствию лишь когда точка, в которой эти прямые пересекаются, инвариантна.

Классификация проективных соответствий на прямой.

Аксиома IX показывает, что проективное соответствие на одной прямой не может иметь более двух инвариантных точек; в противном случае оно вырождается в тождественное соответствие, которое сопоставляет с каждой точкой ее саму. Проективное соответствие называется «эллиптическим9raquo;, «параболическим9raquo; или «гиперболическим9raquo; в зависимости от того, равно число инвариантных точек 0, 1 или 2. Если используются координаты, то инвариантные точки возникают как корни квадратных уравнений; таким образом, в комплексной геометрии эллиптические проективные соответствия не встречаются, но в действительной геометрии проективное соответствие

Если при проективном соответствии некоторая точка X прямой переходит в точку X ў, а точка X ў переходит в X. то для любой другой точки Y. переходящей в Y ў, Y ў переходит в Y ; такое соответствие, меняющее местами точки в любой паре переходящих друг в друга точек, называется инволюцией.

Коллинеации и корреляции.

Проективное соответствие можно описать как своего рода одномерное преобразование. Оно имеет два двумерных аналога. Коллинеация – проективное соответствие, при котором точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой. Корреляция – проективное соответствие, при котором любым трем точкам, лежащим на одной прямой, соответствуют три прямые, проходящие через одну точку, а любым трем прямым, проходящим через одну точку, соответствуют три точки, лежащие на одной прямой.

Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. М. 1970
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М. 1978

2. Теорема Дезарга.

Одним из самых ранних открытий в области проективной геометрии является замечательная теорема Дезарга (1593-1662): если на плоскости два треугольника и расположены таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины, конкуррентны, то три точки, в которых пересекаются, будучи продолжены, три соответственные стороны, — коллинеарны. Эта теорема здесь иллюстрируется чертежом (рис. 72), но пусть читатель проверит ее справедливость, экспериментируя на самостоятельно построенных чертежах. Доказательство теоремы не является тривиальным, несмотря на всю простоту чертежа, состоящего только из прямых линий. Теорема явственно принадлежит проективной геометрии, так как при проектировании рассматриваемый чертеж не теряет свойств, упомянутых в теореме. В дальнейшем мы еще вернемся к этой теореме (стр. 261).

Рис. 73. Конфигурация Дезарга в пространстве

В настоящий же момент мы хотели бы привлечь внимание читателя к тому любопытному обстоятельству, что теорема Дезарга справедлива также и в том предположении, что рассматриваемые треугольники расположены в двух различных (непараллельных) плоскостях и что подобного рода «трехмерная» или «пространственная» теорема Дезарга доказывается без малейших затруднений. По предположению, прямые и пересекаются в одной и той же точке О (рис. 73). В таком случае прямые и лежат в одной плоскости значит, пересекаются в некоторой точке пусть, таким же образом, и пересекаются в точке а и в точке Р. Так как точки находятся на продолжениях сторон

треугольников и то все они лежат в плоскости каждого из этих треугольников и потому — на прямой пересечения этих двух плоскостей. Значит, коллинеарны, что и требовалось доказать.

Это простое доказательство наводит на мысль, что можно было бы попытаться доказать «двумерную» теорему Дезарга, так сказать, с помощью перехода к пределу, постепенно сплющивая всю пространственную конструкцию таким образом, чтобы две плоскости в пределе совпали в одну, и в этой последней, вместе с другими, оказалась и точка О. Выполнить, однако, указанный предельный переход не так просто, так как прямая пересечения при совмещении плоскостей не определяется однозначно.

Тем не менее, конфигурация, изображенная на рис. 72, может быть истолкована как перспективное изображение пространственной конфигурации рис. 73, и это обстоятельство можно использовать при доказательстве «плоской» теоремы.

Есть существенное различие между теоремой Дезарга на плоскости и в пространстве. Наше доказательство, относящееся к случаю трех измерений, опиралось только на геометрические соображения, относящиеся к инцидентности точек, прямых и плоскостей. Можно показать, что доказательство двумерной теоремы — при дополнительном требовании не выходить из данной плоскости — неизбежно должно опираться на некоторые свойства подобных фигур, принадлежащих уже не проективной, а метрической геометрии.

Теорема, обратная теореме Дезарга, утверждает, что если три точки, в которых пересекаются соответственные стороны, коллинеарны, то прямые, соединяющие соответственные вершины, конкуррентны. Доказательство этой теоремы — в случае, когда треугольники лежат в непараллельных плоскостях, — предоставляется читателю в качестве упражнения.

Теорема Дезарга

Теорема дезарга

Теорема Дезарга является одной из основных теорем проективной геометрии. Она формулируется следующим образом:

Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что

прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников. проходят через одну точку. то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой.

Обратное тоже верно:

Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку.

Теорема дезаргаТеорема дезаргаТеорема дезаргаТеорема дезарга

Эти две теоремы являются двойственными по отношению друг к другу, и иногда объединяются в единую теорему, которая формулируется так: «Два треугольника имеют центр перспективы [1] тогда и только тогда, когда они имеют ось перспективы [2] ».

Содержание

О доказательстве Править

Одно из самых распространённых доказательств основывается на переходе в трёхмерное пространство — достаточно представить оба треугольника двумя сечениями трёхгранной пирамиды. Вся картина при этом рассматривается как проекция на плоскость пространственной структуры.

Возможно также доказательство через теорему Менелая.

Конфигурация Дезарга Править

Точки и прямые в теореме Дезарга образуют так называемую конфигурацию Дезарга. Здесь через каждую из 10 точек проходят 3 прямые и на каждой из 10 прямых лежат 3 точки. При этом любая из 10 точек может быть принята за «вершину трёхгранной пирамиды» («дезаргову точку») в приведённом выше доказательстве. Любая прямая, может быть взята как «дезаргова прямая». Фиксирование дезарговой точки или дезарговой прямой полностью определяет всю конфигурацию.

Теорема Дезарга и аксиоматика проективной геометрии Править

При построении проективной геометрии плоскости, без выхода в трёхмерное пространство, теорема Дезарга не выводится из основных аксиом проективной плоскости. Это означает, что возможно построить проективную плоскость, где теорема Дезарга не верна (см. недезаргова геометрия ). При построении дезарговой проективной плоскости утверждение теоремы Дезарга добавляют к системе аксиом проективной плоскости в качестве ещё одной аксиомы.

Вариации и обобщения Править

Понселе основал на ней свою изящную теорию гомологических фигур. Он называл два треугольника, о которых идет речь в теореме Дезарга, гомологическими, точку пересечения прямых, соединяющих попарно их вершины, центром гомологии, и прямую, на которой попарно пересекаются их стороны, — осью гомологии.

Понселе дал следующую теорему для геометрии в пространстве, как соответствующую теореме Дезарга на плоскости:

Если два тетраэдра имеют вершины, лежащие попарно на четырех прямых, сходящихся в одной точке, то плоскости противоположных граней пересекаются почетырем прямым, находящимся в одной плоскости.

Эта теорема может быть обобщена еще далее следующим образом:

Когда вершины двух тетраэдров помещены попарно на четырех прямых, принадлежащих к одной группе образующих гиперболоида с одною полостью, то грани их пересекаются по четырем прямым, которые принадлежат к образующим другого гиперболоида.

История Править

Теорема Дезарга была открыта французским геометром Дезаргом. она, вместе с двумя другими, из которых одна есть её обратная, была помещена в конце сочинения Traité de perspective. составленного Боссом согласно началам и методу Дезарга и появившегося в 1636 году. В этом сочинении было отмечено, что это утверждение очевидно, когда треугольники находятся в двух разных плоскостях; рассмотрение же случая, когда они лежат в одной плоскости, доставляет один из первых примеров употребления теореме Менелая у новых геометров. Известность теорема Дезарга получила в начале XIX века благодаря её употреблению в работах Брианшона и Понселе.

См. также Править

Ссылки Править

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке . Оригинальная статья находится по адресу: Теорема Дезарга. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок . Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

Обнаружено использование расширения AdBlock.

Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *