Первый признак равенства треугольников доказательство

Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

1) по двум сторонам и углу между ними

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1 B1 C1 так, чтобы угол A совместился с углом A1. Так как АВ=А1 В1. а АС=А1 С1. то B совпадёт с В1. а C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1 В1 С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

2)Первый признак равенства треугольников доказательство по стороне и прилежащим к ней углам

ПустьАВС и А1 В1 С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1 В1, угол А равен углу А1. и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1 B1 C1 так, чтобы AB совпало с A1 B1. Так как ∠ВАС =∠В1 А1 С1 и ∠АВС=9ang;А1 В1 С1. то луч АС совпадёт с А1 С1. а ВС совпадёт с В1 С1. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1 В1 С1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

3) по трём сторонам

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1 B1 C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1. вершина В — с вершиной В1. а вершины С и С1. оказались по разные стороны от прямой А1 В1. Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С1 С про­ходит внутри угла А1 С1 В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1 C1. ВС и В1 С1 равны, то треугольники A1 C1 C и В1 С1 С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=9ang;A1 C1 B1 .

Итак, AC=A1 C1. BC=B1 C1. ∠C=9ang;C1. Следовательно, треугольники ABC и A1 B1 C1 равны по
первому признаку равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников доказательствоПервый признак равенства треугольников доказательство

2.Первый признак равенства треугольников доказательствоДеление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и An провести прямую и к ней параллельные через точки A1 – An-1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

Первый признак равенства треугольников доказательство Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

2. ΔABB2 =ΔCDD2 ABB2 CDD2 BAB2 DCD2 и равны на основании второго признака равенства треугольников:
AB = CD согласно условию теоремы,
как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB1 и DD1 прямой BD.

3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB2 = CD2 как соответственные элементы в равных треугольниках.

4. A1 B1 = AB2 = CD2 = C1 D1Первый признак равенства треугольников доказательство

Первый признак равенства треугольников доказательство

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Первый признак равенства треугольников

Теорема 3.1 (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Первый признак равенства треугольников доказательство
Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A1 B1 C1Первый признак равенства треугольников доказательство А= Первый признак равенства треугольников доказательство А1. AB = A1 B1. АС = А1 С1 (рис. 44). Докажем, чтотреугольники равны.

Пусть А1 В2 С2 —треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной В2 на луче A1 B1 и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1 B1. где лежит вершина C1 (рис. 45, а).

Так как A1 B1 =A1 B2. то вершина B2 совпадает с вершиной В1. (рис. 45,6). Так как Первый признак равенства треугольников доказательство B1 A1 C1 =Первый признак равенства треугольников доказательство B2 A1 C2. то луч А1 С2 совпадает с лучом A1 C1 (рис. 45, в). Так как A1 C1 =A1 C2. то вершина С2 совпадает с вершиной C1 (рис. 45, г).

Итак, треугольник A1 B1 C1 совпадает с треугольником А1 В2 С2. значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.

Первый признак равенства треугольников доказательство
Задача (1). Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС = 10 м?

Первый признак равенства треугольников доказательство
Решение. Треугольники АОС и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (рис. 46).

У них углы АОС и BOD равны как вертикальные, а OA=ОВ и OC=OD потому, что точка О является серединой отрезков АВ и CD. Из равенства треугольников АОС и BOD следует равенство их сторон АС и BD. А так как по условию задачи АС = 10 м, то и BD=10 м.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Лекция добавлена 25.08.2012 в 05:58:36

© Учёба-Легко.РФ, Санкт-Петербург, 2010-2017 гг. [email protected]

Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

1-ый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними (Теорема 3.1.Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними — Если две стороны и угло между ними одного треугольнгрка равны соотвественно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны )

Пусть у треугольников АВС и А1 В1 С1 угол А равен углу А1. АВ равно А1 В1, АС равно А1 С1. докажем, что треугольники равны.

Пусть А1 В2 С2 – треугольник, равный АВС, с вершины В2 на луче А1 В1 и вершины С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1 В1. где лежит вершина С1 .

2-ойпризнак равенства треугольников: по стороне и прилежим к ней углам (Теорема 3.2. — Признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам — Если сторона и прилежащие у ней углы одного треугольника равны соотвественно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны)

Пусть АВС и А1 В1 С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1 В1, угол А равен углу А1. и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.

Пусть А1 В2 С2 – треугольник, равный АВС, с вершины В2 на луче А1 В1 и вершины С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1 В1. где лежит вершина С1 .

3-ийпризнак равенства треугольников: по трем сторонам ( Теорема 3.6. — Признак равенства треугольников по трем сторонам — Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны)

Пусть АВС и А1 В1 С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1 В1, АС равно А1 С1. и ВС равно В1 С1. Докажем, что они равны.

Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол А не равен углу А1. угол В не равен углу В1, и угол С не равен углу С1. Иначе они были бы равны, по перовому признаку.

Пусть А1 В1 С2 – треугольник, равный треугольнику АВС, у которого Свершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1 В1 .

Пусть D – середина отрезка С1 С2. Треугольники А1 С1 С2 и В1 С1 С2 – равнобедренные с общим основанием С1 С2. Поэтому их медианы А1 D и В1 D – являются высотами, значит прямые А1 D и В1 D – перпендикулярны прямой С1 С2. Прямые А1 D и В1 D не совпадают, так как точки А1, В1. D не лежат на одной прямой, но через точку D прямой С1 С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

Похожие документы:

вопрос – практический, он содержит задачу. Билет № 1 1. Первый признакравенстватреугольников. Найдите все возможные значения площади треугольника. Билет № 2 1. Признакиравенстватреугольника (доказательствовсехпризнаков ). 2. Деление отрезка на.

точки до прямой. Признакиравенстватреугольников. Треугольники. Медианы, биссектрисы, высоты треугольника. Признакиравенстватреугольников. Признакиравенства прямоугольных треугольников. Геометрические места точек.

ответ на вопросбилета. Единственное слово помогло восстановить в памяти во всех логических связях. вопросительным знаком. Необычным сигналом к доказательству третьего признакаравенстватреугольников являются обрывки медиан, выполненные к тому.

уравнение? (1). Сумма длин всех сторон многоугольника? (Периметр). на шуточный вопрос. На лотерейном билете записано условие задачи. 3. Утверждение, не требующее доказательств. (Аксиома) 4. Сколько признаковравенстватреугольников мы знаем? (Три).

треугольника. 2. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник. километров всех друзей. доказательство. равенства (или неравенства) регистра нулю, которая позволяет организовать по этому признаку. билете № 13, а билет № 21 затрагивал вопрос.

Первый признак равенства треугольников. Второй и третий признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников доказательство

13 признаков, что у вас самый лучший муж Мужья – это воистину великие люди. Как жаль, что хорошие супруги не растут на деревьях. Если ваша вторая половинка делает эти 13 вещей, то вы можете с.

Первый признак равенства треугольников доказательство

10 самых «фотогеничных» нарядов Вы прекрасно себя чувствуете в своем любимом свободном платье или огромном вязаном свитере и наслаждаетесь жизнью. Однако все меняется, как только вы.

Первый признак равенства треугольников доказательство

Эти 10 мелочей мужчина всегда замечает в женщине Думаете, ваш мужчина ничего не смыслит в женской психологии? Это не так. От взгляда любящего вас партнера не укроется ни единая мелочь. И вот 10 вещей.

Первый признак равенства треугольников доказательство

Наши предки спали не так, как мы. Что мы делаем неправильно? В это трудно поверить, но ученые и многие историки склоняются к мнению, что современный человек спит совсем не так, как его древние предки. Изначально.

Первый признак равенства треугольников доказательство

Как выглядеть моложе: лучшие стрижки для тех, кому за 30, 40, 50, 60 Девушки в 20 лет не волнуются о форме и длине прически. Кажется, молодость создана для экспериментов над внешностью и дерзких локонов. Однако уже посл.

Первый признак равенства треугольников доказательство

9 знаменитых женщин, которые влюблялись в женщин Проявление интереса не к противоположному полу не является чем-то необычным. Вы вряд ли сможете удивить или потрясти кого-то, если признаетесь в том.

Докажите первый признак равенства треугольников. Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?
Помогите пожалуйста

Первый признак равенства треугольников доказательство

1.Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.
Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, AB = A1B1, AC = A1C1. первый признак равенства треугольников — доказательство. Пусть есть треугольник A1B2C2 – треугольник равный треугольнику ABC, с вершиной B2, лежащей на луче A1B1, и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1.
Так как A1B1=A1B2, то вершины B1 и B2 совпадают.
Так как ∠ B1A1C1 = ∠ B2A1C2, то луч A1C1 совпадает с лучом A1C2.
Так как A1C1 = A1C2, то точка С1 совпадает с точкой С2. Следовательно, треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.
2. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.
Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, ∠ B = ∠ B1, AB = A1B1.
Пусть A1B2C2 – треугольник, равный треугольнику ABC. Вершина B2 расположена на луче A1B1, а вершина С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1. Так как A1B2 = A1B1, то вершина B2 совпадает с вершиной B1. Так как ∠ B1A1C2 = ∠ B1A1C1 и ∠ A1B1C2 = ∠ A1B1C1, то луч A1C2 совпадает с лучом A1C1, а луч B1C2 совпадает с лучом B1C1. Отсюда следует, что вершина С2 совпадает с вершиной С1. Треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.
3.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство
Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC. По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC ; BC = AC ; C = C. Отсюда следует A = B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.
4. Это следует из №3
5. Условие и заключение в таких теоремах меняются местами.
Пример: Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. -прямая
Обратная: Если углы при основании равны, то треугольник равнобедренный.
6. в картинках
7. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.

Пусть треугольники ABC и A1B1C1 такие, что AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1. Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, что треугольники не равны. Тогда ∠ A ≠ ∠ A1, ∠ B ≠ ∠ B1, ∠ C ≠ ∠ C1 одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.
Пусть треугольник A1B1C2 – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой A1B1.
Пусть D – середина отрезка С1С2. треугольники A1C1C2 и B1C1C2 равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой С1С2. Прямые A1D и B1D не совпадают, так как точки A1, B1, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Первый признак равенства треугольников доказательство

Бесплатная помощь с домашними заданиями

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *