Теорема кенига

Кинетическая энергия твёрдого тела. Теорема Кёнига

Опр. Работой силы на перемещении называется поекция этой силы на направление перемещения, умноженная на перемещение. dA = FdS = FdScosa.

Если сложить все элементарные работы и перейти к пределу, устремив к 0 длинны всех элементарных перемещений, а их число к µ, то такой предел обозначается символом: . и наз. криволинейным интегралом вектора F вдоль траектории L. Элементарная работа результирующей 2-х или нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил.

F=dp/dt, ds=v dt Þ A=ò(v dp)=[p=mv, v dp=mv dv, скалярное произведение самого на себя равно квадрату длинны]=mv 2 /2. A12 =m . речь идёт о работе при перемещении материальной точки из положения 1 в положение 2. Величина K=(mv 2 /2)=p 2 /2m наз. кинетической энергией материальной точки. Работа силы при перемещении материальной точки равна приращению кинетической энергии этой точки. Кинетической энергией системы наз. сумма кин. эе. м.т. из к-х эта система состоит.

Как преобразовыается кинетическая энергия из одной системы в другую? Скорости связаны соотношением: v=v’+V Þ (Mv 2 )/2 = (mv’ 2 )/2 + (mV 2 )/2 + mv’V

или K =K’+(mV 2 )/2+(p’V), где р’=mv’ – импульс материальной точки в системе S’.

Это справедливо и для системы м. т. (мы можем рассмотреть их по две)

Это теорема Кёнига:

Кинетическая энергия системы м. т. равна сумме кин. энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним, и кин. энергии той же сиситемы в её относительном движении по отнош. К поступательно движущейся системе с началом в центре масс.

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Вопрос2: 2. Кинетическая энергия тела при плоско-параллельном движении. Теорема Кенига.

Кинетическая энергия системы.

Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная арифметиче­ской сумме кинетических энергий всех точек системы

Теорема кенига

Кинетическая энергия является характеристикой и поступатель­ного и вращательного движения системы, поэтому теоремой об изме­нении кинетической энергии особенно часто пользуются при решении задач.

Если система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия равна, очевидно, сумме кинетических энергий этих тел:

Теорема кенига

Кинетическая энергия – скалярная и всегда положительная величина.

Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тела в разных случаях движения.

1. Поступательное движение. В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости дви­жения центра масс. То есть, для любой точки Теорема кенига

Теорема кенига

Теорема кенига

Таким образом, кинетическая энергия тела при поступатель­ном движении равна половине произведения массы тела на квад­рат скорости центра масс. От направления движения значение Т не зависит.

2. Вращательное движение. Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси Оz (см. рис.46), то скорость любой его точки Теорема кенига, гдеТеорема кенига— расстояние точки от оси вращения, а- угло­вая скорость тела. Подставляя это значение и вынося общие множители за скобку, получим:

Теорема кенига

Величина, стоящая в скобке, представляет собою момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, окончательно найдем:

Теорема кенига

т. е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости. От направления вращения значение Т не зависит.

Теорема кенига

При вращении тела вокруг неподвижной точки кинетическая энергия определяется как (рис.47)

Теорема кенига

Теорема кенига,

где Ix,Iy,Iz – моменты инерции тела относительно главных осей инерции x1. y1. z1 в неподвижной точке О ; Теорема кенига,Теорема кенига,Теорема кенига– проекции вектора мгновенной угловой скоростиТеорема кенигана эти оси.

Теорема кенига

3. Плоскопараллельное движение. При этом движе­нии скорости всех точек тела в каждый момент времени распреде­лены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через мгновенный центр ско­ростей Р (рис.46). Следовательно

Теорема кенига,

где Теорема кенига— момент инерции тела относительно названной выше оси,- угловая скорость тела. Величина Теорема кенигав формуле будет перемен­ной, так как положение центраР при движе­нии тела все время меняется. Введем вместо Теорема кенигапостоянный момент инерцииТеорема кенига, относительно оси, проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса Теорема кенига, где d=PC. Подставим это выражение для Теорема кенига. Учитывая, что точкаР — мгновенный центр скоростей, и, следовательно, Теорема кенига, где Теорема кенига— скорость центра массС. окончательно найдем:

Теорема кенига.

Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетиче­ская энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сло­женной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.

4) Для самого общего случая движения материальной системы кинетическую энергию помогает вычислить теорема Кенига.

Рассмотрим движение материальной системы как сумму двух движений (рис.48). Переносного – поступательного движения вместе с центром масс С и относительного – движения относительно поступательно движущихся вместе с центром масс осей x1,y1,z1. Тогда скорость точек Теорема кенига. Но переносное движение – поступательное. Поэтому переносные скорости всех точек равны, равныТеорема кенига. Значит,Теорема кенига и кинетическая энергия будет

Теорема кенига

Теорема кенига

Теорема кенига

По определению центра масс его радиус-вектор в подвижной системе Теорема кенига(центр масс находится в начале координат), значит, иТеорема кенига. Производная по времени от этой суммы также равна нулю:

Теорема кенига.

Поэтому, окончательно, кинетическая энергия системы

Кинетическая энергия материальной системы равна сумме кинетической энергии при поступательном движении вместе с центром масс и кинетической энергии ее при движении относительно координатных осей, поступательно движущихся вместе с центром масс.

В общем случае движения тела, которое можно рассматривать как сумму двух движений (переносного – поступательного вместе с центром масс С и относительного – вращения вокруг точки С ), по теореме Кенига (1) получим

1вопрос: 1. Теорема о связи момента силы относительно точки и относительно оси.

Моментом силы относительно точки (центра) на­зывается вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т. е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии дей­ствия силы. Он направлен перпендикулярно плоскости, проходя­щей через выбранную точку и линию действия силы. Если мом силы по часов стрелки, то момент отрицательный, а если против, то положительный. Если O— точка, относ кот находится момент силы F, то момент силы обозначается символом Мо (F). Если точка приложения силы F определяется радиусом-вектором r относительно О, то справедливо соотношение Мо (F)=г х F. (3.6) Т.е. момент силы равен векторному произ­ведению вектора r на вектор F. Модуль векторного произведения равен Мо (F)=rF sin a=Fh, (3.7) где h — плечо силы. Вектор Мо (F) направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы r и F, и против часовой стрелки. Таким образом, формула (3.6) полностью определяет модуль и направление момента силы F. Формулу (3.7) можно записать в виде MO (F)=2S, (3.8) где S– площадь треугольника ОАВ. Пусть x, у, z — координаты точки приложения силы, a Fx. Fy. Fz — проекции силы на координатные оси. Если т. О нах. в начале координат, то момент силы:

Теорема кенига

Введем понятие проекции силы на плоскость. Пусть дана сила F и нек-ая пл-ть. Опустим из начала и конца вектора силы перпендикуляры на эту плоскость (рис. 3.5). Проекцией силы на плоскость называется вектор, начало и конец которого совпадают с проекцией начала и проекцией конца силы на эту плоскость. Проекцией силы F на пл-ть xOy будет Fxy. Момент силы Fxy отн. т. О (если z=0, Fz =0) будет Mo (Fxy )=(xFy –yFx )k. Этот момент направлен вдоль оси г, а его проек­ция на ось z в точности совпадает с проекцией на ту же ось момента силы F относительно точки О.Т.е, MOz (F)=МОz (Fxy )=xFy –yFx. (3.11). Тот же результат мож­но получить, если спроектировать силу F на любую другую плоскость, парал­лельную плоскости хОу. При этом точка пересечения оси с плоскостью будет уже иной (обозначим О1 ). Однако все входящие в правую часть равенства (3.11) величины х, у, Fx. Fy останутся неизменными: MOz (F)=MOlz (Fxy ). Проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, не зависит от выбора точ­ки на оси. Вместо MOz (F) запишем Mz (F). Эта проекция момента называется моментом силы относительно оси z. Перед вычислениями силу F проецируют на пл-ть, перп оси. Мz (F)=Мz (Fxy )=±Fxy h (3.12). h- плечо. Если по часовой стрелки, то +, против –. Для вычисления мом. сил нужно: 1) выбрать на оси произвольную точку и построить плоскость, перпендикулярную оси; 2) спроектировать на эту плоскость силу; 3) определить плечо проекции силы h. Момент силы относительно оси равен произведению модуля про­екции силы на ее плечо, взятому с соответствующим знаком. Из (3.12) следует, что момент силы относительно оси равен нулю: 1) когда проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю, т. е. когда сила и ось параллель­ны; 2) когда плечо проекции h равно нулю, т. е. когда линия действия силы пересекает ось. Или: мо­мент силы относительно оси равен нулю тогда и только тогда, когда линия действия силы и ось находятся в одной плоскости.

Введем понятие момента пары. Найдем, чему равна сумма моментов сил, составляющих пару, относительно про­извольной точки. Пусть О — произвольная точка пространства (рис. 3.8), a F и F’ — силы, составляющие пару. Тогда Мо (F)=ОАxF, Мо (F’)= OBxF’, откуда Мо (F)+Мо (F’)=ОАxF+OBxF’, но так как F’=–F, то M0 (F)+M0 (F’)=OAxF–ОBхF=(ОА– OB)xF. Принимая во внимание равенство ОА–ОВ=ВА,окончательно находим: M0 (F)+M0 (F’)=BAхF. Т.е. сумма моментов сил, составляющих пару, не зави­сит от положения точки, относительно кото­рой берутся моменты. Векторное произведение ВАxF назы­вается моментом пары. Обозначается момент пары символом М(F,F’), причем М(F,F’)=BAxF=АВxF’, или, М=ВАхF=АВхF’. (3.13). Момент пары представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости пары, равный по модулю произведению модуля одной из сил пары на плечо пары (т. е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару) и направленный в ту сторону, откуда «вращение» пары видно происходящим против хода часовой стрелки. Если h – плечо пары, то М(F,F’)=hF. Чтобы пара сил сост уравновеш сист необх: чтобы момент пары=0, либо плечо=0.

Теорема Кенига

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии системы в ее относительном движении по отношению к центру масс:

. При плоскопараллельном движении

В замкнутой механической системе (т.е. нет действия внешних сил) в отсутствии диссипативных сил движение системы может происходить только под действием внутренних центральных сил, удовлетворяющим третьему закону Ньютона и зависящих только от расстояния между точками. Эти силы являются потенциальными. Имеют место три закона сохранения = const, T + П = E, = const. Любая из этих величин равна сумме значений для каждой из материальных точек, т.е. обладает свойством аддитивности.

В декартовых координатах эти законы имеют вид

Таким образом, в проекциях на оси декартовой системы координат имеем семь первых интегралов: три интеграла количества движения, один интеграл энергии и три интеграла момента количества движения.

Сложное движение точки .

Рассмотрим движение точки по отношению к системе подвижных координат . которые в свою очередь движутся относительно осей x, y, z. Систему осей x, y, z условно будем считать неподвижной.

Движение точки относительно неподвижных осей координат называют абсолютным движением. Движение точки относительно подвижных осей координат называют относительным движением. Переносным называют движение относительно неподвижной системы осей той точки подвижной системы осей . с которой в данный момент совпадает движение.

Абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростям:

Абсолютное ускорение равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорения: (теорема Кориолиса).

Задача 5. 20. Определить проекции скорости точки М на оси полярной системы координат. Рассмотрим движение сложное.

Относительное движение – прямолинейное движение точки вдоль радиус-вектора .

Переносное движение – это движение точки вместе с радиус-вектором вокруг точки О.

Находим проекцию относительной скорости точки на направление радиус-вектора как производную от радиус-вектора по времени. Ее называют радиальной скоростью и обозначают . Переносная скорость – это скорость, связанная с радиусом-вектором. Эта скорость перпендикулярная радиус-вектору и называется трансверсальной: .

Задача 5.21. Определить проекции ускорения точки М на оси полярной системы координат.

Проекция относительного ускорения на направление радиус-вектора равна .

Переносное ускорение складывается из двух составляющих: переносного касательного и переносного нормального . Ускорение направлено перпендикулярно к радиус-вектору, направлено к центру вращения. Величина кориолисова ускорения . а направление совпадает с переносным касательным ускорением: . Далее находим проекции ускорений на полярные оси координат: на радиальное направление — . на трансверсальное направление — .

Задача 5.26. Определить ускорение точки, движущейся в плоскости, если ее поперечное ускорение относительно центра равно нулю (центральное движение).

. .Поскольку . то . Эта величина равна удвоенной секторной скорости.

Площадь сектора, описываемого радиус-вектором точки за время с точностью до величин первого порядка равна . где -приращение дуги за . Это и есть секторная скорость.

Существует особый класс сил, для которых работа не зависит от траектории, а определяется начальным и конечным положением материальной точки. Такие силы называются потенциальными или консервативными. Проекции сил могут быть выражены через частные производные некоторой функции, называемой потенциальной энергией: . . . или .

Элементарная работа потенциальной силы на перемещении будет полным дифференциалом . В декартовых координатах

Отсюда следует, что в потенциальном поле полная работа потенциальных сил не зависит от траектории, по которой перемещается материальная точка, и определяется лишь начальным и конечным положением точки:

Потенциальная энергия и вычисляется по формуле .

Примеры: Потенциальная энергия в однородном поле тяжести:

Сила равна F= -mg, .

Условимся считать, что потенциальная энергия равна нулю при z = 0.

Потенциальная энергия в центральном поле сил:

Силовое поле называется центральным, если сила, приложенная к движущейся в нем телу, направлена вдоль прямой, проходящей через заданный центр — неподвижную точку О. Например, сила, действующая на планету в поле тяготения Солнца: Условимся считать потенциальную энергию тела массой m равной нулю при r = ¥. Тогда

Потенциальная энергия упругой силы (например, растянутой пружины):

. где к – коэффициент упругости, l – длина пружины.

Пространство конфигураций (координатное пространство) и фазовое пространство.

В аналитической механике при исследовании движения материальной точки важную роль играет геометрическая интерпретация этих движений. Она опирается на понятия конфигурационного пространства и фазового пространства.

Конфигурационное (координатное) пространство – это n-мерное пространство с системой координат, по осям которых отложены значения координат, однозначно определяющих положение всех точек материальной системы. Геометрическая интерпретация состоит в том, что любому движению системы в этом пространстве соответствует перемещение изображающей точки.

Введем понятие фазового пространства. Состояние механической системы в некоторый момент времени определяется положением (координатами) и скоростями (производными координат) всех ее точек. Значения координат и их производных можно рассматривать как координаты точки в n-мерном пространстве.

Отличие фазового пространства от координатного заключается в том, что траектории в фазовом пространстве не пересекаются и при определенных условиях существуют функционалы (инварианты), сохраняющие свою величину при преобразованиях координат.

Координатные системы. Обобщенные координаты.

Уравнения движения системы материальных точек записывается в виде дифференциальных уравнений в некоторой системе координат.

Для каждого момента времени между возможными положениями системы и точками пространства устанавливается взаимно однозначное соответствие. Каждому возможному положению системы отвечает некоторая точка координатного пространства. Движение системы соответствует движению этой точки в координатном пространстве.

Размерность координатного пространства определяется наименьшим числом независимых параметров (координат), однозначно определяющих положение точки.

Уравнения движения могут быть записаны в прямоугольных (декартовых), криволинейных (полярных, цилиндрических, сферических и др.) и обобщенных координатах. Эффективность решения задач динамики в значительной степени зависит от удачного выбора системы координат.

В математике и физике используются несколько координатных систем: прямоугольные (декартовы), криволинейные (полярные, цилиндрические, сферические и др.) и обобщенные координаты.

Положение точки определяется радиус-вектором r с координатами x, y, z. Эти координаты называются также прямоугольными.

Элементы длины по координатным осям:ds(x) =dx, ds(y) =dy, ds(z) =dz

Характеристиками криволинейной системы координат являются координатные линии и координатные оси — .касательные к координатным линиям.

а) Полярные координаты.

Положение точки определяется радиус-вектором r и углом j. Координатные линии: луч (линия r), окружность (линия j). Элементы длины координатных линий: ds(r) = dr и ds(j)= rdj.

б) Цилиндрические координаты .

Положение точки определяется радиус-вектором r, углом j. z. Координатные линии: луч (линия r), окружность (линия j), прямые (линии z). Элементы длины координатных линий: ds(r)= dr, ds(j) = rdj, ds(z) = dz.

Координаты точки: . . z.

в) Сферические координаты .

Положение точки определяется радиус-вектором r, углами j и .q. Координатные линии: луч (линия r), окружность (линия j), окружность радиуса rsinj (линия q). Элементы длины координатных линий: ds(r) = dr, ds(j)= rsinjdj, ds(q )= rdq.

Рис. Цилиндрические координаты

Рис. Сферические координаты

Обобщенными координатами называются любые n независимых параметров qi (i,…,n) в своей совокупности определяющих конфигурацию системы. Они могут быть расстояниями, углами, площадями и т.п. а могут и не иметь непосредственного физического смысла. Требуется только, чтобы они были независимыми, а декартовы координаты точек системы можно было выразить через qi и t: . (i=1,…,n).

Кинетическая энергия в разных системах координат.

В декартовых координатах: Координаты x, y, z. ds(x) =dx, ds(y) =dy, ds(z) =dz.

В полярных координатах: Координаты r, j. ds(r) = dr и ds(j)= rdj.

В цилиндрических координатах: Координаты r, j, z. ds(r)= dr, ds(j) = rdj, ds(z) = dz.

В сферических координатах: Координаты r, j, q. ds(r) = dr, ds(j)= rsinjdj, ds(q )= rdq.

Кинетическая энергия в обобщенных координатах

Кинетическая энергия нестационарной голономной системы представляет собой функции (многочлен) второй степени относительно обобщенных скоростей:

T = T2 + T1 + T0. где . . где — многочлен второй степени от обобщенных скоростей, — многочлен первой степени от обобщенных скоростей, — от обобщенных скоростей не зависит. В случае голономной стационарной системы = 0. Тогда . и .

Таким образом, кинетическая энергия голономной стационарной системы представляется в виде однородной функции второй степени (квадратичной формы) от обобщенных координат.

Элементарная работа в обобщенных координатах. Обобщенные силы.

Рассмотрим элементарную работу активных сил на виртуальных перемещениях. Пусть — равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке n. Элементарная работа равна . (1).

Запишем через обобщенные координаты: .

Подставим это выражение в правую часть формулы (1) и выразим элементарную работу активных сил на виртуальных перемещениях через произвольные элементарные приращения обобщенных координат

где коэффициенты при dqi определяются равенством и называются обобщенными силами. Каждой обобщенной координате qi соответствует своя обобщенная сила Qi (i=1. n). Размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей координаты |Q| = и может быть различной в зависимости от выбора обобщенных координат.

В практических задачах при нахождении величины Qi дают такое виртуальное перемещение, при котором только координата qi получает некоторое приращение, остальные координаты не меняются. После этого вычисляют работу активных сил на выбранном перемещении. Тогда . .

Пусть силы потенциальны, тогда, учитывая, что получим

Отсюда следует, что в случае потенциальных сил обобщенные силы могут быть вычислены по формуле .

1) Материальная точка может перемещаться вдоль оси x под действием силы Fx Примем координату x в качестве обобщенной. Тогда dА = Fdx, Q=F.

2) Материальная точка может вращаться вокруг неподвижной оси z. В качестве обобщенной координаты примем угол поворота j. Элементарная работа dA = Lz .dj, где Lz — сумма моментов активных сил относительно оси вращения. Тогда Q=Lz .

Задача. Определить обобщенную силу в случае движущегося математического маятника веса P, если длина нити l, обобщенная координата j.

Решение. Единственная задаваемая сила P. Связь идеальна (нить нерастяжима).

Первый способ. Дадим малое перемещение dj в сторону возрастания угла. Для определения обобщенной силы Q вычислим работу силы веса P маятника на возможное перемещение dA= -Plsinjdj. Тогда Qj = -Plsinj

Второй способ. Сила тяжести потенциальна. Потенциальная энергия равна работе сил тяжести при перемещении маятника из данного положения в нулевое, т.е. P=-Px. Учитывая, что x=lcosj, получим P =-Plcosj Для определения обобщенной силы надо взять с обратным знаком производную от потенциальной энергии по обобщенной координате:

Система Кенига. Первая теорема Кенига

Все темы данного раздела:

Основные законы механики
Теоретическая механика относится к числу так называемых аксиоматических наук. В ее основе лежит система исходных положений – аксиом, принимаемых без доказательства, но проверенных не только прямыми

Аксиома 3
Две материальные точки взаимодействуют с силами, равными по модулю и направленными по одной прямой в противоположные стороны (Рис. 2). Аксиома 4(Принцип

Скорость точки
Быстроту движения точки характеризует ее скорость, к определению которой мы сейчас переходим. Пусть в момент времени

Ускорение точки
Быстроту изменения вектора скорости характеризует ускорение точки. Пусть в момент времени точка нах

Аксиома 3
Система двух сил, приложенная к абсолютно твердому телу, уравновешена (эквивалентна нулю) тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю и действуют по одной прямой в противоположные

Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси называется проекция на ось момента силы, вычисленного относительно любой точки этой оси:

Пара сил
Парой сил называется система двух сил, равных по модулю и действующих по параллельным прямым в противоположные стороны. Плоскость, в ко

Дифференциальные уравнения движения механической системы
Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек. Для каждой точки системы в инерциальной системе о

Основные свойства внутренних сил
Рассмотрим две любые точки механической системы и

Теорема об изменении кинетического момента
Умножим каждое из уравнений (3.1) слева векторно на радиус–вектор соответствующей точки и сложим

Условия равновесия
Остановимся на вопросах равновесия материальных тел, которые составляют существенную часть раздела «Статика9quot; курса теоретической механики. Под равновесием в механике традиционно

Равновесие системы сил, линии действия которых лежат в одной плоскости
Во многих практически интересных случаях тело находится в равновесии под действием системы сил, линии действия которых расположены в одной плоскости. Примем эту плоскость за координатную

Расчет ферм
Особое место в ряду статических задач занимает расчет ферм. Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней (Рис.3.3). Если все стержни фермы и вся приложенная к ней

Равновесие тела при наличии трения
Как известно, при скольжении тела по опорной поверхности возникает сопротивление, тормозящее скольжение. Это явление учитывается путем введения в рассмотрение силы трения.

Центр параллельных сил
Это понятие вводится для системы параллельных сил, имеющих равнодействующую, причем точки приложения сил системы – точки

Центр тяжести тела
Рассмотрим материальное тело, расположенное вблизи поверхности Земли (в поле земного притяжения). Допустим сначала, что тело состоит из конечного числа материальных точек, другими словами – частиц,

Центр масс механической системы. Теорема о движении центра масс
Инерционные свойства материального тела определяются не только его массой, но и характером распределения этой массы в теле. Существенную роль в описании такого распределения играет положение центра

ЛЕКЦИЯ 5
5.1. Движение абсолютно твёрдого тела Одной из важнейших задач механики является описание движения абсолютно твердого тела. В общем случае различные точки

Поступательное движение твердого тела
Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению во все время движения.

Кинематика вращательного движения твердого тела
При вращательном движении в теле существует единственная прямая, все точки которой

Скоростью тела.
Окончательно получаем: (5.4) Формула (5.4) называется формулой Эйлера. На Рис.5.

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела
Вращение твердого тела, как и любое другое движение, происходит в результате воздействия внешних сил. Для описания вращательного движения используем теорему об изменении кинетического момента относ

Кинематика плоскопараллельного движения твердого тела
Движение тела называется плоскопараллельным, если расстояние от любой точки тела до некоторой неподвижной (основной) плоскости остается неизменным во все время движения

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела
При изучении кинематики плоско-параллельного движения твердого тела за полюс можно принимать любую точку тела. При решении задач динамики за полюс всегда принимают центр масс тела, а в качестве под

Работа и мощность силы. Потенциальная энергия
Половина произведения массы точки на квадрат ее скорости называется кинетической энергией материальной точки. Кинетической энергией механической системы назы

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
Теорема об изменении кинетической энергии относится к числу общих теорем динамики наряду с доказанными ранее теоремами об изменении количества движения и изменения момента количеств

Работа внутренних сил геометрически неизменяемой механической системы
Заметим, что в отличие от теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении кинетического момента в теорему об изменении кинетической энергии в общем случае входят внутренние силы.

Вычисление кинетической энергии абсолютно твердого тела
Получим формулы для вычисления кинетической энергии абсолютно твердого тела при некоторых его движениях. 1. При поступательном движении в любой момент времени скорости всех точек тела один

Работа внешних сил, приложенных к абсолютно твердому телу
В разделе «Кинематика9quot; установлено, что скорость любой точки твердого тела геометрически складывается из скорости точки, принятой за полюс, и скорости, полученной точкой при сферическом д

Работа силы тяжести
При вычислении работы силы тяжести будем считать, что мы рассматриваем ограниченную область пространства вблизи поверхности Земли, размеры которой малы по сравнению с размерами Земл

Работа упругой силы
Понятие упругой силы обычно ассоциируется с реакцией линейно–упругой пружины. Направим ось вдоль пр

Работа вращающего момента
Пусть сила приложена в некоторой точке тела, имеющего ось вращения. Тело вращается с угловой скорос

Возможные скорости и возможные перемещения
Понятия возможной скорости и возможного перемещения введем сначала для материальной точки, на которую наложена голономная удерживающая нестационарная связь. Возможной скоростью мат

Идеальные связи
Связи, наложенные на механическую систему, называются идеальными, если сумма работ всех реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю:

Принцип возможных перемещений
Принцип возможных перемещений устанавливает условия равновесия механических систем. Под равновесием механической системы традиционно понимают состояние ее покоя по отношению к выбранной инерциально

Общее уравнение динамики
Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек, на которую наложены идеальные уде

Теорема Кёнига (механика) это:

Формулировка

Кинетическая энергия системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

Теорема кенига,

где Теорема кенига — полная кинетическая энергия, Теорема кенига — энергия движения центра масс, Теорема кенига — относительная кинетическая энергия.

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы во вращательном движении относительно центра масс.

Выразим относительную кинетическую энергию Tr системы S как энергию, вычисленной относительно подвижной системы координат. Пусть Теорема кенига — радиус-вектор рассматриваемой точки в подвижной системе координат. Тогда:

Теорема кенига

Если Теорема кенига — радиус-вектор начала координат подвижной системы, а Теорема кенига — радиус-вектор рассматриваемой точки в исходной системе координат, то верно соотношение:

Теорема кенига

Вычислим полную кинетическую энергию системы в случае, если начало координат подвижной системы помещено в её центр масс. С учетом предыдущего соотношения:

Теорема кенига

Раскрывая скобки и вынося из-под знака интеграла. получаем:

Теорема кенига

Первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию материальной точки, помещённой в начало координат подвижной системы и имеющей массу, равную массе этой системы. Второй член равен нулю, так как по предположению начало координат подвижной системы помещено в её центр масс, следовательно, Теорема кенига. Третий член равен Теорема кенига, введённой ранее относительной энергии системы.

Литература

  • «Основы теоретической механики». В. Ф. Журавлев. Изд. Физико-математической литературы. 2001 г.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *