Теорема гаусса остроградского

Теорема Остроградского-Гаусса

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток вектора напряженности электрического поля. Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка . в пределах которой напряженность . т. е. электростатическое поле однородно. Произведение модуля вектора на площадь и на косинус угла между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку (рис. 10.7):

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность . В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль к поверхности, т. е. нормаль, направленная наружу области.

Если разбить эту поверхность на малые площадки, определить элементарные потоки поля через эти площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток вектора напряженности через замкнутую поверхность (рис. 10.8):

ТеоремаОстроградского-Гаусса утверждает: поток вектора напряженности электростатического полячерез произвольную замкнутую поверхностьпрямо пропорционален алгебраической сумме свободных зарядов, расположенных внутри этой поверхности:

где — алгебраическая сумма свободных зарядов, находящихся внутри поверхности . — объемная плотность свободных зарядов, занимающих объем .

Если ввести вектор электрического смещения

то теорему Остроградского-Гаусса можно выразить через поток вектора через замкнутую поверхность :

Из теоремы Остроградского-Гаусса (10.10), (10.12) следует, что поток не зависит от формы замкнутой поверхности (сфера, цилиндр, куб и т.п.), а определяется только суммарным зарядом внутри этой поверхности.

Используя теорему Остроградского-Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией.

Рассмотрим задачу о вычисленииполя тонкостенного пологооднородно заряженного длинного цилиндра радиуса (тонкой бесконечной заряженной нити). Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра произвольного радиуса и длины . закрытого с обоих торцов (рис. 10.9).

Для поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна . так как поток через оба основания равен нулю. Используя теорему Остроградского-Гаусса в форме (10.10), получим:

где — заряд на единицу длины цилиндра (линейная плотность заряда).

Отсюда напряженность поля

Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю тонкой бесконечной однородно заряженной нити.

Для расчета напряженности поля внутри заряженного цилиндра выберем замкнутый цилиндр с < . Поскольку внутри этого цилиндра заряд отсутствует, то в соответствии с (10.13), поток и поле равны нулю.

Аналогичным образом можно применять теорему Остроградского-Гаусса для расчета электрического поля и в других задачах, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев выбирают форму замкнутой гауссовой поверхности, исходя из симметрии задачи. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность выбирают в виде цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере).

Рассмотрим еще один примерсимметричного распределения зарядов– расчет поля равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда (заряд, приходящийся на единицу площади) (рис. 10.10).

В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости везде направлено по нормали к плоскости. Применение теоремы Гаусса дает:

Используя теорему Остроградского-Гаусса и принцип суперпозиции, можно рассчитать напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями (поле внутри плоского конденсатора)

и напряженность поля равномерно заряженной сферы радиуса на расстоянии ≥ :

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

2.3. Теорема Остроградского – Гаусса (теорема Гаусса)

К.Ф. Гаусс (1777–1855) выдающийся немецкий математик, астроном и физик в 1839г. предложил теорему, которая устанавливает связь потока вектора напряженности электрического поля черезТеорема гаусса остроградскогозамкнутую поверхность со значением зарядаq. находящегося внутри этой поверхности.Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М.В. Остроградским (1801-1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю – К.Гауссом.

Теорема Остроградского – Гаусса (теорема Гаусса):поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на Теорема гаусса остроградского:

Теорема гаусса остроградского.

Докажем эту теорему. Пусть поле создается точечным зарядом q. Окружим заряд замкнутой поверхностьюS произвольной формы. Разобьем замкнутую поверхность на элементарные площадкиdS. к каждой из которых проведем вектор нормалиТеорема гаусса остроградского.

ЭТеорема гаусса остроградскоголементарный поток вектора напряженности через площадкуdS (рис. 2.8) определится соотношением:

Теорема гаусса остроградского,

где Теорема гаусса остроградского–проекцияТеорема гаусса остроградскогона направление нормалиТеорема гаусса остроградского. ТогдаТеорема гаусса остроградского, гдеТеорема гаусса остроградского— элементарный телесный угол, под которым элементТеорема гаусса остроградскоговиден из места положения заряда. Вычислим поток вектора напряженности через замкнутую поверхностьS от точечного зарядаq. находящегося внутри этой поверхности.

Теорема гаусса остроградскогоТеорема гаусса остроградского,

Теорема гаусса остроградского.

Как видно, поток вектора напряженности выходящий из поверхности не зависит от формы поверхности, охватывающей заряд и пропорционален величине заряда.

Если заряд находится вне замкнутой поверхности, то суммарный поток через любые элементарные площадки dS1 иdS2 . находящиеся внутри телесного углаd Ω(рис. 2.9) равен сумме потоков напряженности выходящего из этой поверхности (положительный поток) и входящего в нее (отрицательный поток).

Тогда Теорема гаусса остроградского, следовательно, поток напряженности электрического поля через любую поверхностьS. не охватывающую заряды равен нулю, т.е.ФЕ =0.

Пусть внутри замкнутой поверхности имеется зарядов, тогда алгебраическим суммированием (согласно принципу суперпозиции) находим, что общий поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен Теорема гаусса остроградского.

Таким образом теорему Гаусса можно сформулировать следующим образом: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на Теорема гаусса остроградского:

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью Теорема гаусса остроградского, то теорема Гаусса имеет вид:

где интеграл справа берется по объему V, охватываемому поверхностьюS .

Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство: в то время как само поле Теорема гаусса остроградскогозависит от конфигурации всех зарядов, потокТеорема гаусса остроградскогосквозь произвольную замкнутую поверхность определяется только алгебраической суммой зарядов внутри поверхностиS. Это значит, чтоесли передвинуть заряды внутри замкнутой поверхности. тоТеорема гаусса остроградскогоизменится всюду. и на поверхностиS. апоток вектора Теорема гаусса остроградскогочерез эту поверхность останется прежним .

Таким образом, чтобы рассчитать поле, созданное какой-то конфигурацией зарядов в данной точке, нужно через эту точку провести замкнутую поверхность произвольной формы и рассчитать поток вектора напряженности через эту поверхность. Так как по теореме Гаусса поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на Теорема гаусса остроградского, то, зная величину заряда, находящегося внутри замкнутой поверхности можно найти напряженность поля в интересующей нас точке пространства.

Рассмотрим примеры применения теоремы Гаусса.

Теорема Остроградского – Гаусса в дифференциальной форме.

Применив математическую теорему Гаусса к формуле Теорема гаусса остроградского, получаем:

Теорема гаусса остроградского.

Физический смысл дивергенции (от латинского – расхождение) – истечение из данной точки (положительная дивергенция) или сток в данную точку (отрицательная дивергенция).

Лекция 3 Проводники в электрическом поле

Распределение зарядов в проводнике.

В металлических проводниках свободные носители электрического заряда (электроны проводимости) могут под действием электрического поля перемещаться по всему проводнику (электронный газ).

Перераспределение зарядов в проводнике под влиянием внешнего электростатического поля называется явлением электростатической индукции. Индуцированные (наведённые) заряды исчезают, как только проводник удаляется.

Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле, которое вместе с исходным (внешним) полем образует результирующее электрическое поле, которое определяется как суперпозиция внешнего поля и поля индуцированных зарядов.

Внутри проводника Теорема гаусса остроградскогот.к. перемещение зарядов под влиянием внешнего поля будет продолжаться до тех пор пока не установится определённое распределение зарядов, создающих индуцированное поле, которое полностью компенсирует внешнее поле.

Из теоремы Остроградского – Гаусса следует, что раз Теорема гаусса остроградского, то и плотность избыточных (не скомпенсированных) зарядов внутри проводника также всюду равна нулю (ρ = 0 ).

Избыточные заряды появляются лишь на поверхности проводника с поверхностной плотностью Теорема гаусса остроградского, различной в разных точках его поверхности.

Т.к. Теорема гаусса остроградского, то потенциал во всех точках внутри проводника одинаков и его поверхность эквипотенциальна, т.е. непосредственно у поверхности проводника полеТеорема гаусса остроградскогонаправлено по нормали к ней в каждой точке.

ПТеорема гаусса остроградскогоример 1 Найдём потенциал незаряженного проводящего шара, на расстоянии r от центра которого расположен точечный заряд q .

Потенциал всех точек шара одинаков, поэтому будем искать его в точке О:

Теорема гаусса остроградскогопотенциал в точке О от всех положительных и отрицательных зарядов на поверхности шара.

Таким образом, для потенциала шара получаем Теорема гаусса остроградского.

Пример 2 Поле для системы из двух проводящих шаров, один из которых заряжен. Вследствие электрической индукции на правом (незаряженном) шаре произошло разделение зарядов противоположного знака.

Теорема гаусса остроградского

Электрическое поле у поверхности проводника

В качестве замкнутой поверхности выбираем небольшой цилиндр с площадью оснований Теорема гаусса остроградского, расположенный так, чтобы его ось была направлена по нормали к поверхности проводника.Теорема гаусса остроградского

Потоки вектора Теорема гаусса остроградскогочерез боковую поверхность и внутренний торец равны нулю. По теореме Гаусса имеем

Теорема гаусса остроградскоголокальная поверхностная плотность заряда на проводнике;

Теорема гаусса остроградскогопроекция вектора Теорема гаусса остроградскогона внешнюю нормальТеорема гаусса остроградского.

Силы, действующие на поверхность проводника

Пусть заряженный участок поверхности проводника граничит с вакуумом. На малый элемент Теорема гаусса остроградскогос зарядомТеорема гаусса остроградскогодействует силаТеорема гаусса остроградского, гдеТеорема гаусса остроградскогонапряжённость поля, создаваемого всеми остальными зарядами системы в месте нахождения зарядаТеорема гаусса остроградского. ПричёмТеорема гаусса остроградскогоне равно напряжённостиТеорема гаусса остроградскогополя вблизи данного элемента поверхности проводника.Теорема гаусса остроградского

Если Теорема гаусса остроградскогонапряжённость поля, создаваемого зарядомТеорема гаусса остроградскогов точках очень близких к площадкеТеорема гаусса остроградского, так, что можно принять её за бесконечную равномерно заряженную плоскость, тоТеорема гаусса остроградского. Результирующие поле определяем по принципу суперпозиции:

Теорема гаусса остроградского.

Внутри проводника Теорема гаусса остроградскогоиТеорема гаусса остроградского. Тогда вне проводникаТеорема гаусса остроградского.

Сила, действующая на единицу поверхности проводника (поверхностная плотность сил или электрическое давление)

Теорема гаусса остроградского.

Учитывая, что Теорема гаусса остроградскогоилиТеорема гаусса остроградскогополучаем

Теорема гаусса остроградского.

Независимо от знака Теорема гаусса остроградского, а значит и направленияТеорема гаусса остроградского, силы электрического давления всегда направлены наружу проводника, стремясь его растянуть.

Пример 1 Определить поверхностную плотность сил, растягивающих сферу радиусом R и с зарядом q.

Пример2 Найти выражение для электрической силы, действующей в вакууме на проводник в целом, полагая, что известна напряжённость Теорема гаусса остроградскогополя во всех точках у поверхности проводника.

Результирующая сила, действующая на весь проводник, определяется интегрированием этого выражения по всей поверхности проводника

Теорема гаусса остроградского.

Конев В.В. Скалярные и векторные поля

Теорема. Поток векторного поля A через замкнутую кусочно-гладкую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от div A по области V. ограниченной поверхностью S.

Теорема гаусса остроградского

Доказательство .Теорема гаусса остроградского Разобъем область V на малые элементы &#&16;V (как это показано на рисунке 1).

Теорема гаусса остроградского
Рис. 1. Разбиение области V. ограниченной поверхностью S. на малые элементы ΔVk . границами которых являются поверхности &#&16;Sk .

Определение дивергенции вектора
Теорема гаусса остроградского

Здесь Δ9Phi; – поток вектора A из области, ограниченной поверхностью &#&16;S. &#&16;V – объем этой области.

поток Δ9Phi;k поля A через поверхность &#&16;Sk малой области ΔVk можно представить в виде приближенного равенства

Теорема гаусса остроградского

Теорема гаусса остроградского Далее выполним суммирование по всем элементам области V и осуществим предельный переход, переходя к бесконечно малым элементам.
Теорема гаусса остроградского Согласно свойствам потока векторного поля, сумма потоков из всех частей объема V равна потоку вектора A через внешнюю поверхность S.

Теорема гаусса остроградского

Теорема гаусса остроградского Сумма произведений Теорема гаусса остроградского по всем элементам разбиения области V представляет собой интегральную сумму от div A по этой области и, следовательно,

Теорема гаусса остроградского.

Теорема гаусса остроградского

Пусть есть трехмерное пространство, где задана прямоугольная система координат и — область с кусочно-гладкой границей , на которой определено поле вектора

Будем предполагать, что непрерывны на , откуда следует, что для вектора имеет смысл непрерывная функция

называемая дивергенцией вектора .

Легко видеть, что

т. е. дивергенция равна скалярному произведению символического вектора (оператора Гамильтона) (см. § 3.4) и вектора .

Будем считать, что поверхность ориентирована при помощи единичной нормали , направленной во внешность .

Целью нашей будет доказать равенство

при некоторых дополнительных условиях, налагаемых на . Это равенство называют формулой Гаусса-Остроградского по имени математиков, ее доказавших.

Формула Гаусса-Остроградского говорит, что объемный (тройной) интеграл от дивергенции вектора по области равен потоку вектора через границу этой области, ориентированную в направлении ее внешней нормали.

Теорема гаусса остроградского

Начнем с того, что рассмотрим область , изображенную на рис. 103, которую мы будем называть элементарной -областью. Снизу и сверху ограничена поверхностями и с кусочно-гладкими краями, определяемыми соответственно уравнениями

где — плоская область с кусочно-гладкой границей , а непрерывны на и имеют непрерывные частные производные на открытом множестве . С боков ограничена цилиндрической поверхностью с направляющей и образующей параллельной оси .

Пусть есть граница , ориентированная при помощи внешней к нормали (пояснения ниже). Тем самым нижний и верхний куски , так же как боковая поверхность области , соответственно ориентированы. Для области имеют место равенства (пояснения ниже)

Нормаль к образует с осью соответственно тупой и острый углы, поэтому проекции , кусков на плоскость ориентированы первая отрицательно, а вторая положительно. Это обосновывает переход от третьего члена цепи (4) к четвертому. К сумме, составляющей четвертый член, можно формально добавить интеграл

потому что вдоль . Но тогда полученная сумма трех интегралов равна интегралу, стоящему в качестве последнего члена цепи (4) (потоку вектора через ).

Этим мы доказали теорему Гаусса-Остроградского для элементарной -области и вектора .

Назовем теперь область -областью, если ее замыкание можно разрезать на конечное число элементарных -областей

так, что нижние и верхние куски границы суть части ориентированной границы области , и докажем, что для и вектора тоже справедлива теорема Гаусса-Остроградского.

В самом деле, обозначим соответственно через нижние и верхние куски границ , и через — боковые куски . Тогда (пояснения ниже)

потому что интегралы по , очевидно, равны нулю, а куски и , составляют в совокупности поверхность , либо только часть , а остальная часть с имеет нормаль в любой ее точке перпендикулярную к оси . Но тогда интеграл по равен нулю.

По аналогии можно ввести понятия -области и -области. Например, -область обладает тем свойством, что ее замыкание можно разрезать на конечное число замыканий элементарных -областей. Элементарная же -область определяется так же, как элементарная -область, только роль теперь играет . По аналогии доказывается, что для -области имеет место равенство

т. е. формула Гаусса—Остроградского для вектора , а для -области — формула

Если теперь есть одновременно и — область, то для нее, очевидно, верна теорема Гаусса-Остроградского для произвольного непрерывно дифференцируемого на вектора , т. е. верно равенство

где интеграл справа есть интеграл по поверхности , ориентированной внешней нормалью к .

Если в формуле Гаусса—Остроградского положить , то получим выражение для объема области

через интеграл по ее ориентированной внешней нормалью границе .

Области, с которыми приходится обычно иметь дело, являются одновременно — областями.

Пример 1. Шар есть -область, даже элементарная -область, потому что вся его внутренность ограничена двумя лежащими друг над другом гладкими на круге поверхностями

непрерывными на замкнутом круге , имеющем гладкую границу. Очевидно, шар есть также и -область.

Пример 2. Тор. В плоскости зададим окружность радиуса с центром в точке . Ее уравнение имеет вид . Вращение данной окружности как твердого тела в пространстве вокруг оси приводит к поверхности , называемой тором (на рис. 104 показана половина тора). Уравнение тора в декартовых координатах имеет вид

Теорема гаусса остроградского

Чтобы убедиться в том, что есть -область, достаточно поверхность разделить на две части плоскостью . Далее, плоскости рассекают на четыре элементарные -области, а плоскости — на четыре элементарные -области.

Формула Гаусса—Остроградского преобразует объемный интеграл в интеграл по поверхности.

Чтобы выяснить физический смысл понятия дивергенции, будем считать, что в имеет место стационарное течение жидкости, скорость которой в произвольной точке равна . Зададим произвольную, но фиксированную точку и окружим ее шаром радиуса . Пусть есть его граница (шаровая поверхность), ориентированная посредством внешней нормали. Тогда на основании формулы Гаусса-Остроградекого

Левая часть этого равенства выражает количество жидкости, вытекающее из (вовне ) за единицу времени. Применяя к правой его части теорему о среднем, получим

где есть объем , а — скорость жидкости в некоторой точке из . Разделив обе части полученного равенства на и перейдя к пределу при , получим в силу непрерывности , что существует предел, равный дивергенции :

в точке . Таким образом, представляет собой производительность источников, непрерывно распределенных по в точке . Если в точке (или всюду на ) , то это значит, что в (или всюду на ) производительность источников равна нулю. Если , то это значит, что на самом деле в соответствующей точке имеет место сток.

Из физических соображений ясно, что есть инвариант относительно любых преобразований прямоугольных координат. Но это заключение можно сделать и на основании математических соображений.

Как мы знаем (см. нашу книгу «Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», § 18) скалярное произведение векторов есть ивариант при преобразованиях координат, поэтому и дивергенция (равна скалярному произведению символического вектора и вектора ) есть инвариант относительно преобразований прямоугольных координат. Конечно, мы считаем (по определителю), что координаты символического вектора преобразуются по тем же формулам, что и координаты обычных векторов. Точнее, если формулы преобразования от координат точки (вектора) в первой системе координат к ее координатам во второй системе имеют вид

где — соответствующая ортогональная матрица, то

Оператор Гамильтона применяется к дифференцируемой функции . В результате мы получаем вектор

называемый, как мы знаем, градиентом функции . Функция в этом исчислении считается скаляром. Таким образом, есть произведение вектора на скаляр — результат есть вектор.

В системе координат

где — орты системы . При этом в силу (9)

Формулы (10) согласуются с правилами дифференцирования сложной функции , у которой

Формулы (11) являются обратными к формулам (8) ( , т. е. координаты выражаются через координаты с помощью -го столбца матрицы ).

Здесь мы получили формулы (10), пользуясь только символическим исчислением.

Теперь, если одно и то же поле вектора определено в двух прямоугольных системах координат и соответственно функциями

где координаты и связаны по формулам (8), (11) (с заменой в них на ), то в одной и той же точке

Таким образом, мы еще раз доказали инвариантность дивергенции при преобразованиях прямоугольных координат пользуясь только символическим исчислением.

Формулу Гаусса—Остроградского можно записать в плоском случае, когда есть область в плоскости и

— определенное на ней поле. Если есть внешняя нормаль к кусочно-гладкому контуру области , то имеет место равенство

где — дифференциал дуги .

Теорема гаусса остроградского

Если считать, что направление касательной в точке совпадает с положительным направлением обхода по , вдоль которого исчисляется также длина дуги контура , то (рис. 105)

Если в этой формуле заменить соответственно на , то мы придем к формуле Грина, которая была получена в § 3.7.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *