Теорема об изменении количества движения

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме ( главному вектору) количеств движения всех материальных точек этой системы.

Вектор количества движения механической системы имеет модуль, равный произведению массы системы на скорость ее центра масс и направление этой скорости.

Проецируем вектор на оси координат:

Проекция количества движения механической системы на каждую координатную ось, равная сумме проекций количеств движения всех точек системы на одну ос. определяется произведением массы системы на проекцию скорости центра масс на эту же ось.

Дифференцируем (1) по времени:

Согласно уравнению движения центра масс системы,

Уравнение (3) выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил. действующих на эту систему.

Векторному уравнению (3) соответствуют три уравнения в проекциях оси координат:

Уравнения (4) показывают, что производная по времени от проекции количества движения механической системы на любую ось равна проекции главного вектора внешних сил. действующих на систему, на ту же ось.

Из уравнений (3) и (4) следует, что изменение количества движения механической системы вызывается только внешними силами.

С л е д с т в и я и з т е о р е м ы ;

1. Если главный вектор внешних сил за рассматриваемой промежуток времени равен нулю, то количество движения механической системы постоянно.

Из уравнения ( 3) следует, что если

2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось за рассматриваемый промежуток времени равна нулю, то проекция количества движения механической системы на эту ось постоянна.

Так. например, при из первого уравнения (4)

Следствия из теорем об изменении количества движения механической системы выражают закон сохранения количества движения системы.

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m1 =18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m2 =6 кг (рис. Д2.0-Д2.9, табл. Д2). В момент времени t0 =0, когда скорость плиты U0 =2 м/с, груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты.

На рис 0-3 желоб КЕ прямолинейный и при движении груза расстояние S =АД изменяется по закону . а на рисунке 4-9 желоб –окружность радиуса R= 0,8 м и при движении груза угол изменяется по закону . В таблице Д2 эти зависимости даны отдельно для рисунков 0 и 1. для рис. 2 и 3 и.т.д. где S- выражено в метрах, &#&66;- в радианах, t — в секундах.

Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить зависимость . т.е. скорость плиты как функцию от времени.

Указания. Задача Д2 на применение теоремы об изменении количества движения системы. При решении составить уравнение, выражающее теорему, в проекции на горизонтальную ось.

3.2.2. Пример решения задачи Д2. В центре тяжести А тележки массой m1 . движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, укреплен невесомый стержень АD длиной с грузом D массой m2 на конце (Рис. Д2). В момент времени

t0 =0. когда скорость тележки U=U0 стержень АD начинает вращаться вокруг оси А по закону .

Д а н о. m1 =24 кг, m2 =12 кг, U0 =0,5 м/с, =0,6 м, рад (t- в секундах). О п р е д е л и т ь. -закон изменения скорости тележки.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из тележки и груза D. в произвольном положении. Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести Р1 и Р2 и реакции плоскости . Проведем координатные оси Оху так, чтобы ось х была горизонтальна.

Чтобы определить U, воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы Q в проекции на ось х. Так как все действующие на систему внешние силы вертикальны (рис. Д2), то и теорема дает

Теорема об изменении количества движения

Для рассматриваемой механической системы

— количества движения тележки и груза D соответственно (U — скорость тележки, VD — скорость груза по отношению к осям Оху ).Тогда из равенства (1) следует, что

Для определения VDx рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по отношению к тележке относительным (это движение, совершаемое при вращении стержня АD вокруг оси А), а движение самой тележки – переносным. Тогда

Изобразив этот вектор на рисунке Д2 с учетом знака . найдем. что

. Окончательно из равенства ( 3) получим

( В данной задаче величину можно найти другим путем, определив абсциссу груза D. для которой, как видно из рисунка Д2. получим .)

При найденном значении VDx равенство (2), если учесть. что Ux =U, примет вид

Постоянную интегрирования С1 определим по начальным условиям: при t0 =0 U=U0 . Подстановка этих значенийв уравнение (5) дает и тогда из ( 5) получим

Отсюда находим следующую зависимость скорости U от времени:

Подставив сюда значения соответствующих величин, находим искомую зависимость U от t .

Теорема об изменении количества движения

Теорема об изменении количества движенияТеорема об изменении количества движения

Теорема об изменении количества движения

Рассматривается произвольная механическая система, состоящая из материальных точек движущаяся под действием приложенных сил относительно некоторой инерциальной системы координат Oxyz. Если система несвободна, мысленно освобождаемся от связей, добавляя к задаваемым (активным) силам реакции связей. После этого все действующие силы (активные и реакции связей) разделяем на внешние и внутренние. Тогда равнодействующие сил, приложенных к точкам системы, будут складываться из внешней и внутренней сил:

Запишем выражение для количества движения системы

и продифференцируем по времени обе части написанного равенства:

Далее преобразуем последний член этого равенства, используя основное уравнение динамики и равенство нулю главного вектора внутренних сил:

В результате для производной количества движения получаем

Полученное равенство в математической форме выражает теорему об изменении количества движения механической системы: производная по времени от количества движения механической системы равна главному вектору всех внешних сил.

Проектируя это векторное равенство на координатные оси Oxyz, получаем математическое выражение теоремы в скалярной форме:

В этих формулах

— проекции количества движения системы на координатные оси, а

— проекции на эти же оси главного вектора внешних сил.

Техническая механика

Теоремы и законы динамики материальной точки

Количество движения и импульс силы

Общие теоремы динамики материальной точки устанавливают зависимость между изменениями динамических мер движения материальной точки и мерами действия сил, приложенных к этой точке.

Количеством движения mv материальной точки называют вектор, равный произведению массы точки на ее скорость и имеющий направление скорости.
Количество движения является динамической мерой движения материальной точки.

Единицей измерения количества движения, в соответствии с приведенным определением, является (кг × м)/с .

Импульсом Ft постоянной силы F называется вектор, равный произведению силы на время ее действия.
Импульс силы является мерой ее действия по времени.
Единица импульса силы, согласно приведенному выше определению, является произведение Н × с.
Если силу заменить произведением массы на ускорение (второй закон Ньютона ). то получим:

[Ft] = [F][t] = [a][m][t] = (кг × м/с 2 ) × с = (кг × м)/с .

Очевидно, что количество движения и импульс силы выражаются в одинаковых единицах, поэтому между этими динамическими мерами существует зависимость, устанавливаемая теоремой об изменении количества движения.

Теорема об изменении количества движения

Теорема: изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу приложенной к ней силы за тот же промежуток времени .

Докажем эту теорему для случая прямолинейного движения материальной точки под действием постоянной силы F. в этом случае движение будет равнопеременным, и скорость в каждый момент времени может быть определена по формуле:

Преобразуем это выражение: перенесем v0 в левую часть и умножим каждое из слагаемых уравнения на массу m материальной точки:

Но произведение массы точки на ее ускорение есть сила, под действием которой точка движется, следовательно, уравнение будет справедливо в виде:

В левой части полученного равенства имеем изменение количества движения за время t. а в правой – импульс силы за это же время, что и требовалось доказать.

Если движение замедленное ( v < v0 ), то вектор силы направлен в сторону, противоположную вектору скорости, и, следовательно, в последую формулу силу следует подставлять с отрицательным знаком.

В случае криволинейного движения материальной точки под действием переменной по модулю и направлению силы весь промежуток времени t можно разбить на бесконечно малые промежутки, в пределах которых вектор силы можно считать постоянным, а путь – прямолинейным, тогда импульс силы за конечный промежуток времени t будет равен сумме элементарных импульсов.
В этом случае математическое выражение теоремы об изменении количества движения приобретает следующий вид:

Если к материальной точке приложено несколько постоянных сил, то изменение количества движения будет равно сумме (алгебраической, если силы действуют по одной прямой, и векторной, если силы действуют под углом друг к другу) импульсов данных сил:

Механическая энергия и ее виды

Слово «энергия9quot; в переводе с греческого означает «действие9quot;. В предыдущей статье было дано определение энергии, как способности материи совершать работу при переходе из одного состояния в другое.
Теорема об изменении количества движения Механической энергией называют энергию перемещения и взаимодействия тел, при этом различают два вида механической энергии: кинетическую и потенциальную .

Потенциальной энергией называют энергию взаимодействия между материальными телами (точками) какой-либо системы. Потенциальная энергия, как часть общей механической энергии системы материальных тел, зависит от взаимного расположения тел (частей) этой системы, и от их положений во внешнем силовом поле (например, гравитационном).
Так, потенциальной энергией силы тяжести (энергией положения) обладают тела, находящиеся над поверхностью земли, а сжатая пружина или рессора – потенциальной энергией силы упругости.
Мерой потенциальной энергии является работа, которую произведет материальное тело (точка) при освобождении от связей, не позволяющих выплеснуть эту энергию.

Кинетическая энергия – это энергия движения. т. е. ей обладает любая движущаяся материальная точка. Кинетическая энергия является динамической мерой движения материальной точки; это скалярная и всегда положительная величина.
Поскольку кинетическая энергия является энергией движения, очевидно, что ее величина зависит от скорости, с которой движется материальная точка (тело). Величина кинетической энергии, которой обладает данная материальная точка, может быть определена по формуле:

Нетрудно заметить, что кинетическая и потенциальная энергия материальной точки являются величинами относительными, поскольку они имеют смысл лишь в пределах определенной системы материальных точек — либо относительным расположением, либо относительной скоростью по отношению к другим материальным точкам этой системы.

Единица измерения кинетической энергии – Джоуль (Дж) :

1 Дж = кг×(м/с) 2 = (кг×м/с 2 )м = Н×м.

Из приведенных соотношений видно, что кинетическая энергия имеет размерность работы; связь между этими физическими величинами устанавливает теорема об изменении кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии

Теорема: изменение кинетической энергии материальной точки на некотором пути равно работе силы, приложенной к точке на том же пути .

Докажем эту теорему для самого общего случая движения материальной точки, т. е. для случая криволинейного движения под действием переменной силы (рис. 1).

Теорема об изменении количества движения

Запишем для этой точки основное уравнение динамики (второй закон Ньютона ) :

где m – масса точки; а – полное ускорение точки; F – сила, действующая на точку.

Спроецируем векторное равенство на направление скорости v точки:

Как известно из кинематики, a cos α = aτ = dv/dt. следовательно,

Умножив обе части равенства на бесконечно малое перемещение ds. получим:

m dv ds/dt = F ds cos α .

Выражение, стоящее в левой части преобразуем следующим образом:

m dv ds/dt = m dv(ds/dt) = mv dv. следовательно mv dv = Fds cos α .

Интегрируя обе части этого равенства в пределах для скорости от v0 до v и для пути от 0 до s. получим:

m ∫ v dv = ∫ F cos α ds или mv 2 /2 – mv0 2 /2 = W,

где W – работа силы F на пути s .

При замедленном движении ( v < v0 ) составляющая Fτ. вызывающая касательное ускорение аτ. будет направлена в сторону, противоположную направлению вектора скорости v. и работа силы F будет отрицательной.

Составляющая Fn. вызывающая нормальное (центростремительное) ускорение аn. работы не совершает, поскольку эта составляющая в каждый данный момент времени перпендикулярна элементарному перемещению точки приложения силы F .

Если к материальной точке приложено несколько сил, то изменение кинетической энергии равно алгебраической сумме работ этих сил:

Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения механической энергии материальной точки можно сформулировать так: сумма потенциальной и кинетической энергии материальной точки есть величина постоянная, при этом один вид энергии может переходить в другой при изменении механического состояния точки.

Этот закон наглядно проявляется при рассмотрении механической энергии тел, поднятых над поверхностью Земли и изменении их механического состояния при свободном падении.

Так, потенциальная энергия положения тела, обусловленная силой тяжести, может быть определена, как произведение силы тяжести тела G на высоту его подъема h над поверхностью Земли:

Пусть материальная точка массой m. падая под действием одной лишь силы тяжести G в положении М1 находилась на высоте h1. имела начальную скорость v1 и обладала потенциальной энергией П1 (рис. 2).
Теорема об изменении количества движения В положении М2 точка оказалась на высоте h2. ее скорость стала v2. а потенциальная энергия П2 .

При падении точки под действием одной лишь силы тяжести совершается работа

Согласно теореме, доказанной выше, эта работа равна изменению кинетической энергии:

Это равенство и является математическим выражением закона сохранения механической энергии, сформулированного выше.

На основании закона сохранения механической энергии нетрудно доказать, что если тело бросить с поверхности Земли вертикально вверх, то его кинетическая энергия в нижнем положении будет равна потенциальной энергии в верхнем положении.

Закон сохранения механической энергии справедлив при движении под действием любой потенциальной силы; при движении под действием не потенциальных сил (например, силы трения). механическая энергия переходит в другие виды энергии.

В заключение следует отметить, что закон сохранения механической энергии является частным случаем общего закона сохранения материи и энергии, сформулированного М. В. Ломоносовым (1711-1765). Установление этого закона является одним из величайших открытий своего времени.

В прошлом столетии еще один величайший физик – А. Эйнштейн создал теорию относительности, одним из выводов которой является закон пропорциональности массы и энергии, математическая суть которого выражается формулой: E = mc 2. где E – полная энергия (включающая все виды энергии – механическую, тепловую, химическую, ядерную, электромагнитную и т. п.). которой обладает любая материальная точка; m – масса материальной точки, с – скорость света.

На основании формулы, предложенной Эйнштейном, можно подсчитать, что 1 грамм материи обладает полной энергией, эквивалентной 25 млн кВтч электроэнергии – величина колоссальная, над безопасным и дешевым высвобождением которой для нужд человечества работают лучшие научные умы.

Пример решения задачи

Задача: материальная точка брошена с Земли вертикально вверх с начальной скоростью v0 = 20 м/с.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить максимальную высоту подъема h. на которую поднимется точка.

Решение. Для решения задачи запишем выражение для кинетической и потенциальной точки энергии в момент начала движения:

и в момент максимального подъема:

К2 = 0 ; П2 = mgh. где m – масса материальной точки.

Согласно закону сохранения механической энергии можно записать:

Сократив обе части равенства на m. определим высоту h максимального подъема материальной точки:

h = v0 2 /2g = 20 2 /(2×9,81) ≈ 20,4 м.

/ Динамика билеты / 14Теория об изменении количества движения и момента

В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.

Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, — это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.

Теорема об изменении количества движения системы утверждает

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.

Закон сохранения количества движения системы

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то количество движения (импульс) системы есть величина постоянная.

Введя в рассмотрение изменение импульса внешних сил Теорема об изменении количества движения,получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме :

Теорема об изменении количества движения

Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми Теорема об изменении количества движенияиТеорема об изменении количества движения,получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

Теорема об изменении количества движения

где Теорема об изменении количества движенияиТеорема об изменении количества движения— значения количества движения системы в моменты времениТеорема об изменении количества движенияиТеорема об изменении количества движениясоответственно, аТеорема об изменении количества движения— импульс внешних сил за промежуток времениТеорема об изменении количества движения. В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями выполняется

Теорема об изменении количества движения

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения ) утверждает, что векторная суммаимпульсоввсех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

(моме́нт коли́чества движе́ния м 2 ·кг·с −1 Теорема об изменении количества движения )

Теорема об изменении момента количества движения относительно центра

производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Теорема об изменении момента количества движения относительно оси

производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

Рассмотрим материальную точку M массойm . движущуюся под действием силыF (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента)M0 материальной точки относительно центраO :

Теорема об изменении количества движения

Теорема об изменении количества движения

Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k0 ) по времени:

Теорема об изменении количества движения

Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем

Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).

Следствие 1. Рассмотрим случай, когда силаF во все время движения точки проходит через неподвижный центрO (случай центральной силы), т.е. когдаM0(F) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, чтоk0 =const ,

т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).

Теорема об изменении количества движения

Из условия k0 =const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.

т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.

Доказательство теоремы обь ихменении количества движения

Пусть система состоит из Теорема об изменении количества движенияматериальных точекс массамиТеорема об изменении количества движенияи ускорениямиТеорема об изменении количества движения. Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:

Внешние силы — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i обозначимТеорема об изменении количества движения.

Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номеромk. будем обозначатьТеорема об изменении количества движения, а силу воздействияi -й точки наk -ю точку —Теорема об изменении количества движения. Очевидно, что приТеорема об изменении количества движения, тоТеорема об изменении количества движения

Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде

Теорема об изменении количества движения

Учитывая, что Теорема об изменении количества движенияи суммируя все уравнения второго закона Ньютона, получаем:

Теорема об изменении количества движения

Выражение Теорема об изменении количества движенияпредставляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. По третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силеТеорема об изменении количества движениясоответствует силаТеорема об изменении количества движениятакая, чтоТеорема об изменении количества движенияи, значит, выполняетсяТеорема об изменении количества движенияПоскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, можно записать

Теорема об изменении количества движения

Используя для количества движения системы Теорема об изменении количества движенияобозначениеТеорема об изменении количества движения, получим

Теорема об изменении количества движения

Введя в рассмотрение изменение импульса внешних сил Теорема об изменении количества движения, получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:

Теорема об изменении количества движения

Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми Теорема об изменении количества движенияиТеорема об изменении количества движения, получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

Теорема об изменении количества движения

где Теорема об изменении количества движенияиТеорема об изменении количества движения— значения количества движения системы в моменты времениТеорема об изменении количества движенияиТеорема об изменении количества движениясоответственно, аТеорема об изменении количества движения— импульс внешних сил за промежуток времениТеорема об изменении количества движения. В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями выполняется

Теорема об изменении количества движения

то равенство (2.1) можно представить в виде

Выражение (2.3) является формой основного закона динамики (2.1). Первоначально он был записан Ньютоном именно в подобной форме. Формула (2.3) представляет собой содержание теоремы об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме (в векторном выражении): производная по времени от количества движения материальной точки равна силе, действующей на эту точку .

Проецируя векторное равенство (2.3) на декартовы оси координат, получаем равенства, определяющие содержание теоремы в скалярном виде:

т.е. производная по времени от проекции количества движения материальной точки на какую-либо ось равна проекции на эту же ось действующей на точку силы.

Умножив обе части равенства (2.3) на элементарный промежуток времени dt . получим выражение теоремы об изменении количества движения материальной точки в другой дифференциальной форме:

Теорема об изменении количества движения

где S — импульс силы,

т.е. дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному импульсу силы, действующей на эту точку.

Пусть движущаяся материальная точка в начальный момент t = 0 находилась в положении M0 и имела скорость V0. а в момент t приходит в положение M и имеет скорость V (рисунок 2.1, б). Тогда, проинтегрировав равенство (2.5) в пределах соответствующего перемещения точки (из положения M0 в положение M ), получим

Теорема об изменении количества движения

Теорема об изменении количества движения

Полученное равенство (2.6) представляет собой теорему об изменении количества движения материальной точки в конечной (интегральной) форме (в векторном выражении):

изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно полному импульсу действующей на эту точку силы за тот же промежуток времени .

Теорема об изменении количества движения выражает, таким образом, тесную

связь, которая имеет место между импульсом силы как меры ее действия во времени и количеством движения как меры механического движения.

Проецируя равенство (2.6) на декартовые оси координат:

Теорема об изменении количества движения

получаем выражения (2.7) для теоремы об изменении проекции количества движения в конечной форме (в скалярном выражении):

изменение проекции количества движения материальной точки на какую-либо ось за конечный промежуток времени равно проекции на эту же ось полного импульса действующей на точку силы за тот же промежуток времени.

Уравнения в проекциях (2.7) чаще всего применяются при решении задач динамики точки на изменение количества движения.

Рассмотрим следствия теоремы:

То есть если на материальную точку не действует какая-либо сила (проекция действующей силы на какую-либо ось равна нулю), то вектор количества движения точки (проекция количества движения точки на эту же ось) со временем не изменяется.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *