Теорема остроградского гаусса

Теорема Остроградского-Гаусса

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток вектора напряженности электрического поля. Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка . в пределах которой напряженность . т. е. электростатическое поле однородно. Произведение модуля вектора на площадь и на косинус угла между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку (рис. 10.7):

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность . В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль к поверхности, т. е. нормаль, направленная наружу области.

Если разбить эту поверхность на малые площадки, определить элементарные потоки поля через эти площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток вектора напряженности через замкнутую поверхность (рис. 10.8):

ТеоремаОстроградского-Гаусса утверждает: поток вектора напряженности электростатического полячерез произвольную замкнутую поверхностьпрямо пропорционален алгебраической сумме свободных зарядов, расположенных внутри этой поверхности:

где — алгебраическая сумма свободных зарядов, находящихся внутри поверхности . — объемная плотность свободных зарядов, занимающих объем .

Если ввести вектор электрического смещения

то теорему Остроградского-Гаусса можно выразить через поток вектора через замкнутую поверхность :

Из теоремы Остроградского-Гаусса (10.10), (10.12) следует, что поток не зависит от формы замкнутой поверхности (сфера, цилиндр, куб и т.п.), а определяется только суммарным зарядом внутри этой поверхности.

Используя теорему Остроградского-Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией.

Рассмотрим задачу о вычисленииполя тонкостенного пологооднородно заряженного длинного цилиндра радиуса (тонкой бесконечной заряженной нити). Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра произвольного радиуса и длины . закрытого с обоих торцов (рис. 10.9).

Для поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна . так как поток через оба основания равен нулю. Используя теорему Остроградского-Гаусса в форме (10.10), получим:

где — заряд на единицу длины цилиндра (линейная плотность заряда).

Отсюда напряженность поля

Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю тонкой бесконечной однородно заряженной нити.

Для расчета напряженности поля внутри заряженного цилиндра выберем замкнутый цилиндр с < . Поскольку внутри этого цилиндра заряд отсутствует, то в соответствии с (10.13), поток и поле равны нулю.

Аналогичным образом можно применять теорему Остроградского-Гаусса для расчета электрического поля и в других задачах, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев выбирают форму замкнутой гауссовой поверхности, исходя из симметрии задачи. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность выбирают в виде цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере).

Рассмотрим еще один примерсимметричного распределения зарядов– расчет поля равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда (заряд, приходящийся на единицу площади) (рис. 10.10).

В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости везде направлено по нормали к плоскости. Применение теоремы Гаусса дает:

Используя теорему Остроградского-Гаусса и принцип суперпозиции, можно рассчитать напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями (поле внутри плоского конденсатора)

и напряженность поля равномерно заряженной сферы радиуса на расстоянии ≥ :

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Теорема Остроградского–Гаусса и ее применение к расчету полей

Вычисление электрического поля во многих случаях сильно упрощается применением теоремы, которая была установлена М.В.Остроградским в виде некоторой общей математической теоремы и Гауссом – применительно к случаю электрического поля, создаваемого точечным зарядом, через замкнутую шаровую поверхность .

Значение проекции вектора напряженности на поверхности сферы радиуса R :

Теорема остроградского гауссаТеорема остроградского гаусса. Теорема остроградского гаусса

Выразим поток вектора через любую замкнутую поверхность. Он равен числу силовых линий, выходящих наружу, т.е. начинающихся на заряде.

Теперь допустим, что внутри замкнутой поверхности находятся N точечных зарядов q1. q2. …, qN . В силу принципа суперпозиции: .

Теорема остроградского гауссаТеорема остроградского гаусса

Если линия напряженности пересекает поверхность не один раз, а несколько, то обязательно нечетное число раз, так что в интеграле она будет учтена только один раз, и выражение сохранит силу и для этого случая. Таким образом, для электростатики теорема Остроградского–Гаусса формулируется следующим образом: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на &#&49;0 .

Применим теорему Остроградского-Гаусса для расчета конкретных полей:

а) электрическое поле, создаваемое бесконечной однородно заряженной плоскостью

Теорема остроградского гаусса Пусть поверхностная плотность заряда Теорема остроградского гаусса. В качестве замкнутой поверхности, через которую вычислим величину потока вектора напряженности электрического поля выберем цилиндрическую поверхность, как показано на рисунке.

Из соображения симметрии (электрическое поле имеет плоскую симметрию) вытекает, что напряженность поля в любой точке имеет направление, перпендикулярное плоскости. Очевидно, что модуль напряженности в точках, симметричных относительно плоскости одинаков: E ‘ = E » =E. Направление внешней нормали перпендикулярно заряженной поверхности.

Согласно теореме Гаусса: . С учетом того, что получаем: . Напряженность электрического поля одинакова на любом расстоянии от плоскости.

б) электрическое поле, создаваемое двумя бесконечными заряженными плоскостями

Пусть поверхностная плотность заряда на каждой поверхности Теорема остроградского гаусса. В случае разноименно заряженных бесконечных плоскопараллельных пластин, как видно из рисунка, с учетом выражения для напряженности электрического поля, создаваемого бесконечно Теорема остроградского гаусса заряженной плоскости ( Теорема остроградского гаусса ).

Для пространства между пластинами ; для пространства за пластинами (слева от левой и справа от правой пластины) .

Теорема остроградского гаусса В случае одноименно заряженных бесконечных плоскопараллельных пластин,

как видно из рисунка, для пространства за пластинами ; для пространства между пластинами .

в) электрическое поле бесконечного заряженного цилиндра

Теорема остроградского гаусса Пусть поверхностная плотность заряда Теорема остроградского гаусса. R – радиус цилиндрической поверхности. В качестве замкнутой поверхности, через которую вычислим величину потока вектора напряженности электрического поля выберем цилиндрическую поверхность, как показано на рисунке. Из соображений симметрии (электрическое поле имеет осевую симметрию) напряженность электрического поля Теорема остроградского гаусса направлена перпендикулярно боковой поверхности замкнутой цилиндрической поверхности. Направление внешней нормали Теорема остроградского гаусса к боковой поверхности цилиндра по направлению является радиальным: Теорема остроградского гаусса. Откуда Теорема остроградского гаусса. С учетом E=En . имеем: при Теорема остроградского гауссаТеорема остроградского гаусса ; при Теорема остроградского гауссаТеорема остроградского гаусса ; при Теорема остроградского гауссаТеорема остроградского гаусса .

Или введя линейную плотность запишем теорему Остроградского-Гаусса . Откуда Учитывая, что . получаем выражение для определения величины напряженности электрического поля: Для различных областей пространства имеем: для (внутри данной области электрические заряды отсутствуют): ; для . ; для . .

г) поле заряженной сферической поверхности

Теорема остроградского гаусса Пусть поверхностная плотность заряда Теорема остроградского гаусса. R – радиус сферической поверхности. В качестве замкнутой поверхности, через которую вычислим величину потока вектора напряженности электрического поля, выберем сферическую поверхность, как показано на рисунке. Из соображений симметрии (электрическое поле имеет центральную симметрию) напряженность электрического поля Теорема остроградского гаусса направлена перпендикулярно сферической поверхности. Направление внешней нормали Теорема остроградского гаусса к сферической поверхности по направлению является радиальным. Используя теорему Остроградского-Гаусса, получаем: Теорема остроградского гаусса ; Теорема остроградского гаусса. С учетом E=En . имеем: для Теорема остроградского гаусса (внутри данной области электрические заряды отсутствуют) Теорема остроградского гаусса ; для Теорема остроградского гауссаТеорема остроградского гаусса ; для Теорема остроградского гаусса. Теорема остроградского гаусса .

Получим также выражение для напряженности электрического поля в случае, когда известна величина заряда q на сферической поверхности. Использование теоремы Остроградского-Гаусса дает следующий результат: . Откуда . С учетом E=En . имеем: для (внутри данной области электрические заряды отсутствуют) ; для . ; для . .

д) поле объемно-заряженного шара:

Теорема остроградского гаусса Пусть R – радиус шара. Из соображений симметрии (электрическое поле имеет центральную симметрию) напряженность электрического поля Теорема остроградского гаусса направлена перпендикулярно сферической поверхности. Направление внешней нормали Теорема остроградского гаусса к сферической поверхности по направлению является радиальным. Рассмотрим возможные случаи. Для случая Теорема остроградского гаусса в качестве замкнутой поверхности, через которую вычислим величину потока вектора напряженности электрического поля, выберем сферическую поверхность Теорема остроградского гаусса. как показано на рисунке.

Используя теорему Остроградского-Гаусса, получаем:

Для случая в качестве замкнутой поверхности, через которую вычислим величину потока вектора напряженности электрического поля, выберем сферическую поверхность . как показано на рисунке.

При этом внутрь замкнутой поверхности попадает не весь электрический заряд шара, а лишь его часть. Для вычисления ее введем величину объемной плотности электрического заряда . Используя теорему Остроградского-Гаусса, получаем: . откуда: . Учитывая, что заряд шара . полученное выражение можно преобразовать: . С учетом E=En . имеем: .

2.3. Теорема Остроградского – Гаусса (теорема Гаусса)

К.Ф. Гаусс (1777–1855) выдающийся немецкий математик, астроном и физик в 1839г. предложил теорему, которая устанавливает связь потока вектора напряженности электрического поля черезТеорема остроградского гауссазамкнутую поверхность со значением зарядаq. находящегося внутри этой поверхности.Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М.В. Остроградским (1801-1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю – К.Гауссом.

Теорема Остроградского – Гаусса (теорема Гаусса):поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на Теорема остроградского гаусса:

Теорема остроградского гаусса.

Докажем эту теорему. Пусть поле создается точечным зарядом q. Окружим заряд замкнутой поверхностьюS произвольной формы. Разобьем замкнутую поверхность на элементарные площадкиdS. к каждой из которых проведем вектор нормалиТеорема остроградского гаусса.

ЭТеорема остроградского гауссалементарный поток вектора напряженности через площадкуdS (рис. 2.8) определится соотношением:

Теорема остроградского гаусса,

где Теорема остроградского гаусса–проекцияТеорема остроградского гауссана направление нормалиТеорема остроградского гаусса. ТогдаТеорема остроградского гаусса, гдеТеорема остроградского гаусса— элементарный телесный угол, под которым элементТеорема остроградского гауссавиден из места положения заряда. Вычислим поток вектора напряженности через замкнутую поверхностьS от точечного зарядаq. находящегося внутри этой поверхности.

Теорема остроградского гауссаТеорема остроградского гаусса,

Теорема остроградского гаусса.

Как видно, поток вектора напряженности выходящий из поверхности не зависит от формы поверхности, охватывающей заряд и пропорционален величине заряда.

Если заряд находится вне замкнутой поверхности, то суммарный поток через любые элементарные площадки dS1 иdS2 . находящиеся внутри телесного углаd Ω(рис. 2.9) равен сумме потоков напряженности выходящего из этой поверхности (положительный поток) и входящего в нее (отрицательный поток).

Тогда Теорема остроградского гаусса, следовательно, поток напряженности электрического поля через любую поверхностьS. не охватывающую заряды равен нулю, т.е.ФЕ =0.

Пусть внутри замкнутой поверхности имеется зарядов, тогда алгебраическим суммированием (согласно принципу суперпозиции) находим, что общий поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен Теорема остроградского гаусса.

Таким образом теорему Гаусса можно сформулировать следующим образом: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на Теорема остроградского гаусса:

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью Теорема остроградского гаусса, то теорема Гаусса имеет вид:

где интеграл справа берется по объему V, охватываемому поверхностьюS .

Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство: в то время как само поле Теорема остроградского гауссазависит от конфигурации всех зарядов, потокТеорема остроградского гауссасквозь произвольную замкнутую поверхность определяется только алгебраической суммой зарядов внутри поверхностиS. Это значит, чтоесли передвинуть заряды внутри замкнутой поверхности. тоТеорема остроградского гауссаизменится всюду. и на поверхностиS. апоток вектора Теорема остроградского гауссачерез эту поверхность останется прежним .

Таким образом, чтобы рассчитать поле, созданное какой-то конфигурацией зарядов в данной точке, нужно через эту точку провести замкнутую поверхность произвольной формы и рассчитать поток вектора напряженности через эту поверхность. Так как по теореме Гаусса поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на Теорема остроградского гаусса, то, зная величину заряда, находящегося внутри замкнутой поверхности можно найти напряженность поля в интересующей нас точке пространства.

Рассмотрим примеры применения теоремы Гаусса.

Конев В.В. Скалярные и векторные поля

Теорема. Поток векторного поля A через замкнутую кусочно-гладкую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от div A по области V. ограниченной поверхностью S.

Теорема остроградского гаусса

Доказательство .Теорема остроградского гаусса Разобъем область V на малые элементы &#&16;V (как это показано на рисунке 1).

Теорема остроградского гаусса
Рис. 1. Разбиение области V. ограниченной поверхностью S. на малые элементы ΔVk . границами которых являются поверхности &#&16;Sk .

Определение дивергенции вектора
Теорема остроградского гаусса

Здесь Δ9Phi; – поток вектора A из области, ограниченной поверхностью &#&16;S. &#&16;V – объем этой области.

поток Δ9Phi;k поля A через поверхность &#&16;Sk малой области ΔVk можно представить в виде приближенного равенства

Теорема остроградского гаусса

Теорема остроградского гаусса Далее выполним суммирование по всем элементам области V и осуществим предельный переход, переходя к бесконечно малым элементам.
Теорема остроградского гаусса Согласно свойствам потока векторного поля, сумма потоков из всех частей объема V равна потоку вектора A через внешнюю поверхность S.

Теорема остроградского гаусса

Теорема остроградского гаусса Сумма произведений Теорема остроградского гаусса по всем элементам разбиения области V представляет собой интегральную сумму от div A по этой области и, следовательно,

Теорема остроградского гаусса.

Теорема остроградского гаусса

Тема 2. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА

2.1. Силовые линии напряженности электростатического поля

2.2. Поток вектора напряженности

2.3. Теорема Остроградского-Гаусса

2.4. Применениетеоремы Остроградского-Гауссак расчету электрических полей

1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей

3. Поле заряженного бесконечного цилиндра(нити)

4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью заряда, но разным знаком

5. Поле заряженного пустотелого шара

6. Поле объемного заряженного шара

2.5.Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса

2.1. Силовые линии напряженности электростатического поля

Э лектростатическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора . Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электростатического поля. Графическое изображение электростатического поля с помощью вектора напряженности в различных точках поля очень неудобно. Векторы напряженности при этом накладываются друг на друга, и получается весьма запутанная картина. Более наглядным является метод, предложенный М. Фарадеем изображения электростатических полей с помощью силовых линий напряженности. Силовые линии напряженности – это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора . Линии напряженности направлены так же как вектор поля в рассматриваемой точке. Например, на рис.2 линии напряженности направлены слева направо. Линии напряженности не пересекаются, т.к. в каждой точке поля вектор имеет только одно определенное направление. Линии напряженности начинаются на положительном заряде и заканчиваются на отрицательном. Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям напряженности, было равно численному модулю вектора . Тогда по картине линий напряженности можно судить о направлении и значении вектора в разных точках пространства (рис. 2.1).

Однороднымназывается электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине и направлению, т.е. Однородное электростатическое поле изображается параллельными силовыми линиями на равном расстоянии друг от друга (такое поле существует, например, между пластинами конденсатора) (рисунок ).

В случае точечного заряда, линии напряженности исходят из положительного заряда и уходят в бесконечность; и из бесконечности входят в отрицательный заряд. Т.к. то и густота силовых линий обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда. Однако площадь поверхности сферы, через которую проходят эти линии сама возрастает пропорционально квадрату расстояния, поэтому общее число линий остается постоянным на любом расстоянии от заряда.

Для системы зарядов, как видим, силовые линии направлены от положительного заряда к отрицательному (рисунок 2.2).

Теорема остроградского гаусса

Из рисунка 2.3 видно, так же, что густота силовых линий может служить показателем величины .

Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору напряженности пересекало такое их число, которое равно модулю вектора напряженности , т.е.

Пример 1: если на рисунке 2.3 выделить площадку, то напряженность изображенного поля будет равна

Теорема остроградского гаусса

Пример 2: площадка находится в однородном поле Сколько линий пересекает эту площадку, если угол составляет 30º (рисунок 2.4).

Теорема остроградского гаусса

2.2. Поток вектора напряженности

Итак, на примерах мы показали, что, если силовые линии однородного электрического поля напряженностью пронизывают некоторую площадку S. то поток вектора напряженности (число силовых линий через площадку) будет определяться формулой

где En – произведение вектора на нормаль к данной площадке (рисунок 2.5).

Теорема остроградского гаусса

Полное число силовых линий, проходящих через поверхностьS, называетсяпотоком вектора напряженностиФЕчерез эту поверхность.

Элементарный поток вектора напряженности через площадку dS (рис. 5) определится соотношением:

где – проекция на направление нормали .

В векторной форме можно записать – скалярное произведение двух векторов, где вектор .

Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и отрицательным .

Полный поток вектора напряженности через любую площадку S можно определить тогда , а поток через замкнутую поверхность, окружающую заряд или заряженное тело равен .

Так как напряженность поля, созданного в любой точке пространства зависит от величины заряда, создающего это поле, то поток вектора напряженности электростатического поля через любую площадку, находящуюся в этом поле также зависит от величины заряда.

Рассмотрим примеры, изображенные на рисунках 2.6 и 2.7.

Теорема остроградского гаусса

Рисунок 2.6 Рисунок 2.7

Для рисунка 2.6 – поверхность А1 окружает положительный заряд и поток здесь направлен наружу, т.е. Поверхность А2 – окружает отрицательный заряд, здесь и направлен внутрь. Общий поток через поверхность А равен нулю.

Для рисунка 2.7 – поток будет не равен нулю, если суммарный заряд внутри поверхности не равен нулю. Для этой конфигурации поток через поверхность А отрицательный.

Таким образом, поток вектора напряженности зависит от заряда.

2.3. Теорема Остроградского – Гаусса (теорема Гаусса)

К.Ф. Гаусс (1777–1855) выдающийся немецкий математик, астроном и физик в 1839г. предложил теорему, которая устанавливает связь потока вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность со значением заряда q. находящегося внутри этой поверхности. Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М.В. Остроградским (1801-1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю – К.Гауссом.

Теорема Остроградского – Гаусса (теорема Гаусса):поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на :

Докажем эту теорему. Пусть поле создается точечным зарядом q. Окружим заряд замкнутой поверхностью S произвольной формы. Разобьем замкнутую поверхность на элементарные площадки dS. к каждой из которых проведем вектор нормали .

Э лементарный поток вектора напряженности через площадку dS (рис. 2.8) определится соотношением:

где –проекция на направление нормали . Тогда , где — элементарный телесный угол, под которым элемент виден из места положения заряда. Вычислим поток вектора напряженности через замкнутую поверхность S от точечного заряда q. находящегося внутри этой поверхности.

Как видно, поток вектора напряженности выходящий из поверхности не зависит от формы поверхности, охватывающей заряд и пропорционален величине заряда.

Если заряд находится вне замкнутой поверхности, то суммарный поток через любые элементарные площадки dS1 и dS2 . находящиеся внутри телесного угла d Ω (рис. 2.9) равен сумме потоков напряженности выходящего из этой поверхности (положительный поток) и входящего в нее (отрицательный поток).

Тогда , следовательно, поток напряженности электрического поля через любую поверхность S. не охватывающую заряды равен нулю, т.е. ФЕ =0.

Пусть внутри замкнутой поверхности имеется зарядов, тогда алгебраическим суммированием (согласно принципу суперпозиции) находим, что общий поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен .

Таким образом теорему Гаусса можно сформулировать следующим образом: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на :

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью , то теорема Гаусса имеет вид:

где интеграл справа берется по объему V, охватываемому поверхностью S.

Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство: в то время как само поле зависит от конфигурации всех зарядов, поток сквозь произвольную замкнутую поверхность определяется только алгебраической суммой зарядов внутри поверхности S. Это значит, что если передвинуть заряды внутри замкнутой поверхности. то изменится всюду. и на поверхности S. а поток вектора через эту поверхность останется прежним .

Таким образом, чтобы рассчитать поле, созданное какой-то конфигурацией зарядов в данной точке, нужно через эту точку провести замкнутую поверхность произвольной формы и рассчитать поток вектора напряженности через эту поверхность. Так как по теореме Гаусса поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на , то, зная величину заряда, находящегося внутри замкнутой поверхности можно найти напряженность поля в интересующей нас точке пространства.

Рассмотрим примеры применения теоремы Гаусса.

2.4. Применение теоремы Гаусса к расчету электрических полей

Использование теоремы Гаусса для расчета полей эффективно в тех случаях, когда поле обладает специальной симметрией (чаще всего плоской, цилиндрической или сферической). Симметрия и конфигурация поля должны быть такими, чтобы, во-первых, заряженное тело можно было бы окружить достаточно простой замкнутой поверхностью и, во-вторых, вычисление потока вектора напряженности свести к простому умножению Е (или En ) на площадь поверхности S или часть ее. Если этого сделать нельзя, то задачу необходимо решать другими методами.

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Будем считать заряд положительным. Плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью . Из симметрии вытекает, что напряженность в любой точке поля имеет направление, перпендикулярное к плоскости (рис. 2.10). Очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величине и противоположна по направлению.

Выделим на заряженной плоскости площадку . Окружим эту площадку замкнутой поверхностью. В качестве замкнутой поверхности представим цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости и основаниями величины , расположенными относительно плоскости симметрично. Применим к этой поверхности теорему Гаусса . Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, так как в каждой ее точке равна нулю. Для оснований совпадает с . Следовательно, суммарный поток через поверхность будет равен . Внутри поверхности заключен заряд . Согласно теореме Гаусса, должно выполняться условие: , откуда

Полученный результат не зависит от длины цилиндра, т.е. на любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине. Картина линий напряженности выглядит, как показано на рис. 2.11. Для отрицательно заряженной плоскости направления векторов изменятся на обратные. Если плоскость конечных размеров, то полученный результат будет справедлив лишь для точек, расстояние которых от края пластины значительно превышает расстояние от самой пластинки (рис. 2.12).

Теорема остроградского гаусса

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *