Теорема об изменении кинетической энергии

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Дифференциальная форма . Дифференциал от кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на точку,

Интегральная (конечная) форма. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки: изменение кинетической энергии мате­риальной точки на некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на эту точку сил на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы формулируется: изменение кинетической энергии меха­нической системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних cuл, приложенных к системе, на этом перемещении:

В случае неизменяемой системы сумма работ внутренних сил на любом перемещении равна нулю ( ), тогда

Закон сохранения механической энергии. При движении механической системы под действием сил, имеющих потенциал, изменения кинетической энергии системы определяются зависимостями:

Сумму кинетической и потенциальной энергий системы называют полной механической энергией системы.

Таким образом. при движении механической системы в стационар­ном потенциальном поле полная механическая энергия системы при движении остается неизменной .

Задача. Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывая трение скольжения тела 3, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость и ускорение тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s (рис. 3.70).

Решение. На механическую систему действуют активные силы , , . Применяя принцип освобождения от связей системы, покажем реакции шарнирно-неподвижной опоры 2 и шероховатой наклонной поверхности. Направления скоростей тел системы изобразим с учетом того, что тело 1 спускается.

Задачу решим, применяя теорему об изменении кинетической энергии механической системы :

где Т и – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; — алгебраическая сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное; — сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями:

Так как в начальном положении система покоилась, то . Следовательно:

Теорема об изменении кинетической энергии

Теорема об изменении кинетической энергии

Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3:

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно, равна:

Кинетическая энергия блока 2, совершающего вращение вокруг оси Оz. перпендикулярной плоскости чертежа:

Кинетическая энергия тела 3 в его поступательном движении:

Выражение кинетической энергии содержит неизвестные скорости всех тел системы. Начать определение необходимо с . Избавимся от лишних неизвестных, составив уравнения связей.

Уравнения связей это не что иное, как кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы. При составлении уравнений связей выразим все неизвестные скорости и перемещения тел системы через скорость и перемещение груза 1.

Скорость любой точки обода малого радиуса равна скорости тела 1, а также произведению угловой скорости тела 2 и радиуса вращения r:

Отсюда выразим угловую скорость тела 2:

Вращательная скорость любой точки обода блока большого радиуса , с одной стороны, равна произведению угловой скорости блока и радиуса вращения, а с другой – скорости тела 3:

Подставив значение угловой скорости, получим:

Проинтегрировав при начальных условиях выражения (а) и (б), запишем соотношение перемещений точек системы:

Зная основные зависимости скоростей точек системы, вернемся к выражению кинетической энергии и подставим в него уравнения (а) и (б):

Момент инерции тела 2 равен:

Подставляя значения масс тел и момента инерции тела 2, запишем:

Определение суммы работ всех внешних сил системы на заданном перемещении.

Работа силы тяжести тела 1

Работа сил равна нулю, так как эти силы приложены к неподвижной точке.

Работа силы тяжести тела 3

Работа нормальной реакции тела 3 равна нулю, так как сила перпендикулярна направлению движения

Работа силы трения скольжения

Сумма работ внешних сил

Подставляя значения масс тел, соотношения перемещений (в) и числовые параметры, запишем:

Теперь согласно теореме об изменении кинетической энергии механической системы приравняем значения Т и

Скорость тела 1 получим из выражения (г)

Ускорение тела 1 можно определить, продифференцировав по времени равенство (г):

Теорема об изменении кинетической энергии системы

Формулировка теоремы: изменение кинетической энергии системы при некотором перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, т. е.

где и – кинетическая энергия системы в начале и в конце рассматриваемого перемещения.

При определении работ внутренних сил надо учитывать работу сил действия и работу сил противодействия. Хотя сила действия и соответствующая ей сила противодействия равны по модулю и противоположны по направлению, их суммарная работа часто не равна нулю. Это объясняется тем, что сила действия и сила противодействия приложены к разным точкам системы, а перемещения этих точек могут быть не одинаковыми.

Известно, что в системе, состоящей из твердых тел, соединенных между собой неупругими связями, при отсутствии сил трения в местах проскальзывания соприкасающихся тел, работа внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим методику решения задач с помощью уравнения (3.12) теоремы для установления зависимости между скоростью и перемещением выбранной точки системы, если система имеет одну степень свободы.

Вначале надо изобразить систему в произвольном положении и показать действующие активные силы, т. е. силы, совершающие работу.

Затем следует определить кинетическую энергию системы в начале и в конце заданного перемещения, используя формулы из подразд. 3.1. При этом скорости тел и точек надо выразить через искомую скорость, применяя известные соотношения из кинематики.

Далее необходимо определить сумму работ всех активных сил на заданном перемещении системы, используя формулы из подразд. 3.2. При этом перемещения точек приложения сил и угловые перемещения тел, к которым приложены моменты сил, надо выразить через перемещение точки, указанное в условии задачи. Зависимости между этими перемещениями определяются с учетом установленных ранее соотношений между скоростями тел и точек.

Наконец, нужно подставить найденные . и сумму работ в формулу (3.12) и из полученного уравнения определить искомую зависимость.

Касательно напряжение при кручении

Касательное напряжение при кручении — это срезывающее (сдвиговое) напряжение, возникающее в поперечном сечении вала. Его максимальное значение будет в волокнах близких к поверхности вала, а в центре оно равно нулю. Напряжение пропорционально приложенному крутящему моменту и расстоянию до волокон, где оно определяется, и обратно пропорционально полярному моменту инерции сечения. Для стержней с прямоугольным поперечным сечением максимальное значение напряжений будет наблюдаться в серединах больших сторон прямоугольника и будет равно нулю в ценре.

Вычисление работы различных сил

Работа силы (сил) над одной точкой

§ Работа нескольких сил определяется естественным образом как работа их равнодействующей (их векторной суммы). Поэтому дальше в этом параграфе будем говорить об одной силе.

Теорема об изменении кинетической энергии

Теорема об изменении кинетической энергии

При прямолинейном движении одной материальной точки и постоянном значении приложенной к нейсилы работа (этой силы) равна произведению величины проекции вектора силы на направление движения и величины совершённого перемещения [3] :

Теорема об изменении кинетической энергии

Здесь точкой обозначено скалярное произведение [4]. Теорема об изменении кинетической энергии — вектор перемещения; подразумевается, что действующая сила Теорема об изменении кинетической энергии постоянна в течение всего того времени, за которое вычисляется работа.

Если сила не постоянна, то в этом случае она вычисляется как интеграл [5] :

Теорема об изменении кинетической энергии

(подразумевается суммирование по кривой, которая является пределом ломаной, составленной из последовательных перемещений Теорема об изменении кинетической энергии если вначале считать их конечными, а потом устремить длину каждого к нулю).

Если существует зависимость силы от координат [6]. интеграл определяется [7] следующим образом:

Теорема об изменении кинетической энергии ,

где Теорема об изменении кинетической энергии и Теорема об изменении кинетической энергии — радиус-векторы начального и конечного положения тела соответственно.

§ Cледствие. если направление движения тела ортогонально силе, работа (этой силы) равна нулю.

Полярный момент инерции и момент сопротивления вала

Напряжения при кручении

Принимая во внимание (2.33), закон Гука при кручении можно описать выражением:

В силу гипотезы, что радиусы круглых поперечных сечений не искривляются, касательные напряжения сдвига в окрестностях любой точки тела, находящейся на расстоянии от центра (рис. 2.16, б ), равны произведению

т.е. пропорциональны расстоянию ее до оси.

Значение относительного угла закручивания по формуле (2.35) может быть найдено из условия, что элементарная окружная сила ( ) на элементарной площадке размером dA. расположенной на расстоянии от оси бруса, создает относительно оси элементарный момент (рис. 2.16, б ):

Сумма элементарных моментов, действующих по всему поперечному сечению А. равна крутящему моменту МZ . Считая, что :

Интеграл представляет собой чисто геометрическую характеристику и носит название полярного момента инерции сечения .

откуда, угол закручивания единицы длины бруса

Произведение называется жесткостью сечения бруса при кручении.

Полный угол закручивания, рад:

Если крутящий момент и момент инерции сечения постоянны по длине стержня, то полный угол закручивания

Решив совместно выражения (2.35) и (2.36), получим уравнение

из которого следует, что напряжение в точке поперечного сечения прямо пропорционально расстоянию до центра сечения. При . Наибольшие напряжения возникают у наружной поверхности: .

Отношение полярного момента инерции к наибольшему радиусу r называется моментом сопротивления сечения кручению . мм 3 :

infopedia.su не принадлежат авторские права, размещенных материалов. Все права принадлежать их авторам. В случае нарушения авторского права напишите сюда.

Кинетическая энергия механической системы — это сумма кинетических энергий всех ее материальных точек:

Вычислим дифференциал от выражения кинетической энергии и выполним некоторые простые преобразования:

Опуская промежуточные значения и применяя ранее введенный для обозначения элементарной работы символ , запишем:

Итак, дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы. В этом и состоит содержание теоремы об изменении кинетической энергии.

Заметим, что сумма работ внутренних сил системы в общем случае не равна нулю. Она обращается в нуль только в некоторых частных случаях: когда системой служит абсолютно твердое тело; система абсолютно твердых тел, взаимодействующих при помощи не-деформируемых элементов (идеальных шарниров, абсолютно твердых стержней, нерастяжимых нитей и т.п.). По этой причине теорема об изменении кинетической энергии является единственной из общих теорем динамики, которая учитывает эффект действия внутренних сил.

Можно интересоваться изменением кинетической энергии не за бесконечно малый промежуток времени, как это делается выше, а за некоторый конечный промежуток времени . Тогда при помощи интегрирования можно получить:

Здесь — значения кинетической энергии соответственно в моменты времени — суммы полных работ внешних и внутренних сил за рассматриваемый промежуток времени.

Полученное равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии в конечной (интегральной) форме, которая может быть сформулирована так: изменение кинетической энергии при переходе механической системы из одного положения в другое равно сумме полных работ всех внешних и внутренних сил.

2. Кинетическая энергия точки и механической системы.

Кинетическая энергия материальной точки — скалярная положительная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости, т. е. Теорема об изменении кинетической энергии.

Кинетическая энергия механической системыарифме­тическая сумма кинетических энергий всех материальных точек этой системы

Теорема об изменении кинетической энергии.

Кинетическая энергия системы, состоящей изпсвязанных между собой тел, равна арифметической сумме кинетических энергий всех тел этой системы:

Теорема об изменении кинетической энергии.

Теорема Кенига. Кинетическая энергия механической системы в общем случае ее движения равна сумме кинетической энергии движения системы вместе с центром масс и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс:

Теорема об изменении кинетической энергии,

где Теорема об изменении кинетической энергии— скоростьk — й точки системы относительно центра масс.

Задача 2. Каток А приводится в движение из состояния покоя по­средством троса, который одним концом намотан на каток, а вто­рым — на барабан В. Каток А считать однородным цилиндром массы Теорема об изменении кинетической энергии= 50кг и радиуса Теорема об изменении кинетической энергии= 0,4м. Масса барабана Теорема об изменении кинетической энергии= 20кг распределена по его ободу радиуса Теорема об изменении кинетической энергии= 0,2м. К барабану при­ложен вращающий момент Теорема об изменении кинетической энергии= 100Нм. Пренебрегая сколь­жением и трением качения катка по горизонтальной плоскости и весом троса, определить скорость катка, когда он переместится на расстояние s = 2 м .

Решение. Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме:

Теорема об изменении кинетической энергии

Теорема об изменении кинетической энергии,

где Теорема об изменении кинетической энергии— система движется из состояния покоя

Теорема об изменении кинетической энергии—по свойству внутренних сил. Тогда Теорема об изменении кинетической энергии.Теорема об изменении кинетической энергии. КатокА совершает плоскопараллельное движение.

Теорема об изменении кинетической энергии.

Барабан В совершает вращательное движение.

Теорема об изменении кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии.

Внешними силами являются силы тяжести Теорема об изменении кинетической энергии, нормальная реакцияТеорема об изменении кинетической энергии, сила сцепленияТеорема об изменении кинетической энергии, вращающий мо­ментТеорема об изменении кинетической энергии, реакцииТеорема об изменении кинетической энергиииТеорема об изменении кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии

Теорема об изменении кинетической энергиитак как сила Теорема об изменении кинетической энергии;Теорема об изменении кинетической энергиитак как силаТеорема об изменении кинетической энергииприложена в МЦС;Теорема об изменении кинетической энергиитак какТеорема об изменении кинетической энергии;Теорема об изменении кинетической энергии,Теорема об изменении кинетической энергии,Теорема об изменении кинетической энергии— точка приложения сил не перемещается.

Теорема об изменении кинетической энергии

Техническая механика

Теоремы и законы динамики материальной точки

Количество движения и импульс силы

Общие теоремы динамики материальной точки устанавливают зависимость между изменениями динамических мер движения материальной точки и мерами действия сил, приложенных к этой точке.

Количеством движения mv материальной точки называют вектор, равный произведению массы точки на ее скорость и имеющий направление скорости.
Количество движения является динамической мерой движения материальной точки.

Единицей измерения количества движения, в соответствии с приведенным определением, является (кг × м)/с .

Импульсом Ft постоянной силы F называется вектор, равный произведению силы на время ее действия.
Импульс силы является мерой ее действия по времени.
Единица импульса силы, согласно приведенному выше определению, является произведение Н × с.
Если силу заменить произведением массы на ускорение (второй закон Ньютона ). то получим:

[Ft] = [F][t] = [a][m][t] = (кг × м/с 2 ) × с = (кг × м)/с .

Очевидно, что количество движения и импульс силы выражаются в одинаковых единицах, поэтому между этими динамическими мерами существует зависимость, устанавливаемая теоремой об изменении количества движения.

Теорема об изменении количества движения

Теорема: изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу приложенной к ней силы за тот же промежуток времени .

Докажем эту теорему для случая прямолинейного движения материальной точки под действием постоянной силы F. в этом случае движение будет равнопеременным, и скорость в каждый момент времени может быть определена по формуле:

Преобразуем это выражение: перенесем v0 в левую часть и умножим каждое из слагаемых уравнения на массу m материальной точки:

Но произведение массы точки на ее ускорение есть сила, под действием которой точка движется, следовательно, уравнение будет справедливо в виде:

В левой части полученного равенства имеем изменение количества движения за время t. а в правой – импульс силы за это же время, что и требовалось доказать.

Если движение замедленное ( v < v0 ), то вектор силы направлен в сторону, противоположную вектору скорости, и, следовательно, в последую формулу силу следует подставлять с отрицательным знаком.

В случае криволинейного движения материальной точки под действием переменной по модулю и направлению силы весь промежуток времени t можно разбить на бесконечно малые промежутки, в пределах которых вектор силы можно считать постоянным, а путь – прямолинейным, тогда импульс силы за конечный промежуток времени t будет равен сумме элементарных импульсов.
В этом случае математическое выражение теоремы об изменении количества движения приобретает следующий вид:

Если к материальной точке приложено несколько постоянных сил, то изменение количества движения будет равно сумме (алгебраической, если силы действуют по одной прямой, и векторной, если силы действуют под углом друг к другу) импульсов данных сил:

Механическая энергия и ее виды

Слово «энергия9quot; в переводе с греческого означает «действие9quot;. В предыдущей статье было дано определение энергии, как способности материи совершать работу при переходе из одного состояния в другое.
Теорема об изменении кинетической энергии Механической энергией называют энергию перемещения и взаимодействия тел, при этом различают два вида механической энергии: кинетическую и потенциальную .

Потенциальной энергией называют энергию взаимодействия между материальными телами (точками) какой-либо системы. Потенциальная энергия, как часть общей механической энергии системы материальных тел, зависит от взаимного расположения тел (частей) этой системы, и от их положений во внешнем силовом поле (например, гравитационном).
Так, потенциальной энергией силы тяжести (энергией положения) обладают тела, находящиеся над поверхностью земли, а сжатая пружина или рессора – потенциальной энергией силы упругости.
Мерой потенциальной энергии является работа, которую произведет материальное тело (точка) при освобождении от связей, не позволяющих выплеснуть эту энергию.

Кинетическая энергия – это энергия движения. т. е. ей обладает любая движущаяся материальная точка. Кинетическая энергия является динамической мерой движения материальной точки; это скалярная и всегда положительная величина.
Поскольку кинетическая энергия является энергией движения, очевидно, что ее величина зависит от скорости, с которой движется материальная точка (тело). Величина кинетической энергии, которой обладает данная материальная точка, может быть определена по формуле:

Нетрудно заметить, что кинетическая и потенциальная энергия материальной точки являются величинами относительными, поскольку они имеют смысл лишь в пределах определенной системы материальных точек — либо относительным расположением, либо относительной скоростью по отношению к другим материальным точкам этой системы.

Единица измерения кинетической энергии – Джоуль (Дж) :

1 Дж = кг×(м/с) 2 = (кг×м/с 2 )м = Н×м.

Из приведенных соотношений видно, что кинетическая энергия имеет размерность работы; связь между этими физическими величинами устанавливает теорема об изменении кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии

Теорема: изменение кинетической энергии материальной точки на некотором пути равно работе силы, приложенной к точке на том же пути .

Докажем эту теорему для самого общего случая движения материальной точки, т. е. для случая криволинейного движения под действием переменной силы (рис. 1).

Теорема об изменении кинетической энергии

Запишем для этой точки основное уравнение динамики (второй закон Ньютона ) :

где m – масса точки; а – полное ускорение точки; F – сила, действующая на точку.

Спроецируем векторное равенство на направление скорости v точки:

Как известно из кинематики, a cos α = aτ = dv/dt. следовательно,

Умножив обе части равенства на бесконечно малое перемещение ds. получим:

m dv ds/dt = F ds cos α .

Выражение, стоящее в левой части преобразуем следующим образом:

m dv ds/dt = m dv(ds/dt) = mv dv. следовательно mv dv = Fds cos α .

Интегрируя обе части этого равенства в пределах для скорости от v0 до v и для пути от 0 до s. получим:

m ∫ v dv = ∫ F cos α ds или mv 2 /2 – mv0 2 /2 = W,

где W – работа силы F на пути s .

При замедленном движении ( v < v0 ) составляющая Fτ. вызывающая касательное ускорение аτ. будет направлена в сторону, противоположную направлению вектора скорости v. и работа силы F будет отрицательной.

Составляющая Fn. вызывающая нормальное (центростремительное) ускорение аn. работы не совершает, поскольку эта составляющая в каждый данный момент времени перпендикулярна элементарному перемещению точки приложения силы F .

Если к материальной точке приложено несколько сил, то изменение кинетической энергии равно алгебраической сумме работ этих сил:

Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения механической энергии материальной точки можно сформулировать так: сумма потенциальной и кинетической энергии материальной точки есть величина постоянная, при этом один вид энергии может переходить в другой при изменении механического состояния точки.

Этот закон наглядно проявляется при рассмотрении механической энергии тел, поднятых над поверхностью Земли и изменении их механического состояния при свободном падении.

Так, потенциальная энергия положения тела, обусловленная силой тяжести, может быть определена, как произведение силы тяжести тела G на высоту его подъема h над поверхностью Земли:

Пусть материальная точка массой m. падая под действием одной лишь силы тяжести G в положении М1 находилась на высоте h1. имела начальную скорость v1 и обладала потенциальной энергией П1 (рис. 2).
Теорема об изменении кинетической энергии В положении М2 точка оказалась на высоте h2. ее скорость стала v2. а потенциальная энергия П2 .

При падении точки под действием одной лишь силы тяжести совершается работа

Согласно теореме, доказанной выше, эта работа равна изменению кинетической энергии:

Это равенство и является математическим выражением закона сохранения механической энергии, сформулированного выше.

На основании закона сохранения механической энергии нетрудно доказать, что если тело бросить с поверхности Земли вертикально вверх, то его кинетическая энергия в нижнем положении будет равна потенциальной энергии в верхнем положении.

Закон сохранения механической энергии справедлив при движении под действием любой потенциальной силы; при движении под действием не потенциальных сил (например, силы трения). механическая энергия переходит в другие виды энергии.

В заключение следует отметить, что закон сохранения механической энергии является частным случаем общего закона сохранения материи и энергии, сформулированного М. В. Ломоносовым (1711-1765). Установление этого закона является одним из величайших открытий своего времени.

В прошлом столетии еще один величайший физик – А. Эйнштейн создал теорию относительности, одним из выводов которой является закон пропорциональности массы и энергии, математическая суть которого выражается формулой: E = mc 2. где E – полная энергия (включающая все виды энергии – механическую, тепловую, химическую, ядерную, электромагнитную и т. п.). которой обладает любая материальная точка; m – масса материальной точки, с – скорость света.

На основании формулы, предложенной Эйнштейном, можно подсчитать, что 1 грамм материи обладает полной энергией, эквивалентной 25 млн кВтч электроэнергии – величина колоссальная, над безопасным и дешевым высвобождением которой для нужд человечества работают лучшие научные умы.

Пример решения задачи

Задача: материальная точка брошена с Земли вертикально вверх с начальной скоростью v0 = 20 м/с.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить максимальную высоту подъема h. на которую поднимется точка.

Решение. Для решения задачи запишем выражение для кинетической и потенциальной точки энергии в момент начала движения:

и в момент максимального подъема:

К2 = 0 ; П2 = mgh. где m – масса материальной точки.

Согласно закону сохранения механической энергии можно записать:

Сократив обе части равенства на m. определим высоту h максимального подъема материальной точки:

h = v0 2 /2g = 20 2 /(2×9,81) ≈ 20,4 м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *