Теорема о базисном миноре

Билет 1. Понятие ранга матрицы. Теорема о базисном миноре

Определение. Минором порядка k матрицы Aназывается определитель матрицы k-го порядка, элементы которой стоят на пересечении выбранных k – строк и k – столбцов, т.е..

Теорема о базисном миноре

Определение.Минор порядка r матрицы A называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю (если они существуют)..

Определение.Рангом матрицы А называется порядок её базисного минора, т.е. ранг матрицы A равен r, если в матрице существует ненулевой минор r-го порядка, а все миноры более высокого порядка равны нулю (если они существуют). Обозначается Rg A.

Определение.Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие базисный минор, называются базисными строками и столбцами.

Теорема о базисном миноре.Столбцы матрицы А, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через базисные столбцы.

Доказательство. Amxn = || aij ||mxn Пусть k – порядок базисного минора. Без ограничения общности считаем, что базисный минор расположен в левом верхнем углу.

Теорема о базисном миноре

1) Если базисные столбцы линейно зависимы, то столбцы базисного минора так же линейно зависимы => хотя бы один из столбцов линейно выражается через остальные, т.е. является их линейной комбинацией => &#&16; = 0, что противоречит условию => базисные столбцы линейно независимы.

2) Зафиксируем произвольный столбец матрицы А, например Теорема о базисном миноре. Покажем, что Теорема о базисном миноре линейно выражается через базисные столбы. Построим определитель

Теорема о базисном миноре

(1≤ l ≤n) (1≤ i ≤m)

Если i < k или l < k, тоТеорема о базисном миноре

Рассмотрим случай i > k, l > k ТогдаТеорема о базисном минорекак минор k+1– го порядка в матрице А. Обозначим А1. …, Аk. Ak+1 алгебраические дополнения к последней строкеТеорема о базисном минореЭти величины не зависят от элементов i-ой строки. Кроме того Ak+1 = &#&16; ≠ 0. Разложим минор по последней строке. ai1 A1 +…+ aik Ak + ail &#&16; = 0

Следствие 1.Пусть Аmxn Если Rg A < n, то столбцы матрицы линейно зависимы.

Доказательство. Пусть Rg A = k < n, значит в матрице существует базисный минор порядка k. Не ограничиваясь общности будем считать, что &#85&5; a1. …, &#85&5; ak базисные. Т.к. k < n, то ∃ &#85&5; ak+1. По теореме о базисном миноре столбец &#85&5; ak+1 выражается через базисные, т.е. &#85&5; a1. …, &#85&5; ak. &#85&5; ak+1 – линейно зависимы => матрица содержит линейно зависимую подсистему => матрица линейно зависима.

Следствие 2. Пусть А – квадратная матрица. det A = 0 óстолбцы матрицы линейно зависимы.

Доказательство. Если столбцы линейно зависимы, то det A = 0. Пусть det A = 0, тогда Rg A < n, т.е. число столбцов больше ранга => (из следствия 1) столбцы матрицы линейно зависимы.

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

16. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Определение: Ранг матрицы A – максимальный порядок неравного нулю минора.

Теорема о базисном минореОбозначается: RangA, r(A).

Определение: Минор, определяющий ранг матрицы, называется базисным. Строки и столбцы, формирующий базисный минор, называются базисными строками и столбцами.Теорема (о базисном миноре): Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Остальные строки (столбцы) являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

Определение.Базисный минор– ненулевой минор максимального порядка.

Теорема (о базисном миноре). Порядок базисного минора равен рангу матрицы.

Доказательство. 1). Покажем, что если минор Теорема о базисном минореотличен от нуля, то строкиТеорема о базисном минорелинейно независимы. Допустим противное. Пусть эти строки линейно зависимы, т.е. одна из строк, например,Теорема о базисном минорелинейно выражается через остальные:

Теорема о базисном миноре

Тогда в миноре Теорема о базисном миноревычтем из последней строки эту линейную комбинацию строк – получим нулевую строку. Пользуясь свойствами определителя, получаем равенство нулю этого минора.

2). Покажем, что если минор Теорема о базисном миноребазисный, то все строки матрицы линейно выражаются черезТеорема о базисном миноре. Составим определитель порядкаТеорема о базисном миноре, добавив к строкам еще одну строку – с номеромТеорема о базисном миноре, а к столбцам – еще один столбец – с номеромТеорема о базисном миноре:

Теорема о базисном миноре

Определитель такой матрицы равен нулю: если Теорема о базисном миноресовпадает с одним из номеровТеорема о базисном минореили номерТеорема о базисном миноресовпадает с одним из номеровТеорема о базисном миноре,то мы получаем матрицу с одинаковыми строками или столбцами. Если же ниТеорема о базисном миноре, ниТеорема о базисном минорене совпадают с номерами строк или столбцов соответственно, то определитель равен нулю по определению базисного минора.

Разложим этот определитель по последнему столбцу:

Теорема о базисном миноре.

Но Теорема о базисном миноре— это и есть базисный минор! Значит,

Теорема о базисном миноре.

Заметив, что алгебраические дополнения Теорема о базисном минорене зависят отТеорема о базисном миноре(а только от элементов базисного минора иТеорема о базисном миноре-й строки), получаем, чтоТеорема о базисном миноре-я строка линейно выражается через строки, входящие в базисный минор.

Подведем итог. Мы получили, что строки, входящие в базисный минор, линейно независимы, а все остальные строки линейно выражаются через них. Значит, эти строки образуют максимальную линейно независимую систему во множестве строк матрицы, и их количество – т.е. порядок базисного минора – равно рангу матрицы. Теорема доказана.

17.Следствие из теоремы о базисном миноре: о линейной зависимости системы строк определителя, равного нулю: аналогичный результат для столбцов

Если A — квадратная матрица, и det A = 0 <=9gt; строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

18. Следствие из теоремы о базисном миноре: о линейной зависимости системы из (n+1) строки длинною из n элементов

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы, т.е. еслиr— ранг матрицы, то в матрице естьrлинейно независимых строк (столбцов), а любыеr +1 строк (столбцов) — линейно зависимы.

19.Следствие из теоремы о базисном миноре: критерий линейной зависимости системы из m строк или столбцов

Ответ: Пусть r = rang A, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.

Теорема о базисном миноре матрицы

1°. Линейная зависимость строк матрицы.

Определение 1. Будем говорить, что строка является линейной комбинацией строк . если для некоторых справедливо

Это равенство удобно записать в матричном виде:

Определение 2. Строки назовем линейно зависимыми. если такие одновременно не равные нулю, такие что

Строки, не являющиеся линейно зависимыми, являются линейно независимыми. Иными словами, – линейно независимы, если равенство возможно лишь когда

Теорема 1: Строки – линейно зависимы одна из этих строк является линейной комбинацией остальных.

2°. Теорема о базисном миноре.

Рассмотрим матрицу . где –поле матрицы размера .

Определени 3. Число называется рангом матрицы . если

1) минор порядка . отличный от нуля.

2) Все миноры –го порядка равны нулю.

Т.о. рангом матрицы называется порядок наибольшего отличного от нуля минора.

Минор –го порядка, отличный от нуля, называется базисным минором, строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисными строками и базисными столбцами.

Теорема 2 (теорема о базисном миноре): Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).

Доказательство (рассуждение для строк):

Покажем, что базисные строки линейно независимы

Если первая, например, строка – линейная комбинация остальных, то вычитая в базисном миноре из первой строки линейную комбинацию остальных, получим нулевую строку базисный минор нулевой – противоречие.

Докажем, что строка является линейной комбинацией остальных. Т.к. при переменах строк и столбцов определитель сохраняет свойство равенства (неравенства) нулю, то будем считать, что базисный минор составлен из первых r строк и r столбцов.

Рассмотрим определитель порядка

Здесь Если то две одинаковые строки или столбца и определитель равны нулю. то это минор порядка равен нулю. Итак определитель равен нулю и .

Разложим его по столбцу. Отметим, что

и коэффициенты не зависят от выбора . т.е.

что означает, что –ая строка является линейной комбинацией первых r.

Теорема 3 (необходимое и достаточное условие равенству нулю определителя):

Определитель –го порядка равен нулю его строки (столбцы) линейно зависимы.

базисный минор имеет порядок хотя бы одна строка не базисная (по т.2) она линейная комбинация базисных строк все остальные строки можно включить с нулями одна строка линейная комбинация остальных.

mydocx.ru — 2015-2017 year. (0.007 sec.)

Лекция 6. Раздел 6.3
Базисный минор и ранг матрицы.

Введя понятие линейной комбинации строк и столбцов матрицы, как это было сделано у векторов, можно ввести понятие их линейной зависимости и независимости.

Определение 6.3.1 . Строки . . называются линейно зависимыми, если существуют такие числа . не все равные нулю, что справедливо равенство .

Здесь 0 – нулевая строка.

Определение 6.3.2 . Строки называются линейно независимыми, если их линейная комбинация обращается в ноль лишь при условии, что .

В этом случае линейная комбинация называется тривиальной.

Так же как и у векторов имеется соответствующая теорема.

Теорема 6.3.1 . Для того чтобы строки были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из них была линейной комбинацией остальных .

Доказательство проводится так же, как и в п. 1.4.

Теорема 6.3.2 . Если в систему строк матрицы входит нулевая строка, то эти строки линейно зависимы .

Доказательство. Действительно, нулевая строка представляет собой тривиальную линейную комбинацию любых строк. Но тогда мы сразу переходим к теореме 1.

Рассмотрим теперь понятие базисного минора. Пусть имеется произвольная матрица порядка :

Определение 6.3.3 . Минором -го порядка матрицы называется определитель -го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых строк и столбцов матрицы .

Определение 6.3.4 . В матрице . порядка . минор порядка называется базисным, если он не равен нулю, а все остальные миноры порядка равны нулю или миноров порядка вообще нет, то есть совпадает с меньшим из чисел или .

Очевидно, что в матрице может быть несколько базисных миноров, но все они должны быть одного порядка.

Определение 6.3.5 . Рангом матрицы называется порядок базисного минора .

Обозначается ранг матрицы – . Строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, называются базисными.

Теорема 6.3.3. (Теорема о базисном миноре) . Базисные строки и столбцы линейно независимы. Любая другая строка или столбец матрицы являются линейной комбинацией базисных строк или столбцов .

Доказательство проведем для строк. Покажем вначале, что базисные строки линейно независимы. Если бы они были линейно зависимы, то одна из этих строк была бы линейной комбинацией остальных. Тогда на основании свойств определителя эту комбинацию можно вычесть из указанной строки и получить на ее месте ноли. Но если вся строка состоит из нолей, то минор равен нулю, что противоречит теореме.

Докажем вторую часть этой теоремы. Рассмотрим любой минор -го порядка, включающий в себя базисный. Расположим базисный минор в левом верхнем углу:

По определению данный минор равен нулю. Раскроем его по последнему столбцу:

Здесь . разделим на него все равенство:

Из полученного выражения следует, что -ая строка является линейной комбинацией базисных строк.

Отсюда можно сделать вывод, что число линейно независимых строк или столбцов равно рангу матрицы. Это свойство используется для практического вычисления .

§ 3. Теорема о базисном миноре матрицы

1. Понятие линейной зависимости строк. Выше мы уже договорились называть строку A=(a1 ,a2. an ) линейной комбинацией
строк В = (b1. b2. bn ). С = (с1. с2. сn ), если для некоторых вещественных чисел λ. µ справедливы равенства

Указанные n равенств (1.42) удобно записать в виде одного равенства

Всякий раз, когда будет встречаться равенство (1.43), мы будем понимать его в смысле n равенств (1.42).
Введем теперь понятие линейной зависимости строк.
Определение. Строки A=(a1 ,a2. an ), В = (b1. b2. bn ). С = (с1. с2. сn ) назовем линейно зависимыми. если найдутся такие числа α, β. γ не все равные нулю, что справедливы равенства

Указанные n равенств (1.44) удобно записать в виде одного равенства

в котором О = (0,0. 0) обозначает нулевую строку.
Строки, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Можно дать и «самостоятельное» определение линейной независимости строк: строки А, В. С называются линейнонезависимыми, если равенство (1.45) возможно лишь в случае, когда все числаα, β. γравны нулю.
Докажем следующее простое, но важное утверждение.
Теорема 1.5.Для того чтобы строки A, В. С были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк являлась линейной комбинацией остальных строк.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть строки A, В. С линейно зависимы, т.е. справедливо равенство (1.45), в котором хотя бы одно из чисел α, β. γ отлично от нуля.
Ради определенности допустим, что а ≠ 0. Тогда, поделив (1.45) на α и введя обозначения λ = — β/α. µ = -γ/α. мы можем переписать (1.45) в виде

а это и означает, что строка А является линейной комбинацией строк В. С.
2) Достаточность. Пусть одна из строк (например, А) является линейной комбинацией остальных строк. Тогда найдутся числа

-1, λ. µ такие, что справедливо равенство (1.46). Но это последнее равенство можно переписать в виде ( з десь О = 0,0. 0) — нулевая строка).

(-1)A + λ B +. + µ C = O.

Так как из чисел -1, λ. µ одно отлично от нуля, то последнее равенство устанавливает линейную зависимость строк А, В. С.
Теорема доказана.
Конечно, во всех проведенных выше рассуждениях термин «строки» можно заменить термином «столбцы».
2. Теорема о базисном миноре. Рассмотрим произвольную (не обязательно квадратную) матрицу

Минором k-го порядка матрицы А будем называть определитель k- г о порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы А. (Конечно, k не превосходит наименьшее из чисел т и п.)
Предположим, что хотя бы один из элементов аij матрицы А отличен от нуля. Тогда найдется такое целое положительное число r, что будут выполнены следующие два условия: 1) у матрицы А имеется минор r-го порядка, отличный от нуля, 2) всякий минор

(г + 1)-го и более высокого порядка (если таковые существуют) равен нулю.
Число г, удовлетворяющее требованиям 1) и 2), назовем рангом матрицы А ( р анг матрицы А, все элементы которой — нули, по определению равен нулю). Тот минор r-го порядка, который отличен от нуля, назовем базисным минором (конечно, у матрицы А может быть несколько миноров r-го порядка, отличных от нуля). Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, назовем соответственно базисными строками и базисными столбцами.
Докажем следующую основную теорему.
Теорема 1.6 (теорема о базисном миноре). Базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).
Доказательство. Все рассуждения проведем для строк.
Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме 1.5 одна из этих строк являлась бы линейной комбинацией других базисных строк, и мы могли бы, не изменяя величины базисного минора, вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить строку, целиком состоящую из нулей, а это противоречило бы тому, что базисный минор отличен от нуля. Итак, базисные строки линейно независимы.
Докажем теперь, что любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк. Так как при произвольных переменах строк (или столбцов) определитель сохраняет свойство равенства нулю, то мы, не ограничивая общности, можем считать, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы (1.47), т.е. расположен на первых г строках и первых г столбцах. Пусть j — любое число от 1 до n, а k — любое число от 1 до m.
Убедимся в том, что определитель (г + 1)-го порядка

равен нулю. Если j ≤ r или k ≤ r, то указанный определитель будет равен нулю в силу того, что у него будет два одинаковых столбца или две одинаковые строки.
Если же оба числа j и k превосходят г, то (1.48) является минором матрицы А порядка (г + 1), а всякий такой минор равен нулю (по определению базисного минора). Итак, определитель (1.48) равен н улю при всех j от 1 до n и всех k от 1 до m.
Но тогда, разложив этот определитель по последнему столбцу и обозначив не зависящие от номера j алгебраические дополнения элементов этого столбца символами A1j = с1. A2j = c2. Arj = сr. Akj = cr+1. мы получим, что

(для всех j = 1, 2. n). Учитывая, что в последних равенствах алгебраическое дополнение cr+1 = Akj совпадает с заведомо отличным от нуля базисным минором, мы можем поделить каждое из этих равенств на cr+1. Но тогда, вводя обозначения

мы получим, что akj = λ1 a1j + λ2 a2j +. + λr arj (для всех j = 1, 2. n), а это и означает, что k-я строка является линейной комбинацией первых r (базисных) строк. Теорема доказана.
3. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.
Теорема 1.7.Для того чтобы определитель n-го порядка А был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.
Доказательство. 1) Необходимость. Если определитель n-го порядка А равен нулю, то базисный минор его матрицы имеет порядок r, заведомо меньший n. Но тогда хотя бы одна из строк является не базисной. По теореме 1.6 эта строка является линейной комбинацией базисных строк. В эту линейную комбинацию мы можем включить и все оставшиеся строки, поставив перед ними нули.
Итак, одна строка является линейной комбинацией остальных.
Но тогда по теореме 1.5 строки определителя линейно зависимы.
2) Достаточность. Если строки А линейно зависимы, то по теореме 1.5 одна строка Аi является линейной комбинацией остальных
строк. Вычитая из строки Аi указанную линейную комбинацию, мы, не изменив величины А, получим одну строку, целиком состоящую из нулей. Но тогда определитель А равен нулю (в силу следствия 3 из п. 4 §2). Теорема доказана.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *