Теоремы по геометрии 7 класс

Основные определения и теоремы по геометрии. 7 класс

  1. Геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур (в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» ).
  2. В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.
  3. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.
  4. Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла. а точка — вершиной угла .
  5. Угол называется развёрнутым. если обе его стороны лежат на одной прямой. ( Развёрнутый угол равен 180°).
  6. Две геометрические фигуры называются равными. если их можно совместить наложением.
  7. Середина отрезка — это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.
  8. Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
  9. Угол называется прямым. если он равен 90°.
  10. Угол называется острым. если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла).
  11. Угол называется тупым. если он больше 90°, но меньше 180°. (т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого).
  12. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.
  13. Два угла называются вертикальными. если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
  14. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными. если они образуют четыре прямых угла.
  15. Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами. а отрезки— сторонами треугольника.
  16. Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
  17. Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы .
  18. (Т. Первый признак равенства треугольников ) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  19. . о перпендикуляре к прямой ) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
  20. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
  21. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
  22. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
  23. (Свойства медианы, биссектрисы и высоты треугольника) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.
  24. Треугольник называется равнобедренным. если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
  25. Треугольник называется равносторонним. если все его стороны равны.
  26. (Т. о свойстве равнобедренного треугольника ) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  27. (Т. о свойстве равнобедренного треугольника ) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
  28. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
  29. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
  30. (Т. Второй признак равенства треугольников ) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  31. (Т. Третий признак равенства треугольников ) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  32. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности.
  33. Радиус окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой.
  34. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой .
  35. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .
  36. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.
  37. Две прямые на плоскости называются параллельными. если они не пересекаются.
  38. При пересечении двух прямых секущей образуется восемь углов: накрест лежащие. односторонние и соответственные.
  39. (Т. Признак параллельности двух прямых по накрест лежащим углам ) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  40. (Т. Признак параллельности двух прямых по соответственным углам ) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  41. (Т. Признак параллельности двух прямых по односторонним углам ) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  42. Аксиомы – это утверждения о свойствах геометрических фигур, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются теоремы и строится вся геометрия.
  43. (Аксиома) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
  44. (Аксиома параллельных прямых) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  45. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
  46. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  47. Во всякой теореме две части: условие (то, что дано) и заключение (то, что требуется доказать).
  48. Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.
  49. (Т.Свойство параллельных прямых ) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
  50. (Т.Свойство параллельных прямых ) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
  51. (Т.Свойство параллельных прямых ) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
  52. (Т. о сумме углов треугольника ) Сумма углов треугольника равна 180°.
  53. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
  54. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
  55. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным .
  56. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным .
  57. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным .
  58. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой. а две стороны, образующие прямой угол — катетами .
  59. (Т. о соотношениях между сторонами и углами треугольника ) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.
  60. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
  61. (Признак равнобедр. треугольника) Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
  62. (Т. Неравенство треугольника) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
  63. (Свойство прямоугольного треугольника ) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
  64. (Свойство прямоугольного треугольника ) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
  65. (Свойство прямоугольного треугольника ) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
  66. (Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам ) Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
  67. (Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу ) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то такие треугольники равны.
  68. (Т.Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу ) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
  69. . Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету ) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
  70. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой.
  71. (Т. Свойство параллельных прямых) Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
  72. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Теория по геометрии 7-9 класс

· острый угол – от 0 до 90 градусов;

· прямой угол – равен 90 градусам;

· тупой угол – от 90 до 180 градусов;

· развернутый угол (прямая) – равен 180 градусам.

Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением друг друга.

Свойство смежных углов:

· сумма смежных углов равна 180 градусам.

Вертикальные углы – два угла, у которых стороны являются продолжением друг друга.

Свойство вертикальных углов:

· вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые – прямые пересекающиеся под углом 90 градусов.

Перпендикуляр – отрезок, проведенный из точки к прямой под углом 90 градусов.

Теорема о перпендикуляре: из точки, не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.

Периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и трех углов.

· остроугольный треугольник – все три угла острые;

· прямоугольный треугольник – один угол прямой и два угла острые;

· тупоугольный треугольник – один угол тупой и два угла острые.

Равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.

Свойства равных треугольников:

· если два треугольника равны, то их элементы (углы и стороны) попарно равны;

· в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы и наоборот, напротив равных углов лежат равные стороны.

Признаки равенства треугольников:

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;

3. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий угол пополам.

Медиана – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий эту сторону пополам.

Высота – отрезок, выходящий из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, под углом 90 градусов.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны, а третья является основанием.

Свойства равнобедренного треугольника:

· углы при основании равны;

· биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Свойства равностороннего треугольника:

· углы равны по 60 градусов;

· биссектриса равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, является медианой и высотой.

Параллельные прямые – прямые, которые не пересекаются.

Секущая – прямая, пересекающая параллельные прямые.

Виды углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей:

Свойства параллельных прямых:

· при пересечении параллельных прямых секущей накрест-лежащие углы равны;

· при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны;

· при пересечении параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам.

Признаки параллельности прямых:

· если при пересечении двух прямых секущей накрест-лежащие углы равны, то прямые параллельны;

· если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;

· если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.

Аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну.

Следствия из аксиомы:

· если секущая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую параллельную прямую;

· если каждая из двух прямых параллельна третьей, то они параллельны между собой.

Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника.

Свойство внешнего угла треугольника:

· внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике напротив бОльшей стороны лежит бОльший угол и наоборот, напротив бОльшего угла лежит бОльшая сторона.

Теорема о сторонах треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол равен 90 градусам.

Свойства прямоугольного треугольника:

· сумма острых углов треугольника равна 90 градусам;

· в прямоугольном треугольнике катет, лежащий на против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы;

· если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 градусов.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

2. если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

3. если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

4. если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Расстояние от точки до прямой – перпендикуляр, проведенный от этой точки к данной прямой.

Расстояние между параллельными прямыми – перпендикуляр, проведенный от произвольной точки на одной прямой ко второй прямой.

Четырехугольник – геометрическая фигура, состоящая из 4 сторон и 4 углов.

Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n-2)*180, где n – количество углов.

Сумма углов любого четырехугольника равна 360 градусов.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

· противоположные углы и стороны равны;

· диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ – отрезок, соединяющий две противоположные вершины четырехугольника.

· если в четырехугольнике стороны попарно равны, то данный четырехугольник – параллелограмм;

· если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то данный четырехугольник параллелограмм;

· если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник параллелограмм.

Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания) а две другие – нет (боковые стороны).

· прямоугольная – трапеция, у которой два прямых угла;

· равнобедренная – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобедренной трапеции :

· углы при основаниях равны;

Ромб – частный случай параллелограмма, у которого все стороны равны.

· у ромба диагонали перпендикулярны и делят углы, из которых они исходят, пополам.

Прямоугольник – частный случай параллелограмма, у которого все углы по 90 градусов.

· у прямоугольника диагонали равны

· если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник.

Квадрат – частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.

Теорема Фалеса – если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Площадь многоугольника – часть плоскости, ограниченная сторонами многоугольника.

· равные многоугольники имеют равные площади;

· если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей многоугольников, из которых он состоит.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Площадь трапеции равна половине произведения основания на высоту: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними:

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Площадь треугольника равна половине произведения двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленное на 4 радиуса описанной окружности: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Формула Герона. где р – полупериметр: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе из вершины прямого угла: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Площадь равностороннего треугольника. где а – сторона треугольник: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Высота, медиана, биссектриса равностороннего треугольника. где а – сторона треугольника: h =Теоремы по геометрии 7 класс

Площадь круга. где r – радиус: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Длина окружности. где r – радиус: C = 2Теоремы по геометрии 7 класс

Длина дуги окружности. где r – радиус, &#&45; – грудасная мера дуги: Теоремы по геометрии 7 класс

Площадь кругового сектора. где r – радиус, &#&45; – грудасная мера дуги: Теоремы по геометрии 7 классТеоремы по геометрии 7 класс

Площадь правильного шестиугольника. где а – сторона шестиугольника: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Если в многоугольник можно вписать окружность. то его площадь можно найти как половина произведения периметра на радиус этой окружности: S =Теоремы по геометрии 7 класс

Свойства площадей треугольников :

· если два треугольника имеют равные высоты, то их площади относятся как основания;

· если два треугольника имеют пару равных углов, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих эти углы.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обратная теорема Пифагора: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то данный треугольник – прямоугольный.

Формула для нахождения гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника:Теоремы по геометрии 7 класс. где х – катет равнобедренного прямоугольного треугольника.

Формула для нахождения диагонали квадрата:Теоремы по геометрии 7 класс. где х – сторона квадрата.

Отношение двух величин – деление одной величины на другую (дробь).

Пропорция – равенство нескольких дробей.

Основное свойство пропорции:Теоремы по геометрии 7 класс *d = c*b

Подобные треугольники – треугольники, у которых углы равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Сходственные стороны – стороны двух подобных треугольников, расположенные напротив равных углов.

Коэффициент подобия – отношение двух сходственных сторон подобных треугольников.

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Коэффициент подобия равных треугольников равен единице.

Теорема о биссектрисе треугольника: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Признаки подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны;

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны;

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна противоположной стороне и равна ее половине.

Среднее арифметическое для нескольких величин равно сумме этих величин, деленной на их количество.

Среднее геометрическое (пропорциональное) для нескольких величин равно квадратному корню из их произведения.

Свойства среднего геометрического в прямоугольных треугольниках:

· высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое для отрезков, на которые гипотенуза делится этой высотой;

· катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между этим катетом и высотой, проведенной к гипотенузе.

Синус острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к прилежащему.

Основное тригонометрическое тождество. sin 2 (a) + cos 2 (a) = 1

Теоремы по геометрии 7 класс

Теоремы по геометрии 7 класс

Теоремы по геометрии 7 класс

· Теоремы по геометрии 7 класс

· Теоремы по геометрии 7 класс

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого

В прямоугольном треугольнике косинус одного острого угла равен синусу другого

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого

В прямоугольном треугольнике котангенс одного острого угла равен тангенсу другого

Синусы смежных углов равны

Косинусы смежных углов равны с противоположными знаками

Тангенсы смежных углов равны с противоположными знаками

Котангенсы смежных углов равны с противоположными знаками

Окружность – множество точек, равноудаленных от одной точки (центр окружности).

Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

Хорда – отрезок, соединяющий любые две точки на окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

Соотношение диаметра и радиуса – диаметр равен двум радиусам.

Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общих точки.

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Теоремы о касательных :

1) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

2) Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности, а его стороны пересекают окружность.

Дуга – часть окружности, ограниченная с двух сторон.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

Следствия из измерений центрального и вписанного углов :

1) вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу;

2) если вписанные углы опираются на одну и ту же дугу, то они равны;

3) вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90 градусов.

Серединный перпендикуляр – прямая, проходящая через середину отрезка под углом 90 градусов.

Четыре замечательные точки треугольника :

· биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

· медианы треугольника пересекаются в одной точке;

· высоты треугольника пересекаются в одной точке;

· серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема о биссектрисе :

Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Теорема о серединном перпендикуляре :

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, проведенному к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Вписанная окружность – окружность, касающаяся всех сторон фигуры.

Описанная окружность – окружность, проходящая через каждую вершину фигуры.

©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

Теоремы и определения по геометрии.

30 Июнь 2013, Автор: Сергей Панчешный

Теоремы по геометрии 7 класс Мы начинаем изучать новый предмет «Геометрия».
Сегодня первый урок, основанный на лекциях и выступлениях народного учителя СССР Виктора Фёдоровича ШАТАЛОВА. Урок будет посвящён изучению теорем, аксиом и определений. которыми вы будете пользоваться на протяжении всего учебного года, т.е. геометрии 7 класса.
Их будет достаточно много, но часть из них вы уже знаете, часть будет достаточно лёгкая, и только несколько могут вызвать определённые затруднения, но, когда вы повторите их неоднократно, то и они не будут представлять для вас никакой трудности. Итак:

1. Свойства прямой:
– прямая бесконечна;
– через две точки можно провести только одну прямую;
– две прямые пересекаются только в одной точке.

А если бы они пересекались в двух точках, то через две точки можно провести только одну прямую.

Теоремы по геометрии 7 класс

2. Отрезок – это все точки прямой, расположенные между двумя данными точками, которые называются концами отрезка.

По Погорелову концы отрезка НЕ ПРИНАДЛЕЖАТ отрезку, а по Атанасяну – ПРИНАДЛЕЖАТ.

3. Свойство расположения точек:
– прямая делит плоскость на две полуплоскости;
– из трёх точек прямой одна и только одна находится между двумя другими.

4. Пересечение прямой и отрезка:
– если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, то прямая пересекает отрезок.
А если концы отрезка находятся в одной полуплоскости, то прямая отрезок не пересекает.

5. Полупрямая (луч) – часть прямой, которая находится в одной полуплоскости.

6. Основные свойства измерения отрезков:
– каждый отрезок имеет свою отличную от нуля положительную линейную меру;
– если на отрезке поставить точку, то она разобьёт отрезок на 2 отрезка, сумма длин которых будет равна длине данного отрезка.

Теоремы по геометрии 7 класс

7. Угол – это фигура, которая состоит из точки и двух полупрямых (или лучей), которые выходят из данной точки.

8. Развёрнутый угол – это угол, образованный двумя дополнительными полупрямыми. Две полупрямые дополняют друг друга до прямой линии.

Теоремы по геометрии 7 класс

9. ПРОХОЖДЕНИЕ ЛУЧА МЕЖДУ СТОРОНАМИ УГЛА. Если полупрямая выходит из вершины угла и пересекает отрезок, концы которого лежат на разных сторонах угла, то тогда говорят, что полупрямая проходит внутри угла.

10. Свойство откладываемых отрезков и углов:
– на данной полупрямой от её начала можно отложить только один отрезок данной линейной меры;
– от данной полупрямой в данной полуплоскости можно отложить только один угол данной градусной меры.

11. Основные свойства измерения углов:
– каждый угол имеет свою отличную от нуля положительную градусную меру;
– если внутри угла провести полупрямую, то она разобьёт его на угла, сумма градусных мер которых будет равна градусной мере данного угла.

Теоремы по геометрии 7 класс

12. Треугольник – это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, которые соединяют эти точки.

13. Равные треугольники:
– треугольники, которые при наложении совмещаются всеми своими точками;
– треугольники, у которых все стороны и углы соответственно равны.

14. Параллельные прямые – прямые называются параллельными, если они ЛЕЖАТ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ и никогда не пересекутся, сколько бы их не продолжали.

15. СВОЙСТВО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ:
– через данную точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.

16. Теорема о пересечении сторон треугольника:
– если прямая не проходит через вершину треугольника и пересекает одну из его сторон, то она обязательно пересечёт ещё одну сторону треугольника и притом только одну.

17. Аксиома – истина, которая принимается без доказательств.

18. Теорема – истина, которая принимается после некоторых умозаключений.

Теоремы по геометрии 7 класс

20. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.

21. Виды углов:
– острый угол больше 0°, но менее 90°.
– прямой угол равен 90°.
– тупой угол больше 90°, но менее 180°.

22. Вертикальные углы – это углы, у которых стороны одного являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого.

23. Свойство вертикальных углов – вертикальные углы РАВНЫ.

Теоремы по геометрии 7 класс

24. Перпендикулярные прямые – прямые, которые при пересечении образуют прямые углы.

Справочник по геометрии (7-9 класс)

Если расстояние от центра окруж- Если расстояние от центра окруж-

ности до прямой < радиуса, то пря- ности до прямой = радиуса, то пря-

мая и окружность имеют 2 общие мая и окружность имеют 2 общие

точки. Прямая является секущей. точки. Прямая является касательной.

Если расстояние от центра окруж-Теорема:Касательная к окруж-

ности до прямой > радиуса, то пря- ности перпендикулярна кr, прове-

мая и окружность не имеют общих дённому в точку касания.

Отрезки касательных к окружнос- через конецr, лежащий на окруж-

ти, проведённые из 1ой точки, рав- ности, и перпендикулярна к этому

ны и составляют равные углы сr, то она является касательной.

прямой, проходящей через эту точ-

ку и центр окружности. Дуга является полуокружностью.

Угол с вершиной в центре окруж- Если дуга АВ окружности с центром

ности — её центральный угол. О < полуокружности или является

полуокружностью, то её градусная

Сумма градусных мер 2ух дуг ок- мера считается равной градусной

ружности с общими концами = мере центрального угла АОВ. Если же

= 360°. дуга АВ > полуокружности, то её

градусная мера считается =

Угол, вершина кот-го лежит на = 360°–<АОВ.

окружности, а стороны пересе-

кают окружность, называетсяТеорема:Вписанный угол измеряя-

вписанным углом. ется ½ дуги, на кот-ую он опирается.

Луч ВО совпадает с 1ой из сто- Луч ВО делит угол АВС на 2 угла, если

рон угла АВС. луч ВО пересекает дугу АС.

Луч ВО не делит угол АВС на 2 Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту

угла и не совпадает со сторона- же дугу, равны.

ми этого угла, если луч ВО не

пересекает дугу АС. Вписанный угол, опирающийся на полу-

ружности пересекаются, то неразвёрнутого угла равноудалена

произведение отрезков 1ой от его сторон. Каждая точка, ле-

хорды = произведению отрез- жащая внутри угла и равноудалённая

ков другой хорды. от сторон угла, лежит на его бисс-се.

Бисс-сы 3-угольника пересека- Серединным перпендикуляром к отрезку

ются в 1ой точке. называется прямая, проходящая через

середину отрезка и перпендикулярная

рединного перпендикуляра к

отрезку равноудалена от концовСерединные перпендикуляры к сторо-

этого отрезка. Каждая точка,нам 3-угольника пересекаются в 1ой

равноудалённая отконцов отрез-точке.

ка, лежит на серединном перпен-

но вписать окружность.

(или их продолжения) пересека-В 3-угольник можно вписать только 1у

ются в 1ой точке.окружность.

Теорема:Около любого треу-В любом вписанном 4-угольнике сумма

гольника можно онисать окруж-противоположных углов = 180°.

Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.

Физические величины, характери-Определение:Отрезок, для кот-

зуещиеся направлением в прост- го указано, какой из его концов счи-

ранстве – векторные. тается началом, а какой – концом,

Длина (модуль) – длина АВ.

Длина нулевого вектора = 0.

Нулевые векторы называются

коллинеарными, если они лежат Если 2 вектора направлены одинаково,

либо на одной прямой, либо на то эти векторы – сонаправлены.

параллельных прямых; нулевой

вектор считается коллинеар- Если 2 вектора направлены противопо-

ным любому вектору. ложно, то они противоположно напра-

называются равными, еслиОт любой точки М можно отложить

они сонаправлены и их дли-вектор, равный данному вектору ã, и

ны равны.притом только один.

Теорема:для любых векторов ă, č и ĕ справедливы равенства:

Теорема:Для любых векто-Произведение любого вектора на число

ров ă и č справедливо равенство:0 есть нулевой вектор.

пеции параллельна основаниям

коллинеарны и ă=0, то сущес- ложить по 2ум данным неколлинеар-

ты разложения определяются един-

Каждая координата суммы 2ух ственным образом.

векторов = сумме соответству-

ющих координат этих векторов. Каждая координата произведения век-

тора на число = произведению соот-

Каждая координата разности ветствующей координаты вектора

2ух векторов = разности соот- на это число.

ветствующих координат век-

тора на это число. Координаты точки М = соответству-

ющим координатам её радиус-вектора.

Каждая координата вектора =

разности соответствующих ко- Каждая координата середины отрезка

ординат его конца и начала. равна полусумме соответствующих ко-

ординат его концов.

Соотношения между сторонами

и углами 3-угольника.

Для любого угла &#&45; из промежут-tgугла &#&45;(α=90°) называется отношение

ется ордината у точки М, аcos

произведения 2ух его сторон на порциональныsinпротиволежащих

Теорема:Квадрат стороны 3-угольника = сумме квадратов 2ух других сторон – удвоенное произведение этих сторон наcosугла между ними.

Скалярным произведением 2ух Скалярный квадрат вектора = квадра-

векторов называется произве- ту его длины.

дение их длин наcosугла между

Нулевые векторы а( х1 ; у1 ) иcosугла а между нулевыми векторами

Для любых векторов а,b, с и любого числаkсправедливы соотношения:

а 2 >0, причём а 2 >0 при а=0.

Теоремы по геометрии 7 класс

16+ Свидетельство о регистрации СМИ:
Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015.

Лицензия на осуществление образовательной деятельности: № 5201 от 20.05.2016.

Адрес редакции и издательства: 214011, РФ,
г. Смоленск, ул. Верхне-Сенная, 4.
Контакты: [email protected]

Правообладатель товарного знака ИНФОУРОК: ООО «Инфоурок» (Свидетельство № 581999 )

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *