Метод эквивалентного источника

Метод эквивалентного источника
Главная | О нас | Обратная связь

Метод эквивалентного источника напряжения

Применение метода целесообразно для определения тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи. При определении тока k -й ветви методом эквивалентного источника напряжения исследуемая ветвь размыкается, а вся остальная часть цепи, подключенная к зажимам этой ветви, представляется в виде эквивалентного источника напряжения, ЭДС которого равна Еэ.и. а внутреннее сопротивление Rвн. Расчет целесообразно вести в следующем порядке:

1. Определить напряжение на зажимах эквивалентного источника Еэ.и. равного Uхx (напряжению на зажимах разомкнутой ветви k в режиме холостого хода). Для этого составить уравнение по II закону Кирхгофа для любого контура цепи, включающего в себя разомкнутые зажимы исследуемой ветви, предварительно рассчитав токи в ветвях цепи в режиме холостого хода ветви k .

2. Определить внутреннее сопротивление эквивалентного источника Rвн. равного Rвх (входному сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов ветви k ; при этом все источники напряжения заменить короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока – разомкнуть).

3. Определить ток в ветви с сопротивлением Rk по закону Ома:

Линейная электрическая цепь описывается системой линейных уравнений Кирхгофа. Это означает, что она подчиняется принципу наложения (суперпозиции). согласно которому совместное действие всех источников в электрической цепи совпадает с суммой действий каждого из них в отдельности.

Метод наложения опирается на принцип наложения и заключается в следующем: ток или напряжение произвольной ветви или участка разветвленной электрической цепи постоянного тока определяется как алгебраическая сумма токов или напряжений, вызванных каждым из источников в отдельности.

При использовании этого метода задача расчета разветвленной электрической цепи с n источниками сводится к совместному решению n цепей с одним источником.

Порядок расчета линейной электрической цепи методом наложения:

Произвольно задать направление токов в ветвях исследуемой цепи.

2. Исходную цепь, содержащую n источников, преобразовать в n подсхем, каждая из которых содержит только один из источников, прочие источники исключаются следующим образом: источники напряжения замыкаются накоротко, а ветви с источниками тока обрываются. При этом необходимо помнить, что внутренние сопротивления реальных источников играют роль потребителей, и поэтому они должны оставаться в подсхемах.

Определить токи каждой из подсхем, задавшись их направлением в соответствии с полярностью источника, любым из известных методов. В большинстве случаев расчет ведется по закону Ома с использованием метода эквивалентных преобразований пассивных цепей.

4. Полный ток в любой ветви исходной цепи определяется как алгебраическая сумма токов вспомогательных подсхем, причем при суммировании со знаком «+» берутся токи подсхем, направление которых совпадает с направлением тока в исходной цепи, со знаком «–» – остальные.

Подлежащая расчету цепь будет иметь вид (рис. 1.3).

Метод эквивалентного источника напряжения (генератора)

Метод эквивалентного источника

При расчете тока в одной из ветвей разветвленной цепи, содержащей произвольное число источников и потребителей, удобно рассматривать цепь, состоящую из двух частей: искомой ветви и остальной части. По отношению к рассматриваемой ветви вся остальная часть цепи является активным двухполюсником (рис. 2.9.), и задача заключается в определении тока или напряжения на зажимах активного двухполюсника при подключении к нему потребителя с сопротивлением R. .

Метод эквивалентного источника

Согласно II закону Кирхгофа ток не изменится, если в цепь, образованную активным двухполюсником и потребителем, включить последовательно два идеализированных встречно направленных источника с одинаковыми ЭДС (рис. 2.10). Величину каждой из них выбираем совпадающей с напряжением UХХ на зажимах активного двухполюсника в режиме холостого хода, который имеет место при отключенном потребителе.

Ток I в цепи с двумя источниками определим методом наложения. С этой целью источники разбиваем на две группы (рис. 211 и 2.12):

1. Источники активного двухполюсника и Е1, которые сохраняются в подсхеме рис. 2.11.

Метод эквивалентного источника

Согласно II закону Кирхгофа:

2. все потребители активного двухполюсника и Е2. сохраняются в подсхеме на рис. 2.12.

Метод эквивалентного источника

Если эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника, образованного коротким замыканием источников ЭДС и обрывом ветвей, содержащих источники тока, обозначить через Rвх. получим простую одноконтурную схему (рис. 2.13), которую можно рассчитать по закону Ома:

Метод эквивалентного источника

Эта формула отражает теорему об активном двухполюснике или об эквивалентном источнике напряжения. относительно любой ветви разветвленной электрической цепи вся остальная часть схемы может быть представлена как источник напряжения, ЭДС которого равна UXX . а внутренне сопротивление равно Rэкв .

При коротком замыкании ветви с нагрузкой R = 0ток превращается в ток короткого замыкания:

Параметры активного двухполюсника можно определить опытным путем. Для этого необходимо разомкнуть i-ую ветвь и измерить Метод эквивалентного источника, затем замкнуть накороткоRi и измерить IКЗ :

Rвх можно найти расчетным путем, если известна конфигурация цепи и величины сопротивлений.

Методика расчета линейной электрической цепи методом эквивалентного генератора:

Отключается потребитель в ветви с искомым током и на зажимах обозначается UXX по направлению тока.

В образовавшейся более простой цепи находится Uõõ с помощью II закона Кирхгофа, записанного для любого контура, содержащего Uхх. Токи в ветвях упрощенной схемы определяются любым известным методом.

Определяется Rвх на зажимах разомкнутой ветви при условии E=0 и J=0. В полученной пассивной цепи пользуются правилами эквивалентных преобразований для потребителей.

По найденным Uõõ и Rвх определяется ток в искомой ветви, значение которого может быть и отрицательным.

Замечание 1:Rвх можно найти по формуле Метод эквивалентного источникаIКЗ при условии Ri=0 любым известным методом.

Замечание 2: если ветвь, в которой определяется ток, содержит источник ЭДС, следует данный источник отнести к активному двухполюснику, отключив только сопротивление Ri . Тогда величина E войдет в расчет UXX .

Метод эквивалентного источника

Пример. Определить ток I2 в цепи, изображенной на рис. 2.14. а.

Запишем II закон Кирхгофа для цепи, в которой отключен потребитель R2 (рис. 2.14.,б):

Метод эквивалентного источника

Rвх определим по цепи (рис. 2.14. в), из которой исключены все источники, как Метод эквивалентного источника.

Тогда искомый ток

Метод эквивалентного источника

Метод эквивалентного генератора

Методом эквивалентного генератора удобно пользоваться, когда требуется определить ток только в одной ветви сложной схемы, а токи в остальных ветвях нас не интересуют. Интересующая нас ветвь в общем случае может быть как линейной, так и нелинейной. Остальная схема обязательно должна быть линейной.

Предположим, нас интересует ток Iq в q -й ветви схемы рис. 38. По отношению к этой ветви остальная цепь представлена активным двухполюсником, внутренняя схема которого нас не интересует.

Рис. 38. Активный двухполюсник

Двухполюсник – это схема, из которой выведены два конца. Если внутри двухполюсника есть источник – двухполюсник активный. Если внутри двухполюсника источника нет – двухполюсник пассивный. Пассивный двухполюсник характеризуется одним параметром: входным сопротивлением Rвх. Активный двухполюсник характеризуется двумя параметрами: входным сопротивлением Rвх и напряжением холостого хода на разомкнутых зажимах Uхх. На схемах двухполюсник представляется в виде прямоугольника, из которого выходят два конца. Пассивный двухполюсник обозначается буквой «П», а активный – буквой «А».

Режим работы электрической цепи не изменится, если в q -ю ветвь включить два дополнительных источника ЭДС с равными, но противоположно направленными ЭДС: E ‘ и E » (рис. 39).

Рис. 39. Активный двухполюсник с двумя дополнительными источниками ЭДС

Воспользуемся методом наложения. Разобьем схему рис. 39 на две (рис. 40а, б) и определим частичные токи этих схем: Iq ‘ и Iq «.

Рис. 40. Активный двухполюсник с источником ЭДС E ‘ (а)

и пассивный двухполюсник с источником ЭДС E » (б)

Частичный ток Iq ‘ обусловлен совместным действием источников активного двухполюсника и источника ЭДС E ‘. Частичный ток Iq » обусловлен действием источника ЭДС E «. В соответствии с этим на рис. 40а двухполюсник активный, а на рис. 40б двухполюсник пассивный.

Предположим, что ЭДС дополнительных источников E ‘ = E » плавно увеличиваются от нуля вверх. При этом ток Iq ‘ начнет уменьшаться и при каком-то значении ЭДС достигнет нуля. Для цепи рис. 40а это будет режимом холостого хода в q -й ветви (Iq ‘ = 0). Напряжение на зажимах q -й ветви будет напряжением холостого хода Uхх активного двухполюсника. Это напряжение будет равно ЭДС E ‘. Тогда очевидно и в схеме рис. 40б ЭДС E » будет равна напряжению холостого хода активного двухполюсника Uхх. Т.е. мы имеем: E ‘ = E » = Uхх и ток Iq » в схеме рис. 40б будет равен

где Rвх – входное сопротивление двухполюсника по отношению к зажимам q -й ветви.

Полученное выражение соответствует формуле закона Ома для замкнутой цепи. Поэтому исходную схему (рис. 38) можно заменить эквивалентной ей одноконтурной схемой замкнутой цепи рис. 41, на которой вместо активного двухполюсника представлен эквивалентный источник (эквивалентный генератор) с ЭДС Eэг = Uхх и эквивалентным внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению двухполюсника Riэг = Rвх .

Название схемы замещения дало название методу расчета: метод эквивалентного генератора .

Рис. 41. Схема замещения активного двухполюсника эквивалентным генератором

Методика расчета по методу эквивалентного генератора.

1. Отключаем от схемы исследуемую ветвь.

2. Выполняем анализ схемы с отключенной ветвью и находим напряжение холостого хода между зажимами, соответствующими отключенной ветви.

3. Находим входное сопротивление схемы по отношению к зажимам отключенной ветви. При этом ЭДС источников опускаем, оставляя их внутренние сопротивления, а ветви с идеальными источниками тока размыкаем.

4. Используя формулу метода эквивалентного генератора, находим ток исследуемой ветви.

Рассмотрим примеры применения метода эквивалентного генератора для расчета тока одной из ветвей конкретной схемы.

Пример 4. Дана схема электрической цепи (рис. 42). Параметры схемы известны. Требуется найти ток в пятой ветви методом эквивалентного генератора.

Рис. 42. Схема электрической цепи

Отключим от схемы пятую ветвь (рис. 43).

Рис. 43. Схема электрической цепи с отключенной пятой ветвью

В оставшейся схеме опустим ЭДС E1 и E2 , оставив в схеме сопротивления ветвей и внутренние сопротивления источников (рис. 44).

Рис. 44. Схема для расчета входного сопротивления

Находим входное сопротивление схемы (рис. 44) относительно зажимов a и b. учитывая, что первая и вторая ветви схемы включены параллельно, третья ветвь включена последовательно с ними, образуя смешанное соединение ветвей, а четвертая ветвь подключена параллельно со смешанным соединением. Для такой схемы имеем:

Вновь вернемся к рассмотрению схемы (рис. 43) с отключенной пятой ветвью. Заземлим узел b. приравняем потенциал этого узла нулю (&#&66;b = 0) и найдем напряжение между зажимами a и b схемы при холостом ходе пятой ветви Uabхх методом узловых потенциалов. Имеем следующую систему уравнений:

в которой собственные gaa , gcc и смежные gaс = gca проводимости узлов a и c выражены через проводимости ветвей схемы

Решение системы позволяет найти потенциалы узлов a и c

Тогда напряжение между зажимами a и b схемы в режиме холостого хода пятой ветви будет равно

Заменим исходную схему без пятой ветви активным двухполюсником (рис. 45а), а его, в сою очередь, — эквивалентным генератором (рис. 45б).

ЭДС эквивалентного генератора равна напряжению между зажимами a и b в режиме холостого хода пятой ветви Eэг = Uabхх . Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно входному сопротивлению схемы в режиме холостого хода пятой ветви Riэг = Rвх .

Тогда в соответствии с методом эквивалентного генератора ток в пятой ветви можно определить, используя формулу закона Ома для замкнутой цепи:

Рис. 45. Схемы замещения: а) с активным двухполюсником;

Метод эквивалентного генератора (эквивалентного источника). Применение математической программной среды MathCAD для расчета линейных цепей постоянного тока (главы 6-10 учебного пособия «Теоретические основы электротехники в примерах и задачах»)

Содержание работы

6. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

Целесообразность использования данного метода становится очевидной, в случае если расчет электрической цепи ограничен в определении тока только одной ветви. В этом случае вся цепь относительно ветви с интересующим током заменяется эквивалентной схемой. Таким образом, основной расчет сводится к определению двух параметров эквивалентной схемы – ЭДС и сопротивления эквивалентного генератора.

Для схемы цепи (рис. 6.1) методом эквивалентного генератора найти ток ветви с сопротивлением , если , , , , , , .

1. Выделим ветвь с сопротивлением и обозначим ток (рис.6.1) .

2. Всю цепь, рис. 6.1, относительно ветви с сопротивлением , представим эквивалентным генератором с источником ЭДС равным и сопротивлением (рис. 6.2).

Согласно схеме (рис. 6.2) интересующий ток в ветви определиться как

т.е. решение задачи сводится к определению двух параметров эквивалентного генератора и .

3. Найдем ЭДС генератора. По определению равно напряжению между узловыми точками 1 и 2 разомкнутой ветви с сопротивлением (рис. 6.3).

Для этого в схеме (рис. 6.3) определим токи и . На основании законов Кирхгофа получим систему:

Из системы найдем

На основании второго закона Кирхгофа для указанного в схеме (рис. 6.3) направления обхода контура получим

4. Найдем сопротивление генератора. По определению равно входному сопротивлению между узловыми точками 1 и 2 разомкнутой ветви с (рис. 6.3). Расчет сопротивления производим при закороченных источниках ЭДС , и разомкнутом источнике тока , рис. 6.4.

5. Окончательно определяем ток :

Определить методом эквивалентного генератора ток в ветви с источником ЭДС (рис. 6.5). Дано: , , , , , , .

1. Обозначим ток в ветви с источником ЭДС (рис. 6.5).

2. Применив теорему об эквивалентном генераторе, ток в ветви, имеющей нулевое сопротивление согласно схеме (рис. 6.6):

3. Найдем ЭДС генератора. Разомкнем ветвь с источником (рис.6.7) и найдем напряжение между точками 1 и 2.

Предварительно выполним расчет токов и в схеме (рис. 6.7).

Ток в неразветвленной части схемы

Токи и в разветвленной части схемы:

На основании второго закона Кирхгофа для обозначенного на схеме (рис. 6.7) контура запишем:

4. Найдем сопротивление генератора , которое равно входному сопротивлению между точками 1 и 2 (рис. 6.8) (при замкнутых источниках ЭДС , ).

Преобразуем треугольник сопротивлений , и (рис.6.8) в эквивалентную звезду (рис. 6.9).

Величины сопротивлений эквивалентной звезды (рис. 6.9):

Согласно выполненным преобразованиям окончательно получим (рис. 6.9):

5. Ток в ветви с источником определится как

Задачи для самостоятельного решения

Задача 6.3. Методом эквивалентного генератора для схемы (рис. 6.10) определить ток в ветви с сопротивлением . Дано , , , , , .

Рис. 6.10. Рис. 6.11.

Задача 6.4. Для цепи (рис. 6.11) методом эквивалентного генератора определить ток в ветви с сопротивление , если , , , , .

Задача 6.5. Определить обозначенный в схеме (рис. 6.12) ток по методу эквивалентного генератора, если , , , , , , , .

Задача 6.6. Для схемы (рис. 6.13) методом эквивалентного генератора определить обозначенный в ветви ток, если , , , , , .

Рис. 6.12. Рис. 6.13.

Задача 6.6. Рассчитать обозначенный в схеме (рис. 6.14) ток, используя метод эквивалентного генератора, если , , , , , .

Задача 6.4. Для цепи (рис. 6.15) методом эквивалентного генератора определить ток в ветви с сопротивление , если , , , , , , , , .

Рис. 6.14. Рис. 6.15.

7. ПРИМЕНЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРИ РАСЧЕТАХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Расчет сложных электрических цепей можно упростить путем различных эквивалентных преобразований активных участков схем содержащих ветви с идеальными источниками ЭДС и тока. В частях схемы не затронутых преобразованиями должно выполняться условие неизменности напряжений и токов ветвей. Упрощение расчета сводится, как правило, к уменьшению числа ветвей или узлов схемы и, в конечном счете, к сокращению расчетных уравнений.

Для цепи (рис.7.1) требуется определить показание вольтметра, если , , , , . Внутреннее сопротивление вольтметра принять .

1. Преобразуем источники тока и (рис. 7.1) в эквивалентные источники ЭДС , (рис. 7.2).

2. Значения ЭДС эквивалентных источников:

3. Ток, протекающий в контуре (рис. 7.2) найдем на основании второго закона Кирхгофа

4. Показание вольтметра установленного в схеме будет соответствовать напряжению на сопротивлении :

Методом узловых потенциалов определить токи в ветвях с сопротивлениями и схемы (рис. 7.3). если , , , , , , .

Рис. 7.3. Рис. 7.4. Рис. 7.5.

1. Чтобы уменьшить число узлов расчетной схемы и упростить расчет преобразуем источник тока в эквивалентные источники ЭДС.

Включая в узле 3 два равных и противоположно направленных источника тока , получим эквивалентную схему (рис. 7.4).

После преобразования источников тока в эквивалентные источники ЭДС получим эквивалентную схеме (рис.7.3) схему представленную на рис. 7.5.

2. Значения ЭДС эквивалентных источников:

3. Расчет токов преобразованной схемы (рис. 7.5) выполним методом двух узлов. Потенциал узловой точки 1 принимаем равным нулю ( ). Напряжение между узлами 3 и 1 найдем как

4. Интересующие в схеме токи

Определить показание амперметра для схемы рис. 7.6, если , , , , , , , , , .

1. Для упрощения расчета воспользуемся преобразованиями активных участков схем с параллельными ветвями одной эквивалентной.

2. Эквивалентная ЭДС и эквивалентное сопротивление двух параллельных ветвей левой части схемы (рис. 7.6):

Метод эквивалентного генератора

При решении задач по электротехнике, зачастую требуется знать режим работы не всей цепи, а только одной определённой ветви. Для определения параметров такой ветви существует метод эквивалентного генератора.

Суть метода эквивалентного генератора состоит в нахождении тока в одной выделенной ветви, при этом остальная часть сложной электрической цепи заменяется эквивалентным ЭДС Е экв. с её внутренним сопротивлением r экв. При этом часть цепи, в которую входит источник ЭДС называют эквивалентным генератором или активным двухполюсником, откуда и название метода.

Для наглядности рассмотрим схему представленную ниже. Допустим, что R1 =5 Ом, R2 =7 Ом, R3 =10 Ом, Rab =3 Ом, E=10 В.

Метод эквивалентного источника

Согласно методу эквивалентного генератора получим схему

Метод эквивалентного источника

Метод эквивалентного источника

Для нахождения тока нужно узнать Еэкв и rэкв с помощью режимов эквивалентного генератора.

Для того чтобы найти эквивалентную ЭДС, нужно рассмотреть режим холостого хода генератора, другими словами нужно отсоединить исследуемую ветвь ab, тем самым избавив генератор от нагрузки, после чего он будет работать на так называемом холостом ходу.

Метод эквивалентного источника

Напряжение холостого хода U х. будет равно эквивалентной ЭДС E экв. Таким образом мы можем найти E экв.

Метод эквивалентного источника

Следующим этапом решения задачи будет нахождение эквивалентного сопротивления rэкв. Можно воспользоваться режимом короткого замыкания генератора, при котором сопротивление R ab отсутствует, но в более сложных схемах это может привести к более громоздким расчётам, поэтому найдем rэкв как входное сопротивление пассивного двухполюсника. Пассивным называется двухполюсник у которого отсутствуют источники ЭДС. Простыми словами нужно убрать во внешней цепи источник ЭДС и найти сопротивление цепи, так и поступим.

Метод эквивалентного источника

Эквивалентное сопротивление rэкв равно ( тем, кто не умеет находить эквивалентное сопротивление, нужно прочитать статью виды соединения проводников )

Метод эквивалентного источника

Итак, найдя эквивалентные ЭДС и сопротивление, мы можем найти силу тока в ветви ab

Метод эквивалентного источника

На этом всё, ток в нужной ветви найден, а значит, задача решена методом эквивалентного генератора.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *