Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

В механике существует понятие о моменте силы относительно точки.

Моментом силы относительно точки называется взятое со знаком ( плюс или минус) произведение модуля силы на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы (рис. 12), т. е.

Точка О, относительно которой берется момент силы, называется центром момента; ОВ = h —крат­чайшее расстояние от центра момента до линии действия силы — называется плечом силы относи­тельно данной точки; знак плюс ставится в случае, если сила стремится повернуть плечо h против хода часовой стрелки, а знак минус — в противоположном направлении. Момент силы относительно точки О на рис. 12 положительный.

Из последнего равенства следует, что при h =0, т.е. когда О- центр моментов– расположен на линии действия силы . М0( ) =0. Как известно, сила—скользящий вектор, поэтому при переносе силы по линиям действия из точки А в любую другую точку A1. А2 и т. д. (рис. 12) длина плеча не изменится, а значит не изменится и значение момента силы относительно точки. Момент силы, как и момент пары, измеряют в ньютонометрах.

Момент силы относительно точки

Рис.12. Момент силы относительно точки O .

1.12. Уравнения равновесия плоской системы параллельных сил

Пусть к данному телу приложена система параллельных сил . . . . (рис. 13). Через произвольную точку О, взятую в плоскости дей­ствия сил, проведем ось Ох, перпендикулярную силам, и ось Оу, параллельную этим силам. Запишем для данной системы сил уравнения равновесия

Момент силы относительно точки

Рис.13. Система параллельных сил.

Каждая сила перпендикулярна оси Ох, и ее проекция на эту ось равна нулю. Следовательно, первое уравнение обращается в тождество 0 = 0 и выполняется независимо от того, уравновешиваются силы или нет. Таким образом, для плоской системы параллельных сил остается только два уравнения равновесия, причем на ось Оу силы проецируются в натуральную величину, так как эта ось па­раллельна заданным силам.

Система уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил принимает вид

Уравнения равновесия для плоской системы параллельных сил можно записывать в виде

Точки А и В –произвольные точки. предпочтительно их взять на оси х, уравнение =0 служит для проверки правильности вычислений.

Итак, для произвольной плоской системы сил мы имеем три уравнения равновесия, а для плоской системы парал­лельных сил только два уравнения равновесия. Соответ­ственно при решении задач на равновесие произвольной плоской системы сил можно найти три неизвестных, а при рассмотрении равновесия плоской системы парал­лельных сил — не более двух.

Если количество неизвестных превышает число урав­нений статики, задача становится статически неопреде­лимой.

В машинах и сооружениях очень часто встречаются тела удлиненной формы, называемые балками. Они в основном предназначены для восприятия поперечных нагрузок. Балки имеют специальные опорные устройства для сопряжения с другими элементами и передачи на них усилий. Опоры балок, рассматриваемых как плоские системы, быва­ют трех основных типов.

· Подвижная шарнирная опора (рис. 14, а). Такая опора не препятствует вращению конца балки и его перемещению вдоль плоскости качения. В ней может возникать только одна реакция, которая перпендикулярна плоскости качения и прохо­дит через центр катка.

Схематическое изображение подвижной шарнирной опоры дано на рис. 14, б.

Момент силы относительно точки

Рис. 14. Типы опор балок.

Подвижные опоры дают возможность балке беспрепятствен­но изменять свою длину при изменении температуры и тем самым устраняют возможность появления температурных на­пряжений.

· Неподвижная шарнирная опора (рис. 14, в ). Такая опора допускает вращение конца балки, но устраняет поступа­тельное перемещение ее в любом направлении Возникающую в ней реакцию можно разложить на две составляющие — гори­зонтальную и вертикальную

· Жесткая заделка, или защемление (рис. 14. г). Такое закрепление не допускает ни линейных, ни угловых перемещений опорного сечения. В этой опоре может в общем случае возникать реакция, которую обычно раскладывают на две составляющие (вертикальную и горизонтальную) и момент защемления (ре­активный момент).

Балка с одним заделанным концом называется консольной балкой или просто консолью.

Если опорные реакции могут быть найдены из одних уравне­ний статики, то балки называют статически определимыми. Если же число неизвестных опорных реакций больше, чем число уравнений статики, возможных для данной задачи, то балки называют статически неопределимыми.

Определить неизвестные параметры реакций опор А и В для заданной (рис.15 ) конструкции балки, нагруженной параллельными силами и .

Момент силы относительно точки

· Записываем уравнение равновесия балки как сумму моментов всех сил относительно опоры А.

Рис.15. Расчетная схема балки.

· Записываем уравнение равновесия балки как сумму моментов всех сил относительно опоры В.

Откуда RA = = = 475Н.

· Проверка правильности вычислений

Сумма проекций всех сил на ось Y должна равняться нулю.

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Момент силы относительно точки
Главная | О нас | Обратная связь

Момент сил относительно точки и оси

Момент силы относительно точки определяется произведением модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы (рисунок 4).

Момент силы относительно точки

Рисунок 4 – Момент силы F относительно точки О

При закреплении тела в точке О сила F стремится поворачивать его вокруг этой точки. Точка О, относительно которой берется момент, называется центром момента, а длина перпендикуляра а называется плечом силы относительно центра момента.

Момент силы F относительно О определяется произведением силы на плечо.

Момент принято считать положительным, если сила стремится вращать тело по часовой стрелке, а отрицательным — против часовой стрелки. Когда линия действия силы проходит через данную точку, момент силы относительно этой точки равен нулю, так как в рассматриваемом случае плечо а = 0 (рисунок 5).

Момент силы относительно точки

Рисунок 5 – Определение знака момента силы относительно точки

Между моментом пары и моментом силы есть одно существенное различие. Численное значение и направление момента пары сил не зависят от положения этой пары в плоскости. Значение и направление (знак) момента силы зависят от положения точки, относительно которой определяется момент.

Уравнения равновесия плоской системы сил

Условия равновесия сил на плоскости: для равновесия системы сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нулю.

Получим основную форму уравнения равновесия:

Момент силы относительно точки

Теоретически уравнений моментов можно записать бесконечное множество, но практически для решения задач на плоскости достаточно трех уравнений равновесия. В каждом конкретном случае используются уравнения с одним неизвестным.

Для разных случаев используются три группы уравнений рав­новесия:

1. Первая форма уравнений равновесия

Момент силы относительно точки

2. Вторая форма уравнений равновесия

Момент силы относительно точки

3. Третья форма уравнений равновесия

Момент силы относительно точки

Для системы параллельных сил (рисунок 43), можно составить только два уравнения равновесия:

Момент силы относительно точки

Дано: F = 24 кH; q = 6 кН/м; М = 12 кН·м &#&45; = 60°; а = 1,8 м; b = 5,2 м; с = 3,0 м. Определить реакции VA. HA и VВ (рисунок 6).

Момент силы относительно точки

Рисунок 6 – Заданная двухопорная балка

Отбрасываем связи (опоры А и В), заменяем их действие реакциями: неподвижная опора имеет реакции VА (вертикаль­ная) и HА (горизонтальная). Подвижная опора — реакцию VB (вертикальная). Выби­раем систему координат ХУ с началом в левой опоре, определяем равнодействующую распределенной нагрузки:

Q = q·a2 = 6·5,2 = 31,2 кН.

Чертим расчетную схему балки (рисунок 7).

Момент силы относительно точки

Рисунок 7 – Расчётная схема балки

Для полученной произвольной плоской системы сил составляем уравнения рав­новесия:

Решаем систему уравнений.

HA = F·cos60° = 24·0,5 = 12 кН;

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

VA = F·cos30° + Q – VB = 24·0,866 + 31,2 – 27,08 = 24,9 кН.

Для проверки правильности решения составим сумму моментов относительно точки приложения наклонной силы F:

Ответ: опорные реакции балки равны VA = 24,9 кН; VВ = 27,08 кН; НА = 12 кН.

1. Что определяет эффект действия пары сил?

2. Зависит ли эффект действия пары сил от её положения в плоскости?

3.Зависят ли значения и направление момента силы относительно точки от взаимного расположения этой точки и линии действия силы?

4. Когда момент силы относительно точки равен нулю?

5. Сколь независимых уравнений равновесия можно составить для плоской системы параллельных сил?

Техническая механика

Теоретическая механика

Момент силы

Говорят, что когда-то великий Архимед изрек фразу: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю». Современная физика утверждает, что с практической точки зрения, мудрый грек, конечно же, погорячился – даже сдвинуть на доли миллиметра такой массив, как планета с помощью мускульной силы человека – занятие не одного года, а уж перевернуть Землю.
Момент силы относительно точки Тем не менее, с теоретической точки зрения Архимед прав – если найти соответствующую точку опоры, то с помощью рычага Землю сдвинуть с места может даже комар. Дело в том, что здесь играет роль не сила, как таковая, а ее момент.

Что же такое – момент силы? Следует сразу оговориться, что момент силы — понятие относительное, поскольку без указания того, относительно какой точки он рассматривается, понятие момента силы теряет смысл (не путать с моментом пары сил, о котором речь пойдет в следующих статьях ) .

Рассмотрим гайку, которую затягивают гаечным ключом определенной длины, прикладывая к концу ключа мускульное усилие.
Если взять более длинный ключ, то гайку можно завернуть значительно сильнее, прикладывая одинаковое усилие. Из этого следует, что одной и той же силой можно выполнить различное по эффективности вращающее действие на какое-либо тело. В этом и кроется понятие момента силы – это вращающее действие силы относительно какой-либо точки в пространстве.

Понятие момента силы относительно точки ввел гениальный итальянец Леонардо да Винчи (1452-1519). который известен потомкам не только, как великий художник, но и видный ученый своего времени.

Итак, по определению, момент силы относительно точки – это произведение модуля силы на ее плечо .
Плечом в данном случае называется кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до линии действия силы, т. е. перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия силы (см. рисунок b ).
Математически это определение можно представить в виде формулы:

М0 (F) = Fh. где h – плечо силы относительно точки 0 .

Точка, относительно которой рассматривается момент силы, называется центром момента .

Из приведенной выше формулы очевидно, что единицей измерения момента силы является ньютон × метр (Нм ).

Теперь можно оценить справедливость высказывания Архимеда относительно возможности перевернуть Землю — при определенном плече силы, которую способны развить человеческие мускулы, это сделать теоретически возможно, но рука Архимеда должна была описать путь длиной в сотни тысяч километров для того, чтобы сдвинуть земной шар на доли миллиметра, поскольку потребовался бы огромной длины рычаг. Как вы понимаете, практически осуществить подобный подвиг нереально даже для такого уважаемого гения, как Архимед.

Впрочем, бытующее утверждение о трудностях, связанных с перемещением Земли человеческой рукой не совсем безгрешны. Ведь мы, как обыватели, привыкли рассматривать Землю, как весомый предмет, забывая что она, будучи в космическом пространстве, обладает совсем другими весовыми категориями. Поэтому справедливее будет рассматривать не расстояние, на которое мог бы сдвинуть земной шар Архимед, а ускорение, с которым он попытался бы сдвинуть планету со своего места, т. е. фактически — побороть силу инерции Земли, как тела.
И тогда ему не потребовался бы рычаг непомерной длины — прикладывая незначительную силу, сдвинуть Землю можно было бы и двухметровой палкой, но здесь уже возник бы вопрос о времени, в течении которого необходимо было давить на рычаг, чтобы побороть инертность земного шара (как вы понимаете, мускульная сила человека не способна придать планете существенного ускорения).
Опять же, возникает еще одна проблема — Архимеду потребовался бы надежный упор для ног, способный противостоять возмущению Земли на нахальную попытку Архимеда сдвинуть ее с места, а где его найти в открытом космосе.

Осталось разобраться со знаками для момента силы, ведь он, как и сила, является векторной величиной, т. е. характеризуется не только модулем, но и направлением своего вращающего действия.
Момент силы относительно точки При расчетах в технической механике условно считают, что если момент силы стремиться вращать свое плечо вокруг центра момента против часовой стрелки, то он является положительным, если по часовой стрелке — отрицательным (см. рисунок a ).

Одна и та же сила относительно разных точек может вызывать и положительный, и отрицательный момент (см. рисунок a ).

Отдельный случай, когда рассматриваемая точка (центр момента) лежит на линии действия силы. Очевидно, что в этом случае момент силы относительно этой точки будет равен нулю, поскольку плечо отсутствует (расстояние от линии действия силы до точки равно нулю) .

И еще одна важная деталь, которая следует из определения момента силы относительно точки: если переносить силу вдоль линии ее действия, то момент силы относительно любой точки не изменится, поскольку не изменится и расстояние от этой точки до линии действия силы, т. е. плечо (см. рисунок с ) .

1.7. Моменты силы относительно точки и оси

Сила может не только перемещать тело поступательно, но и оказывать на него вращательное действие, которое зависит не только от величины силы, но и от расстояния до центра поворота.

Например, для того, чтобы повернуть тело с помощью рычага (рис.1.19), наименьшую по модулю силу нужно приложить к концу рычага, чем ближе к центру, тем величина силы должна быть больше, если же сила будет проходить через точку О, то повернуть тело будет невозможно, какой большой бы она не была.

Момент силы относительно точки

Для характеристики вращательного действия силы вводится понятие момента силы относительно точки.

Моментом силы относительно точки называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на кратчайшее расстояние между точкой и линией действия силы (плечо):

Момент силы относительно точки

Знак момента определяется следующим образом: если сила стремится повернуть тело вокруг данной точки против часовой стрелки, то он считается положительным (рис.1.20), в противном случае — отрицательным.

Момент силы относительно точки равен нулю только в том случае, если линия действия силы проходит через данную точку. Единицы измерения момента [HM] и в соответствующих кратных единицах.

Момент силы относительно оси характеризует вращательное действие силы относительно оси. Если силу Момент силы относительно точкиразложить на составляющиеМомент силы относительно точкииМомент силы относительно точки, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна оси Z (рис.1.21), то увидим, что силаМомент силы относительно точкине способна повернуть тело вокруг оси, а вращательное действие силыМомент силы относительно точкиопределится ее моментом относительно точки О.

Момент силы относительно точки

Следовательно, для определения момента силы относительно оси нужно силу спроектировать на плоскость, перпендикулярную оси и найти момент проекции относительно точки пересечения оси с этой плоскостью:

Знак момента определяется следующим образом: момент считается положительным, если, глядя с положительного конца оси поворот тела будет виден против часовой стрелки. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси или пересекает ее.

При определении момента силы относительно точки часто бывает затруднительно определить плечо силы. В этом случае можно воспользоваться теоремой Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Аналогичная теорема применима и для определения момента силы относительно оси.

Пример: найти момент силы F = 10 H относительно точки А, если АВ=0,2 м, ВС=0,5 м (рис.1.22). Разложим силу F на две составляющих Fx =Fcos(30), Fy =Fsin(30). Тогда

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Плоскость, в которой лежат силы пары называется плоскостью действия пары, а кратчайшее расстояние между силами пары называется плечом пары. Сумма сил пары равна нулю, поэтому пара сил не имеет равнодействующей, однако она оказывает на тело вращательное действие, характеризуемое ее моментом.

Моментом пары называется алгебраическая величина, модуль которой равен произведению одной из сил на плечо пары:

Момент пары считается положительным, если пара стремится повернуть тело против часовой стрелки и отрицательный, если пара стремится повернуть тело по часовой стрелке.

Эффект действия пары на твердое тело не зависит от ее положения в плоскости, поэтому ее можно переносить в плоскости действия в любое положение. Кроме того, не изменяя действия пары на тело, ее можно заменить другой парой с равным моментом. Поэтому часто пары изображают в виде круговой стрелки и называют пару сосредоточенным моментом (рис.1.24).

Момент силы относительно точки

Поскольку действие пары определяется ее моментом, то если на

тело действует несколько пар, лежащих в одной плоскости, то их можно заменить одной парой с моментом, равным сумме моментов слагаемых пар: М=Mk. Отсюда следует условие равновесия системы пар, лежащих в одной плоскости: для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма их моментов была равна нулю.

Отметим еще одно важное свойство пары сил: сумма моментов сил пары относительно любой точки равна моменту пары. Возьмем пару сил F1 и F2 и произвольную точку А (рис.1.25).

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки.

Момент силы относительно точки характеризует стремление силы повернуть тело относительно этой точки.

Алгебраический момент силы относительно точки – взятое с соответствующим знаком произведение модуля силы на плечо силы.

Момент силы относительно точки, гдеF – модуль силы,

Момент силы относительно точкиМомент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Векторный момент силы относительно точки.

Момент силы относительно точки

1Момент силы относительно точки)Момент силы относительно точки— приложен в точке О;

2) Момент силы относительно точки— перпендикулярен плоскости треугольника ОАВ;

3) С конца вектора Момент силы относительно точкинаблюдается стремление силы повернуть тело вокруг точки О против хода часовой стрелки.

Момент силы относительно оси.

Момент силы относительно оси характеризует стремление тела повернуться вокруг данной оси.

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Порядок определения момента силы относительно оси.

1. Провести плоскость, перпендикулярную оси.

2. Спроецировать силу на эту плоскость.

3. Определить алгебраический момент проекций силы относительно точки пересечения оси и плоскости.

В случае равенства нулю момента силы относительно оси:

Момент силы относительно точки

1) (Момент силы относительно точки). Ось и сила параллельны.

Момент силы относительно точки

2) (h = 0). Линия действия силы пересекается с осью.

Связь между моментами силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку.

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Проекция векторного момента силы относительно точки на ось, проходящей через эту точку равна моменту силы относительно этой оси.

Пара сил – совокупность двух равных по величине параллельных сил, направленных в противоположные стороны.

= Пара сил не имеет равнодействующей.

= Пару сил можно заменить только парой сил.

Действие пары сил на тело определяется следующими параметрами:

1) плоскость действия пары,

2) направление вращения пары,

3) моментом пары.

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки= — Момент силы относительно точки

Алгебраический момент пары сил.

Алгебраический момент пары сил – взятое с противоположным знаком произведение модуля силы пары на плечо пары.

Обозначается: m илиm (Момент силы относительно точки,Момент силы относительно точки).

Момент силы относительно точки, гдеF1 ,F2 – модули сил пары,

Момент силы относительно точки

Теорема о сумме моментов сил пары относительно точки.

Момент силы относительно точки

Алгебраическая сумма моментов сил пары относительно любой точки, лежащей в плоскости действия пары, равна алгебраическому моменту пары сил.

Теорема об эквивалентных парах.

Эквивалентные пары – две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие равные алгебраические моменты.

Момент силы относительно точки

1. Пару сил можно как угодно перемещать и поворачивать в плоскости действия пары.

2. У пары сил можно изменять плечо и силы пары, но так, чтобы алгебраический момент пары оставался неизменным.

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точкиМомент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Теорема о параллельном переносе пары.

ДМомент силы относительно точкиействие пары сил на тело не изменится, если пару сил перенести в плоскость, параллельную плоскости действия пары.

Плоскость I ׀׀Плоскости II

Векторный момент пары сил.

1Момент силы относительно точки) ВекторМомент силы относительно точкиперпендикулярен плоскости действия пары.

2) С конца вектора Момент силы относительно точкинаблюдается стремление пары повернуть тела против хода часовой стрелки.

Векторный момент пары – есть вектор свободный.

Момент силы относительно точки

Теорема о сложении двух пар, лежащих в пересекающихся плоскостях.

Момент силы относительно точкииМомент силы относительно точки— векторные моменты пар

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях эквивалентны одной паре, векторный момент которой равен геометрической сумме векторных моментов слагаемых пар.

Сложение пар сил как угодно расположенных в пространстве.

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки,Момент силы относительно точки. Момент силы относительно точки— векторные моменты пар сил.

Момент силы относительно точки(1) –векторный момент эквивалентной пары сил .

Спроецировав (1) на оси координат, получим:

Момент силы относительно точки

— проекции векторного момента эквивалентной пары на оси координат.

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Условие равновесия тела под действием системы пар.

Спроецировав (2) на оси координат, получим:

Момент силы относительно точки

Произвольная пространственная система сил.

Произвольная пространственная система сил – линия действия сил как угодно расположенных в пространстве.

Теорема о параллельном переносе силы.

Сила, приложенная к какой либо точке твердого тела эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела и паре сил, векторный момент которой равен векторному моменту силы, приложенному к начальной точке относительно новой точки приложения силы.

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Приведение произвольной пространственной системы сил к заданному центру.

Цель приведения . замена данной системы сил другой, ей эквивалентной, но более простой.

Момент силы относительно точки

Дано: (Момент силы относительно точки,Момент силы относительно точки,…,Момент силы относительно точки) – произвольная пространственная система сил

Точка О – центр приведения.

Момент силы относительно точки=Момент силы относительно точкиМомент силы относительно точки

Момент силы относительно точки=Момент силы относительно точкиМомент силы относительно точки

Момент силы относительно точки=Момент силы относительно точкиМомент силы относительно точки

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точкиглавный вектор системы сил — геометрическая сумма сил системы.

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точкиглавный момент системы сил относительно центра приведения – геометрическая сумма векторных моментов системы сил относительно центра приведения.

Произвольная пространственная система сил эквивалентна одной силе, приложенной в центре приведения (главному вектору Момент силы относительно точки) и паре сил, векторный момент которой называется главным моментом системы сил относительно центра приведения.

(Момент силы относительно точки,Момент силы относительно точки,…,Момент силы относительно точки)

(Момент силы относительно точки,Момент силы относительно точки)

Момент силы относительно точки

! Главный вектор системы сил не зависит от центра приведения, а главный момент системы сил зависит от центра приведения.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *