Первый замечательный предел и его следствия

Первый замечательный предел и следствия из него

g (первый замечательный предел).

4Предварительно докажем следующее неравенство:

. (4.3)
Из рис. 4.1 видно, что при выполнено неравенство:

. (4.4)
Обозначая через x радианную меру угла ÐАОВ. из неравенства (4.4) получим

Далее, после сокращения на мы приходим к неравенству (4.3).

Разделив на каждый из членов неравенства (4.3), получим:
. Следовательно .

Но (в силу неравенства 4.3).

Таким образом, . Из последнего неравенства следует, что
. (4.5)
В силу нечетности функции . неравенство (4.5) не изменится при изменении знака x. то есть оно выполнено при всех x ¹ 0, .

Неравенство (4.5) позволяет доказать, что . Действительно, для любого положительного числа e > 0 в качестве d выберем . Тогда при любом x ¹0: (а, следовательно, ) будет выполнено неравенство (4.5): .3

Следствия из первого замечательного предела .

Следствие 3 доказывается аналогично следствию 2.

Пример 4.7. Найти предел

Для раскрытия неопределенности вида воспользуемся первым замечательным пределом и следствием 3. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x ¹ 0:

Задача 4.8. Найти предел

Решение. Мы имеем дело с неопределенностью вида . Произведем

замену переменной: . тогда и .

Сравнение бесконечно малых величин.

2 Бесконечно малая величина называется бесконечно малой величиной более высокого порядка по сравнению с бесконечно малой величиной . если . В этом случае пишут .

2 Две бесконечно малые величины и называются бесконечно малыми величинами одного порядка, если . В данном случае пишут . или .

2 Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными бесконечно малыми величинами, если .

Первый замечательный предел и его следствия дают нам примеры эквивалентных бесконечно малых величин при :

При решении некоторых задач бесконечно малые величины можно заменять эквивалентными.

Пример 4.9. Найти предел

Мы имеем дело с неопределенностью вида . Заменим бесконечно малую величину на эквивалентную бесконечно малую величину . бесконечно малую величину на эквивалентную бесконечно малую величину . и бесконечно малую величину на эквивалентную бесконечно малую величину . Получим:

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Первый замечательный предел

13 Эквивалентные функции. Теорема о вычислении пределов для эквивалентных функций.

Определение :
Если Первый замечательный предел и его следствия в которой определены Первый замечательный предел и его следствия и Первый замечательный предел и его следствия ,
причём Первый замечательный предел и его следствия и Первый замечательный предел и его следствия – эквивалентные при Первый замечательный предел и его следствия и пишут Первый замечательный предел и его следствия
Первый замечательный предел и его следствия
Понятие эквивалентные обычно используют, когда f и g – бесконечно малые илибесконечно большие при Первый замечательный предел и его следствия

Критерий:
Для того, чтобы две бесконечно малые Первый замечательный предел и его следствия и Первый замечательный предел и его следствия были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было Первый замечательный предел и его следствия
Положив Первый замечательный предел и его следствия. будем иметь Первый замечательный предел и его следствия
Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если Первый замечательный предел и его следствия. то Первый замечательный предел и его следствия. то есть Первый замечательный предел и его следствия есть бесконечно малая высшего порядка, чем Первый замечательный предел и его следствия и Первый замечательный предел и его следствия. Обратно, если дано, что Первый замечательный предел и его следствия. то Первый замечательный предел и его следствия. а тогда Первый замечательный предел и его следствия .
С помощью этого критерия, например, видно, что при Первый замечательный предел и его следствия бесконечно малая Первый замечательный предел и его следствия эквивалентна Первый замечательный предел и его следствия. а Первый замечательный предел и его следствия .
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределённости Первый замечательный предел и его следствия. Т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых Первый замечательный предел и его следствия. Каждая из них при этом може
т быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой

14 Непрерывность функции в точке. Различные определения непрерывной функции.

Основные понятия и определения

Функция Первый замечательный предел и его следствия называется непрерывной в точке Первый замечательный предел и его следствия. если:

1. функция Первый замечательный предел и его следствия определена в точке Первый замечательный предел и его следствия и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции Первый замечательный предел и его следствия в точке Первый замечательный предел и его следствия ;

3. это предел равен значению функции в точке Первый замечательный предел и его следствия. т.е. Первый замечательный предел и его следствия

При нахождении предела функции Первый замечательный предел и его следствия. которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Первый замечательный предел и его следствия

Задание. Вычислить предел Первый замечательный предел и его следствия

Если функции Первый замечательный предел и его следствия и Первый замечательный предел и его следствия непрерывны в точке Первый замечательный предел и его следствия. то функции Первый замечательный предел и его следствия. Первый замечательный предел и его следствия. Первый замечательный предел и его следствия также непрерывны в точке Первый замечательный предел и его следствия.

Пусть функция Первый замечательный предел и его следствия непрерывна в точке Первый замечательный предел и его следствия. а функция Первый замечательный предел и его следствия непрерывна в точке Первый замечательный предел и его следствия. Тогда композиция функций Первый замечательный предел и его следствия непрерывна в точке Первый замечательный предел и его следствия .

Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

15 Локальные свойства непрерывных функций.

Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения.

1 Теорема – если y=f(x) непрерывна в точкеx0 ,то она обязательно ограничена в какой т окрестности этой точки.

2 Теорема – если y=f(x)непрерывна в точке x0и y(x0) ≠0,то некоторой окрестност этой точки x0все значения ф-ии либо + либо -.

3. Теорема – f(x) + g(x) –если эти 2 функции непрерывны в точке x0,значит в этой точке непрерывна их сумма(разность, произведение и т.д)

4 Теорема – если -U=U(x) имеет предел в точке x0 равный A, то ф-ия y=f(U(x))непрерывна. Lim =

5 Теорема (непрерывность сложной ф-ии) – если U=U(x)непрерывна в точке x0,а y=f(U)непрерывна в точке U0,тогда тогда сложная ф-ия y=f(U(x))также будет непрерывна в точке x0.

16 Точки разрыва функции и их классификация.

Определение точки разрыва

Точка Первый замечательный предел и его следствия. в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция Первый замечательный предел и его следствия определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции Первый замечательный предел и его следствия в точке Первый замечательный предел и его следствия ;

3. это предел равен значению функции в точке Первый замечательный предел и его следствия. т.е. Первый замечательный предел и его следствия

называется точкой разрыва функции .

Функция Первый замечательный предел и его следствия не определена в точке Первый замечательный предел и его следствия. а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.

Первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел.

Вывод первого замечательного предела представляет интерес с точки зрения приложения теории пределов, и поэтому мы предлагаем Вам его практически целиком.

Рассмотрим поведение функции Первый замечательный предел и его следствияпри Первый замечательный предел и его следствия. Для этого рассмотрим окружность радиуса 1; обозначим центральный угол МОВ черезх. при этом Первый замечательный предел и его следствия.

Тогда явно площадь DМОА < площадь сектора МОА < площадьDСОА (см. рис. 1).

S dмоа = s моа==sdcоа=

Вернувшись к упомянутому неравенству и удвоив его, получим:

осле почленного деления наsinx. Первый замечательный предел и его следствияили Первый замечательный предел и его следствия

Поскольку Первый замечательный предел и его следствия, то переменная Первый замечательный предел и его следствиязаключена между двумя величинами, имеющими один и тот же предел, т.е. на основании теоремы о пределе промежуточной функции предыдущего пункта имеем:

Первый замечательный предел и его следствияпервый замечательный предел.

Пример. Вычислите пределы функций, используя первый замечательный предел:

Разложим Первый замечательный предел и его следствиякак отношение Первый замечательный предел и его следствияи объединим множители по вышеуказанной схеме:

Первый замечательный предел и его следствия

Применяя формулу Первый замечательный предел и его следствия, произведем подстановку и получим:

Первый замечательный предел и его следствия

Разделим числитель и знаменатель дроби на х. затем выровняем сложные аргументы, компенсируя преобразование добавочным коэффициентом Первый замечательный предел и его следствияи получим:

Первый замечательный предел и его следствия

Ответ. 1) 1, 2) 0, 3) Первый замечательный предел и его следствия

Задание: Вычислите предел функции, используя первый замечательный предел:

Первый замечательный предел и его следствия

Второй замечательный предел.

Для вывода второго замечательного предела введем определение числа е :

Определение.Предел переменной величины Первый замечательный предел и его следствияпри Первый замечательный предел и его следствияназывается числоме:

— Второй замечательный предел

Число е – иррациональное число. Его значение с десятью верными знаками после запятой обычно округляют до одного верного знака после запятой:

Теорема. Функция Первый замечательный предел и его следствияприх, стремящемся к бесконечности, стремится к пределуе:

Первый замечательный предел и его следствия

Пример. Вычислите пределы функций:

огласно свойствам пределов, предел степени равен степени предела, т. е.:

Первый замечательный предел и его следствия

Введем новую переменную с целью свести предел ко второму замечательному пределу: Первый замечательный предел и его следствия, отсюда Первый замечательный предел и его следствия. При Первый замечательный предел и его следствияимеем Первый замечательный предел и его следствия, т. е. Первый замечательный предел и его следствия.

Первый замечательный предел и его следствия

Кроме того, аналогичным образом можно доказать, что Первый замечательный предел и его следствия

Разложив числитель данной дроби на слагаемые, добьемся выделения 1, а затем примем Первый замечательный предел и его следствияи используем упомянутое выше утверждение:

Первый замечательный предел и его следствия

Первый замечательный предел и его следствия

Задание. Вычислите предел функции, используя второй замечательный предел:

Первый замечательный предел и его следствия

Непрерывность функции Непрерывность функции в точке

Первый замечательный предел и его следствия.

Согласно данному определению, непрерывность функции f(x) в точкехо означает выполнимость следующих условий:

предел функции f(x) в точкехо должен совпадать со значением функции в этой точке.

Функция f(x) =x2 определена на всей числовой прямой и непрерывна в точкех = 1 посколькуf( 1) = 1 и Первый замечательный предел и его следствия

Непрерывность функции на множестве

Определение.Функцияf(x),называется непрерывной на интервале(a; b),если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Если функция непрерывна в некоторой точке, то эта точка называется точкой непрерывности данной функции. В тех случаях, когда предел функции в данной точке не существует или его значение не совпадает со значением функции в данной точке, то функция называется разрывной в этой точке, а сама точка – точкой разрыва функции f(x).

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке.

2) Произведение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке.

3) Отношение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке, если значение функции, стоящей в знаменателе, отлично от нуля в точкеа.

Функция f(x) =xп. гдеnÎN. непрерывна на всей числовой прямой. Доказать этот факт можно, используя свойство 2 и непрерывность функцииf(x) =x.

Функция f(x) = сxп (с – константа) непрерывна на всей числовой прямой, исходя из свойства 2 и примера 1.

еорема 1.Многочлен есть функция, непрерывная на всей числовой прямой.

Теорема 2. Любая дробно-рациональная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Функция Первый замечательный предел и его следствиянепрерывна на всей числовой прямой, кроме точки Первый замечательный предел и его следствия, в которой знаменатель дроби обращается в нуль.

ункция Первый замечательный предел и его следствиянепрерывна всюду наR . т.к. знаменатель нигде не обращается в нуль.

ОпределениеФункцияf(x)называется непрерывной в точкех = а, если в этой точке ее приращение Первый замечательный предел и его следствиястремится к нулю, когда приращение аргумента Первый замечательный предел и его следствиястремится к нулю, или иначе: функцияf(х)называется непрерывной в точкех = а. если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. если Первый замечательный предел и его следствия

Первый и второй замечательный предел

Найти замечательные пределы трудно не только многим студентам первого, второго курса обучения которые изучают теорию пределов, но и некоторым преподавателям.

Формула первого замечательного предела

Следствия первого замечательного предела запишем формулами
1. 2. 3. 4. Но сами по себе общие формулы замечательных пределов никому на экзамене или тесте не помогают. Суть в том что реальные задания построены так что к записанным выше формулам нужно еще прийти. И большинство студентов, которые пропускают пары, заочно изучают этот курс или имеют преподавателей, которые сами не всегда понимают о чем объясняют, не могут вычислить самых элементарных примеров на замечательные пределы. Из формул первого замечательного предела видим, что с их помощью можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль для выражений с тригонометрическими функциями. Рассмотрим сначала ряд примеров на первый замечательный пределу, а потом изучим второй замечательный предел.

Пример 1. Найти предел функции sin(7*x)/(5*x)
Решение: Как видите функция под пределом близка к первому замечательному пределу, но сам предел функции точно не равен единице. В такого рода заданиях на пределы следует в знаменателе выделить переменную с таким же коэффициентом, который содержится при переменной под синусом. В данном случае следует разделить и умножить на 7

Некоторым такая детализация покажется лишней, но большинству студентов которым трудно даются пределы поможет лучше понять правила и усвоить теоретический материал.
Также, если есть обратный вид функции — это также первый замечательный предел. А все потому, что замечательный предел равен единице

Это же правило касается и следствий 1 замечательного предела. Поэтому если Вас спросят «Чему равен первый замечательный предел?» Вы без колебаний должны ответить, что это — единица.

Пример 2. Найти предел функции sin(6x)/tan(11x)
Решение: Для понимания конечного результата распишем функцию в виде

Чтобы применить правила замечательного предела умножим и разделим на множители

Далее предел произведения функций распишем через произведение пределов

Без сложных формул мы нашли предел часки тригонометрических функций. Для усвоения простых формул попробуйте придумать и найти предел на 2 и 4 формулу следствия 1 замечательного предела. Мы рассмотрим более сложные задачи.

Пример 3. Вычислить предел (1-cos(x))/x^2
Решение: При проверке подстановкой получим неопределенность 0/0. Многим неизвестно, как свести такой пример до 1 замечательного предела. Здесь следует использовать тригонометрическую формулу

При этом предел преобразится к понятному виду

Нам удалось свести функцию к квадрату замечательного предела.

Пример 4. Найти предел
Решение: При подстановке получим знакомую особенность 0/0. Однако переменная стремится к Pi. а не к нулю. Поэтому для применения первого замечательного предела выполним такую замену переменной х. чтобы новая переменная направлялась к нулю. Для этого знаменатель обозначим за новую переменную Pi-x=y

Таким образом использовав тригонометрическую формулу, которая приведена в предыдущем задании, пример сведен к 1 замечательному пределу.

Пример 5. Вычислить предел
Решение: Сначала неясно как упростить пределы. Но раз есть пример, значит должен быть и ответ. То что переменная направляется к единице дает при подстановке особенность вида ноль умножить на бесконечность, поэтому тангенс нужно заменить по формуле

После этого получим нужную неопределенность 0/0. Далее выполняем замену переменных в пределе, и используем периодичность котангенса

Последние замены позволяют использовать следствие 1 замечательного предела.

Второй замечательный предел равен экспоненте

Это классика к которой в реальных задачах на пределы не всегда легко прийти.
В вычислениях Вам понадобятся пределы — следствия второго замечательного предела:
1. 2. 3. 4.
Благодаря второму замечательному пределу и его последствиям можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль, единица в степени бесконечность, и бесконечность разделить на бесконечность, да еще и в таком же степени

Начнем для ознакомления с простых примеров.

Пример 6. Найти предел функции
Решение: Напрямую применить 2 замечательный пределу не получится. Сначала следует превратить показатель, чтобы он имел вид обратный к слагаемому в скобках

Это и есть техника сведения к 2 замечательному пределу и по сути — вывода 2 формулы следствия предела.

Пример 7. Найти предел функции
Решение: Имеем задания на 3 формулу следствия 2 замечательного предела. Подстановка нуля дает особенность вида 0/0. Для возведения предела под правило превратим знаменатель, чтоб при переменной был тот же коэффициент что и в логарифм

Это также легко понять и выполнить на экзамене. Трудности у студентов при исчислении пределов начинаются с следующих задач.

Пример 8. Вычислить предел функции [(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Решение: Имеем особенность типа 1 в степени бесконечность. Если не верите, можете везде вместо «икс» подставить бесконечность и убедиться в этом. Для возведения под правило поделим в скобках числитель на знаменатель, для этого предварительно выполним манипуляции

Подставим выражение в предел и превратим к 2 замечательному пределу

Предел равен экспоненте в 10 степени. Константы, которые являются слагаемыми при переменной как в скобках так и степени никакой «погоды» не вносят — об этом следует помнить. А если Вас спросят преподаватели — «Почему не превращаете показатель?» (Для этого примера в x-3 ), то скажите что «Когда переменная стремится к бесконечности то к ней хоть добавляй 100 хоть отнимай 1000, а предел останется такой как и был!».
Есть и второй способ вычислять пределы такого типа. О нем расскажем в следующем задании.

Пример 9. Найти предел
Решение: Теперь вынесем переменную в числителе и знаменателе и превратим оду особенность на другую. Для получения конечного значения используем формулу следствия 2 замечательного предела

Пример 10. Найти предел функции
Решение: Заданный предел найти под силу не каждому. Для возведения под 2 предел представим, что sin (3x) это переменная, а нужно превратить показатель

Далее показатель запишем как степень в степени

В скобках описаны промежуточные рассуждения. В результате использования первого и второго замечательного предела получили экспоненту в кубе.

Пример 11. Вычислить предел функции sin(2*x)/ln(3*x+1)
Решение: Имеем неопределенность вида 0/0. Кроме этого видим, что функцию следует превращать к использованию обеих замечательных пределов. Выполним предыдущие математические преобразования

Далее без труда предел примет значение

Вот так свободно Вы будете чувствовать себя на контрольных работах, тестах, модулях если научитесь быстро расписывать функции и сводить под первый или второй замечательный предел. Если заучить приведенные методики нахождения пределов Вам трудно, то всегда можете заказать контрольную работу на пределы у нас.
Для этого заполните форму, укажите данные и вложите файл с примерами. Мы помогли многим студентам — сможем помочь и Вам!

Теория вероятностей

Особенность данных пределов заключается в том, что нам с вами их не нужно считать, они уже давно посчитаны до нас. Нам только нужно их опознать и подставить в нужное место уже известный результат. Замечательные пределы значительно упрощают жизнь студента, не зря ведь они названы замечательными.
Первый замечательный предел.
Первым замечательным пределом называется предел вида

Первый замечательный предел и его следствия

Предположим, что мы не знаем чему он равен и попытаемся посчитать его в лоб. Подставляем Первый замечательный предел и его следствия в числитель, Первый замечательный предел и его следствия, получаем неопределенность Первый замечательный предел и его следствия. Загвоздка. Поэтому лучше всего раз и навсегда запомнить, чему он равен.
И еще следует добавить, что вместо Первый замечательный предел и его следствия в пределе может стоять любое выражение, главное чтобы оно стремилось к 0.

Из первого замечательного предела можно сделать пару следствий
Следствия первого замечательного предела

Первый замечательный предел и его следствия

Первый замечательный предел и его следствия

Пример 1. Вычислить предел

Первый замечательный предел и его следствия

Решение:
Для начала подставляем в функцию Первый замечательный предел и его следствия, получаем неопределенность Первый замечательный предел и его следствия
Это предел вида

Первый замечательный предел и его следствия

Только не хватает Первый замечательный предел и его следствия в знаменателе, но его очень просто добавить

Первый замечательный предел и его следствия

Пример 2. Вычислить предел

Первый замечательный предел и его следствия

Решение:
Сделаем замену переменной Первый замечательный предел и его следствия, тогда Первый замечательный предел и его следствия

Первый замечательный предел и его следствия

Следовательно, при Первый замечательный предел и его следствия выполняется Первый замечательный предел и его следствия
После замены переменной предел примет вид

Первый замечательный предел и его следствия

Получили первый замечательный предел в чистом виде, а значит

Первый замечательный предел и его следствия

Пример 3. Вычислить предел

Первый замечательный предел и его следствия

Первый замечательный предел и его следствия

Наличие тригонометрической функции, пусть даже это не синус, в числителе и Первый замечательный предел и его следствия-а в знаменателе говорят о том, что эту функцию можно попробовать привести к первому замечательному пределу.
Вспомним про тригонометрическую формулу (если забыли тригонометрические формулы, смотрите здесь )

Первый замечательный предел и его следствия

Приведем числитель к этой формуле, умножив и разделив всю дробь на Первый замечательный предел и его следствия

Первый замечательный предел и его следствия

Теперь можем свернуть числитель

Первый замечательный предел и его следствия

Теперь несложно увидеть здесь первый замечательный предел, который смело приравниваем к единице

Первый замечательный предел и его следствия

Пример 4. Вычислить предел

Первый замечательный предел и его следствия

Решение:
Пока неопределенности Первый замечательный предел и его следствия мы не наблюдаем, но она легко появляется, если записать функцию в немного другом виде

Первый замечательный предел и его следствия

Делаем первый замечательный предел

Первый замечательный предел и его следствия

Вот так незамысловато решаются пределы с неопределенностью Первый замечательный предел и его следствия и тригонометрическими функциями.

Второй замечательный предел.
Второй замечательный предел призван помогать избавляться от неопределенности вида Первый замечательный предел и его следствия и выглядит он так

Первый замечательный предел и его следствия

Вместо Первый замечательный предел и его следствия может стоять целая функция, главное, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример 5. Вычислить предел

Первый замечательный предел и его следствия

Решение:
Подставляем бесконечность, получаем Первый замечательный предел и его следствия
А нам, как мы помним, нужна бесконечность Первый замечательный предел и его следствия. Но не будем торопиться отказываться от применения второго замечательного предела раньше времени. Для начала преобразуем нашу функцию. Чтобы понять как это сделать, нужно вспомнить к чему ее нужно привести, второй замечательный предел имеет вид

Первый замечательный предел и его следствия

Т.е. нам в скобке нужно получить единицу плюс дробь. Приступаем

Первый замечательный предел и его следствия

Получили, но дробь у нас пока не такого вида, как нужно нам. Нам надо, чтобы в числителе стояла единица. Добьемся этого, сделав эту дробь трехэтажной

Первый замечательный предел и его следствия

Ну вот, уже близко. Не хватает только степени, она должна быть такая же, как и знаменатель у дроби. Ее легко получить, умножив и поделив стоящий сейчас в степени Первый замечательный предел и его следствия на Первый замечательный предел и его следствия

Первый замечательный предел и его следствия

Теперь вычленяем из этого выражения второй замечательный предел и вместо него пишем e

Первый замечательный предел и его следствия

Знак предела можно перенести к степени, так как только она у нас зависит от Первый замечательный предел и его следствия

Первый замечательный предел и его следствия

В степени у нас появилась неопределенность Первый замечательный предел и его следствия, в теме Предел функции мы уже рассматривали как от нее избавляться. Поделим и числитель и знаменатель на Первый замечательный предел и его следствия в старшей степени

Первый замечательный предел и его следствия

Пример 6. Вычислить предел

Первый замечательный предел и его следствия

Решение:
Подставляем бесконечность в функцию, получаем неопределенность Первый замечательный предел и его следствия
Снова не то, что нужно, но преобразования еще никто не отменял.
Для начала разложим числитель и знаменатель на множители (если вы не помните как это делается, повторите школьную тему Дискриминант).

Первый замечательный предел и его следствия

Сокращаем скобки в числителе и знаменателе

Первый замечательный предел и его следствия

Теперь нам нужно привести выражение в скобке к виду Первый замечательный предел и его следствия. Делаем это так же, как и в предыдущем примере

Первый замечательный предел и его следствия

В скобке получили нужное, теперь приводим степень

Первый замечательный предел и его следствия





Внимание, только СЕГОДНЯ!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *