Свойства бесконечно малых функций

Свойства бесконечно малых функций

Свойство 1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть бесконечно малые функции при .

По определению для этих бесконечно малых функций запишем:

Если принять . то имеет место неравенство:

т. е. сумма бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

Свойство 2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию является бесконечно малой функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a(х ) бесконечно малая функция, т. е. . а функция f (x ) в окрестности точки ограничена, т. е. . где . Так как — бесконечно малая функция, то как бы мало ни было число e, в том числе и равное . существует такая d-окрестность . что .

Следствие 1. Произведение бесконечно малой функции на постоянную величину С является бесконечно малой функцией, т. е. .

Следствие 2. Произведение бесконечно малых функций и является бесконечно малой функцией.

Свойство 3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию . предел которой отличен от нуля ( ) является бесконечно малой функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a(x ) бесконечно малая функция, т. е.

и . Докажем, что .

Так как . то существует такая d-окрестность . что . а следовательно . Это значит, что в d-окрестности точки функция ограничена. По свойству 2 произведение бесконечно малой a(x ) на ограниченную функцию является бесконечно малой, т. е. .

188.123.231.15 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Бесконечно малые функции

Свойства бесконечно малых функций

Все сказанное о бесконечно малых функциях при xx0 справедливо и для бесконечно малых функций при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, xx0 – 0, xx0 + 0.

Бесконечно большие функции

Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x0 (или xx0 ), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K ) > 0, такое, что для всех х. удовлетворяющих условию 0 < | xх0 | < δ. выполняется неравенство | f (x ) | > К .
В этом случае пишут и говорят, что функция стремится к бесконечности при хх0. или что она имеет бесконечный предел в точке х = х0. Если же в определении выполняется неравенство f (x ) > K (f (x ) < – K ). то пишут или и говорят, что функция имеет в точке х0 бесконечный предел, равный + ∞ (– ∞).
По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и бесконечные односторонние пределы: , , , . Так, например, пишут если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K ) > 0, такое, что для всех х. удовлетворяющих условию х0 < x < х0 + δ. выполняется неравенство f (x ) > К. Или в символической записи ( K > 0) ( δ = δ(K)9gt; 0)( x0 < х < x0 +δ ). f (x ) > K.
Предлагается самостоятельно сформулировать определение бесконечно большой функции при x → + ∞, x → – ∞.

Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями

Если f (x ) — бесконечно большая функция, то есть бесконечно малая функция в этой же точке.
В самом деле, пусть , это означает, что ( K > 0) ( δ = δ(K )> 0) ( 0 < | x — x0 | < δ ). | f (x ) | > K. Так как |f (x )| > K. то .
Будем считать, что , тогда ( ε > 0) ( δ = δ(9epsilon;)9gt; 0) ( 0 < | x — x0 | < δ ). 1/| f (x )| <9epsilon;. Это означает, что .

Свойства бесконечно больших функций в точке

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть α(x ) и β(x ) две бесконечно малые функции при xx0 и β(x ) отлична от нуля в некоторой окрестности точки х0 (за исключением, быть может, самой точки х0 ). Если = 0, то α(x ) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x ). В этом случае пишут α(x ) = o (β(x )) и говорят α(x ) есть о − малое от β(x ).
Если = А ≠ 0 ( A — число), то бесконечно малые α(x ) и β(x ) имеют одинаковый поряок малости. В этом случае пишут α(x ) = O (β(x )), (α(x ) есть O — большое от β(x ).
Если = ∞, то α(x ) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β(x ).
Если = 1, то α(x ) и β(x ) называется эквивалентными бесконечно малыми, α(x )

β(x ).
В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило: если , то α(x) является бесконечно малой n -го порядка относительно β(x ).
Теорема. Для того, чтобы две функции f = f (x ) и g = g (x ), f (x ) ≠ 0, g (x ) ≠ 0, были эквивалентными при хх0. необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий f — g = o (f ) или f — g = o (g). Доказательство необходимости. Пусть , тогда , откуда , то есть g − f = o (g). Аналогично из условия доказывается g − f = o (f )
Доказательство достаточности провести самостоятельно.

Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела

Под знаком предела числитель или знаменатель можно заменить на эквивалентные.
Доказательство. Пусть в точке х = х0 имеем f (x )

α(x ). В этом случае , что и требовалось доказать.
Доказанная теорема во многих случаях упрощает вычисление пределов.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

  1. Так как , то в точке х = 0 имеем sin x

x. и в этом случае имеет место равенство sin x = x + o(x ).

  • Так как , то в точке х = 0 имеем tg x

    x. и в этом случае имеет место равенство tg x = x + o(x ).

  • Так как , то в точке х = 0 имеем arcsin x

    x. и в этом случае имеет место равенство arcsin x = x + o(x ).

  • Так как , то в точке х = 0 имеем arctg x

    x. и в этом случае имеет место равенство arctg x = x + o(x ).

  • Так как , то , и в этом случае имеет место равенство
  • В точке х = 0 многочлен эквивалентен своему моному младшей степени . Поэтому при х = 0 имеем .
    Использование теоремы о замене функции на эквивалентную под знаком предела упрощает вычисление предела. Например, .
  • Так как , то ln (1 + x )

    x. и в этом случае имеет место равенство ln (1 + x ) = x + o(x ).

  • Так как , то
    .
  • Так как , то e x

    1 + x. и в этом случае имеет место равенство e x

    1 + x + o(x ).

  • В случае натурального k имеем поэтому для натурального k имеем , и в этом случае имеет место равенство (1 + x ) k = 1 + k·x + o(x )
  • Так как , то a x

    1 + x ·ln a. и в этом случае имеет место равенство a x

    1 + x ·ln a + o(x )

  • Так как , то , и в этом случае имеет место равенство Замечание. К применению таблицы эквивалентности при вычислении пределов следует относиться с большим вниманием. Не следует думать, что этот метод является всеобъемлющим. Если применение таблицы эквивалентных бесконечно малых приводит к конечному результату при вычислении предела, то этот результат будет получаться и при любых методах вычисления этого предела. Следует познакомиться с образцами выполнения самостоятельной работы. Однако, в некоторых случаях этот метод не выводит предел из неопределённости, вопрос о значении предела остаётся открытым и посему следует уже применять другие методы вычисления предела. Например
  • Сравнение бесконечно больших функций

    Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения. Бесконечно большие функции α(x ) и β(x ) являются эквивалентными бесконечно большими при xх0. если = 1, Функция α(x) является бесконечно большой более низкого порядка, чем β(x ) при x → х0. если = 0. Бесконечно большие Функции α(x) и β(x) имеют одинаковый порядок роста при x → х0. если = А ≠ 0 (A- число). Функция α(x ) является бесконечно большой n − го порядка по отношению к бесконечно большой β(x ) при x → х0. если .

    Вопросы для самопроверки

    1. Сформулируйте определение бесконечно малой функции
      − при х → х0 ;
      −при х → ∞. Приведите примеры таких функций.
    2. Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно малой функцией?
    3. Что означают записи: , ,
    4. Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями?
    5. Что значит сравнить две бесконечно малые функции?
    6. Приведите примеры бесконечно малой функции &#&45;(х ):
      1. одного порядка малости с функцией &#&46; (х ) в точке х0 ;
      2. эквивалентной функции &#&46; (х ) в точке х0 ;
      3. более высокого порядка малости, чем &#&46; (х ), при х → х0.
      4. Что означает символическая запись &#&45; (х ) = o (&#&46; (х )) при при х → х0.
      5. Докажите, что:
        1. х 3 = о (х 2 ) при х → 0,
        2. (х — 1) 2 = o (x − 1) при х → 1.
      6. Верно ли при х → 0 равенство х 3 = o (β(х )), если &#&46; (х )= x 2 · sin x.
      7. Докажите, что 1/х 4 = o (1/х 3 ).
      8. Верно ли равенство при х → ∞, если
      9. Докажите, что sin х – х = o(х ) при х → 0.
      10. Что означают записи: хх0. хх0 − 0, хх0 + 0, x → + ∞, x → − ∞ и x → ∞?

      Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

      БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

      Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x&#85&4;a или при x &#85&4;∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

      1. Функция f(x) =(x -1) 2 является бесконечно малой при x &#85&4;1, так как (см. рис.).
      2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x &#85&4;0.
      3. f(x) = ln (1+x )– бесконечно малая при x &#85&4;0.
      4. f(x) = 1/x – бесконечно малая при x &#85&4;∞.

      Установим следующее важное соотношение:

      Теорема. Если функция y=f(x) представима при x&#85&4;a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины &#&45;(x): f (x)=b+ &#&45;(x) то .

      Обратно, если , то f (x)=b+&#&45;(x). где a(x) – бесконечно малая при x&#85&4;a.

      1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+&#&45;(x) следует |f(x) – b|=| &#&45;|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном &#&49; найдется &#&48; – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |&#&45;(x)|9lt; &#&49;. Тогда |f(x) – b|< &#&49;. А это и значит, что .
      2. Если , то при любом &#&49;9gt;0 для всех х из некоторой &#&48; – окрестность точки a будет |f(x) – b|< &#&49;. Но если обозначимf(x) – b= &#&45;. то |&#&45;(x)|9lt; &#&49;, а это значит, что a – бесконечно малая.

      Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

      Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

      Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=&#&45;(x)+β(x). где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом &#&49;9gt; 0 найдется &#&48;9gt; 0, такое, что для x. удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ. выполняется |f(x)|< &#&49;.

      Итак, зафиксируем произвольное число &#&49;9gt; 0. Так как по условию теоремы &#&45;(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое &#&48;19gt; 0, что при |x – a|< &#&48;1 имеем |&#&45;(x)|9lt; &#&49;/ 2. Аналогично, так как &#&46;(x) – бесконечно малая, то найдется такое &#&48;29gt; 0, что при |x – a|< &#&48;2 имеем | &#&46;(x)|9lt; &#&49;/ 2.

      Возьмем &#&48;=min< &#&48;1, &#&48;2> .Тогда в окрестности точки a радиуса &#&48; будет выполняться каждое из неравенств |&#&45;(x)|9lt; &#&49;/ 2 и | &#&46;(x)|9lt; &#&49;/ 2. Следовательно, в этой окрестности будет

      т.е. |f(x)|< &#&49;, что и требовалось доказать.

      Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x&#85&4;a (или при x&#85&4;∞ ) есть бесконечно малая функция.

      Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x&#85&4;a. то для произвольного &#&49;9gt; 0 найдется окрестность точки a. в которой будет выполняться неравенство |&#&45;(x)|9lt; &#&49;/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | &#&45;f|9lt; &#&49;/M = &#&49;. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x&#85&4;∞ доказательство проводится аналогично.

      Из доказанной теоремы вытекают:

      Следствие 1. Если и , то .

      Следствие 2. Если и c= const, то .

      Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции &#&45;(x) на функцию f(x). предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

      Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

      СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ

      И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

      Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x&#85&4;a. то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x&#85&4;a .

      Доказательство. Возьмем произвольное число &#&49;9gt;0 и покажем, что при некотором &#&48;9gt;0 (зависящим от &#&49;) при всех x. для которых |x – a|<δ. выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x&#85&4;a. то найдется &#&48;9gt;0 такое, что как только |x – a|<δ. так |f(x)|> 1/ &#&49;. Но тогда для тех же x .

      1. Ясно, что при x&#85&4;+∞ функция y=x 2 + 1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x&#85&4;+∞. т.е. .
      2. .

      Можно доказать и обратную теорему.

      Теорема 2. Если функция f(x) — бесконечно малая при x&#85&4;a (или x&#85&4;∞) и не обращается в нуль, то y= 1/f(x) является бесконечно большой функцией.

      Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

      1. .
      2. .
      3. , так как функции и — бесконечно малые при x&#85&4;+∞. то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

      Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A ≠ 0

      ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

      Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

      Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+&#&45;(x) и g(x)=c+&#&46;(x). где &#&45; и &#&46; – бесконечно малые функции. Следовательно,

      Так как b + c есть постоянная величина, а &#&45;(x) + &#&46;(x) – функция бесконечно малая, то

      Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

      Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+&#&45;(x) и g(x)=c+&#&46;(x) и

      fg = (b + &#&45;)(c + &#&46;) = bc + (b&#&46; + c&#&45; + &#&45;β).

      Произведение bc есть величина постоянная. Функция b&#&46; + c &#&45; + &#&45;β на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .

      Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

      Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

      Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

      Доказательство. Пусть . Следовательно, f(x)=b+&#&45;(x) и g(x)=c+&#&46;(x). где &#&45;, &#&46; – бесконечно малые. Рассмотрим частное

      Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c 2 ≠0.

      1. .
      2. .
      3. Рассмотрим . При x&#85&4;1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как , т.е. есть бесконечно малая функция при x&#85&4; 1, то .

      Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x). удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x&#85&4;a (или x&#85&4;∞ ), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

      Смысл этой теоремы понятен из рисунка.

      Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 – М. Наука, 1985.

      Теорема 5. Если при x&#85&4;a (или x&#85&4;∞ ) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b. то этот предел не может быть отрицательным: b≥0 .

      Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0. тогда |y – b|≥|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x&#85&4;a. Но тогда y не стремится к пределу b при x&#85&4;a. что противоречит условию теоремы.

      Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c .

      Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ≥0. следовательно, по теореме 5 , или .

      До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда x&#85&4;a произвольным образом, т.е. предел функции не зависел от того, как располагалось x по отношению к a. слева или справа от a. Однако, довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если x&#85&4;a. оставаясь с одной стороны от а. слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

      Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a. то пишут и называют bпределом функции f(x) в точке a слева.

      Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x&#85&4;a слева, если каково бы ни было положительное число &#&49;, найдется такое число &#&48; (меньшее a ), что для всех выполняется неравенство .

      Аналогично, если x&#85&4;a и принимает значения большие a. то пишут и называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b называется пределом функции y=f(x) при x&#85&4;a справа. если каково бы ни было положительное число &#&49;, найдется такое число &#&48; (большее а ), что для всех выполняется неравенство .

      Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а .

      1. Рассмотрим функцию y=f(x). определенную на отрезке [0,1] следующим образом

      Найдем пределы функции f(x) при x&#85&4; 3. Очевидно, , а .

      И СПОСОБЫ ИХ РАСКРЫТИЯ

      Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем.

      характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов.

      Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

      При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как число x =1 является корнем многочлена x 3 – 6x 2 + 11x – 6, то при делении получим

      При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби разделили на x в старшей степени.

      При вычислении предела воспользовались равенством ,если x< 0.

      Следующие виды неопределенностей с помощью алгебраических преобразований функции, стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотренных выше случаев или .

      III. Неопределенность 0 ·∞.

      IV. Неопределенность ∞ –∞.

      БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

      Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x&#85&4;a или при x &#85&4;∞, если или . т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

      Функция f(x) =(x -1) 2 является бесконечно малой при x &#85&4;1, так как (см. рис.).

      Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x &#85&4;0.

      f(x) = ln (1+x )– бесконечно малая при x &#85&4;0.

      f(x) = 1/x – бесконечно малая при x &#85&4;∞.

      Установим следующее важное соотношение:

      Теорема. Если функция y=f(x) представима при x&#85&4;a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины &#&45;(x): f (x)=b+ &#&45;(x) то .

      Обратно, если . то f (x)=b+&#&45;(x). где a(x) – бесконечно малая при x&#85&4;a.

      Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+&#&45;(x) следует |f(x) – b|=| &#&45;|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном &#&49; найдется &#&48; – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |&#&45;(x)|9lt; &#&49;. Тогда |f(x) – b|< &#&49;. А это и значит, что .

      Если . то при любом &#&49;9gt;0 для всех х из некоторой &#&48; – окрестность точки a будет |f(x) – b|< &#&49;. Но если обозначимf(x) – b= &#&45;. то |&#&45;(x)|9lt; &#&49;, а это значит, что a – бесконечно малая.

      Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

      Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

      Доказательство . Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=&#&45;(x)+β(x). где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом &#&49;9gt; 0 найдется &#&48;9gt; 0, такое, что для x. удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ. выполняется |f(x)|< &#&49;.

      Итак, зафиксируем произвольное число &#&49;9gt; 0. Так как по условию теоремы &#&45;(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое &#&48;19gt; 0, что при |x – a|< &#&48;1 имеем |&#&45;(x)|9lt; &#&49;/ 2. Аналогично, так как &#&46;(x) – бесконечно малая, то найдется такое &#&48;29gt; 0, что при |x – a|< &#&48;2 имеем | &#&46;(x)|9lt; &#&49;/ 2.

      Возьмем &#&48;=min< &#&48;1, &#&48;2> .Тогда в окрестности точки a радиуса &#&48; будет выполняться каждое из неравенств |&#&45;(x)|9lt; &#&49;/ 2 и | &#&46;(x)|9lt; &#&49;/ 2. Следовательно, в этой окрестности будет

      т.е. |f(x)|< &#&49;, что и требовалось доказать.

      Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x&#85&4;a (или при x&#85&4;∞ ) есть бесконечно малая функция.

      Доказательство . Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x&#85&4;a. то для произвольного &#&49;9gt; 0 найдется окрестность точки a. в которой будет выполняться неравенство |&#&45;(x)|9lt; &#&49;/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | &#&45;f|9lt; &#&49;/M = &#&49;. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x&#85&4;∞ доказательство проводится аналогично.

      Из доказанной теоремы вытекают:

      Следствие 1. Если и . то .

      Следствие 2. Если и c= const, то .

      Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции &#&45;(x) на функцию f(x). предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

      Доказательство . Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

      СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ

      И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

      Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x&#85&4;a. то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x&#85&4;a .

      Доказательство. Возьмем произвольное число &#&49;9gt;0 и покажем, что при некотором &#&48;9gt;0 (зависящим от &#&49;) при всех x. для которых |x – a|<δ. выполняется неравенство . а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x&#85&4;a. то найдется &#&48;9gt;0 такое, что как только |x – a|<δ. так |f(x)|> 1/ &#&49;. Но тогда для тех же x .

      Ясно, что при x&#85&4;+∞ функция y=x 2 + 1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x&#85&4;+∞. т.е. .

      Можно доказать и обратную теорему.

      Теорема 2. Если функция f(x) — бесконечно малая при x&#85&4;a (или x&#85&4;∞) и не обращается в нуль, то y= 1/f(x) является бесконечно большой функцией.

      . так как функции и — бесконечно малые при x&#85&4;+∞. то . как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

      Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A ≠ 0

      infopedia.su не принадлежат авторские права, размещенных материалов. Все права принадлежать их авторам. В случае нарушения авторского права напишите сюда.

      Свойства бесконечно малых функций
      Главная | О нас | Обратная связь

      БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

      Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x&#85&4;a или при x &#85&4;∞, если или . т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

      1. Функция f(x) =(x -1) 2 является бесконечно малой при x &#85&4;1, так как (см. рис.).
      2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x &#85&4;0.
      3. f(x) = ln (1+x )– бесконечно малая при x &#85&4;0.
      4. f(x) = 1/x – бесконечно малая при x &#85&4;∞.

      Установим следующее важное соотношение:

      Теорема. Если функция y=f(x) представима при x&#85&4;a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины &#&45;(x): f (x)=b+ &#&45;(x) то .

      Обратно, если . то f (x)=b+&#&45;(x). где a(x) – бесконечно малая при x&#85&4;a.

      1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+&#&45;(x) следует |f(x) – b|=| &#&45;|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном &#&49; найдется &#&48; – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |&#&45;(x)|9lt; &#&49;. Тогда |f(x) – b|< &#&49;. А это и значит, что .
      2. Если . то при любом &#&49;9gt;0 для всех х из некоторой &#&48; – окрестность точки a будет |f(x) – b|< &#&49;. Но если обозначимf(x) – b= &#&45;. то |&#&45;(x)|9lt; &#&49;, а это значит, что a – бесконечно малая.

      Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

      Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

      Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=&#&45;(x)+β(x). где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом &#&49;9gt; 0 найдется&#&48;9gt; 0, такое, что для x. удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ. выполняется |f(x)|< &#&49;.

      Итак, зафиксируем произвольное число &#&49;9gt; 0. Так как по условию теоремы &#&45;(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое &#&48;19gt; 0, что при |x – a|< &#&48;1 имеем |&#&45;(x)|9lt; &#&49;/ 2. Аналогично, так как &#&46;(x) – бесконечно малая, то найдется такое &#&48;29gt; 0, что при |x – a|< &#&48;2 имеем | &#&46;(x)|9lt; &#&49;/ 2.

      Возьмем &#&48;=min< &#&48;1, &#&48;2> .Тогда в окрестности точки a радиуса &#&48; будет выполняться каждое из неравенств |&#&45;(x)|9lt; &#&49;/ 2 и | &#&46;(x)|9lt; &#&49;/ 2. Следовательно, в этой окрестности будет

      т.е. |f(x)|< &#&49;, что и требовалось доказать.

      Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x&#85&4;a (или при x&#85&4;∞ ) есть бесконечно малая функция.

      Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x&#85&4;a. то для произвольного &#&49;9gt; 0 найдется окрестность точки a. в которой будет выполняться неравенство |&#&45;(x)|9lt; &#&49;/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | &#&45;f|9lt; &#&49;/M = &#&49;. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x&#85&4;∞ доказательство проводится аналогично.

      Из доказанной теоремы вытекают:

      Следствие 1. Если и . то .

      Следствие 2. Если и c= const, то .

      Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции &#&45;(x) на функцию f(x). предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

      Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

      1. Сумма (разность) бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:

      2. Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:

      3. Произведение бесконечно малой величины на константу С или на функцию, имеющую конечный предел . есть величина бесконечно малая:

      Пусть и бесконечно большие величины при .
      т.е. и .

      1. Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

      2. Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

      3. Произведение бесконечно большой величины на константу С. или на функцию, имеющую конечный предел . есть величина бесконечно большая:





      Внимание, только СЕГОДНЯ!

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *