Свойства и графики тригонометрических функций

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода . где Т — период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.

Функция синус y = sin(x) .

Изобразим график функции синус, его называют «синусоида «.

Свойства функции синус y = sinx .

— Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .

— Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: .

— Функция обращается в ноль при . где . Z – множество целых чисел.

— Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть .

— Функция синус — нечетная, так как .

— Функция убывает при ,

— Функция синус имеет локальные максимумы в точках ,
локальные минимумы в точках .

— Функция y = sinx вогнутая при ,
выпуклая при .

— Координаты точек перегиба .

Функция косинус y = cos(x) .

График функции косинус (его называют «косинусоида») имеет вид:

Свойства функции косинус y = cosx .

— Область определения функции косинус: .

— Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи: .

— Функция обращается в ноль при . где рimg src=»http://ok-t.ru/studopediaru/baza13/488088887583.files/image085.gif» />. Z – множество целых чисел.

— Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: .

— Функция косинус — четная, так как .

— Функция убывает при ,
возрастает при .

— Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках ,
локальные минимумы в точках .

— Функция вогнутая при ,
выпуклая при .

— Координаты точек перегиба .

Функция тангенс y = tg(x) .

График функции тангенс (его называют «тангенсоида») имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx .

— Область определения функции тангенс:

. где . Z – множество целых чисел.
Поведение функции y = tgx на границе области определения
Следовательно, прямые . где . являются вертикальными асимптотами.

— Наименьший положительный период функции тангенс .

— Функция обращается в ноль при . где . Z – множество целых чисел.

— Область значений функции y = tgx. .

— Функция тангенс — нечетная, так как .

— Функция возрастает при .

— Функция вогнутая при ,

— Координаты точек перегиба .

— Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Функция котангенс y = ctg(x) .

Изобразим график функции котангенс (его называют «котангенсоида»):

Свойства функции котангенс y = ctgx .

— Область определения функции котангенс: . где . Z – множество целых чисел.
Поведение на границе области определения
Следовательно, прямые . где являются вертикальными асимптотами.

— Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи: .

— Функция обращается в ноль при . где . Z – множество целых чисел.

— Область значений функции котангенс: .

— Функция нечетная, так как .

— Функция y = ctgx убывает при .

— Функция котангенс вогнутая при ,
выпуклая при .

— Координаты точек перегиба .

— Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Величины углов (аргументы функций): \(\alpha\), \(x\)
Тригонометрические функции: \(\sin \alpha \), \(\cos \alpha \), \(\tan \alpha \), \(\cot \alpha \), \(\sec \alpha \), \(\csc \alpha \)
Множество действительных чисел: \(\mathbb\)
Координаты точки окружности: \(x\), \(y\)

Радиус круга: \(r\)
Целые числа: \(k\)

Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций ( ряда Фурье ). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус. косинус. тангенс. котангенс. секанс и косеканс. Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом \(r = 1\). На окружности обозначена точка \(M\left( \right)\). Угол между радиус-вектором \(OM\) и положительным направлением оси \(Ox\) равен \(\alpha\).

Свойства и графики тригонометрических функций

Синусом угла \(\alpha\) называется отношение ординаты \(y\) точки \(M\left( \right)\) к радиусу \(r\):
\(\sin \alpha = y/r\).
Поскольку \(r = 1\), то синус равен ординате точки \(M\left( \right)\).

Косинусом угла \(\alpha\) называется отношение абсциссы \(x\) точки \(M\left( \right)\) к радиусу \(r\):
\(\cos \alpha = x/r\)

Тангенсом угла \(\alpha\) называется отношение ординаты \(y\) точки \(M\left( \right)\) к ee абсциссе \(x\):
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)

Котангенсом угла \(\alpha\) называется отношение абсциссы \(x\) точки \(M\left( \right)\) к ее ординате \(y\):
\(\cot \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)

Секанс угла \(\alpha\) − это отношение радиуса \(r\) к абсциссе \(x\) точки \(M\left( \right)\):
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)

Косеканс угла \(\alpha\) − это отношение радиуса \(r\) к ординате \(y\) точки \(M\left( \right)\):
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)

В единичном круге проекции \(x\), \(y\) точки \(M\left( \right)\) и радиус \(r\) образуют прямоугольный треугольник, в котором \(x,y\) являются катетами, а \(r\) − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла \(\alpha\) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла \(\alpha\) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла \(\alpha\) называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла \(\alpha\) называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла \(\alpha\) представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

График функции синус
\(y = \sin x\), область определения: \(x \in \mathbb\), область значений: \(-1 \le \sin x \le 1\)

Свойства и графики тригонометрических функций

График функции косинус
\(y = \cos x\), область определения: \(x \in \mathbb\), область значений: \(-1 \le \cos x \le 1\)

Свойства и графики тригонометрических функций

График функции тангенс
\(y = \tan x\), область определения: \(x \in \mathbb, x \ne \left( <2k + 1> \right)\pi/2\), область значений: \(- \infty


Область определения функции
— множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная .

Функция нечетная: sin(−x)=9minus;sin x для всех х ∈ R.
График функции симметричен относительно начала координат.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 π :

sin(x+2 π9middot; k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R .

sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ ( 2π9middot;k. π+29pi;9middot;k ), k ∈ Z .

sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ ( π+29pi;9middot;k. 2π+29pi;9middot;k ), k ∈ Z .

Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:

Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:

Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках:

Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

Функция косинус


Область определения функции
— множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная .

Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.
График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2 π :

cos x > 0 для всех

cos x < 0 для всех

Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:

Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:

Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках:

Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

Функция тангенс

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная .

Функция нечетная: tg(−x)=9minus;tg x для всех х из области определения.
График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π. т.е. tg(x+ π9middot; k ) = tg x, kZ для всех х из области определения.

Функция возрастает на промежутках:

Функция котангенс

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная.

Функция нечетная: ctg(−x)=9minus;ctg x для всех х из области определения.
График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π. т.е. ctg(x+ π9middot; k )=ctg x, kZ для всех х из области определения.

Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:

  • область определения функции ;
  • поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции );
  • четность и нечетность;
  • область значений функции ;
  • промежутки возрастания и убывания, точки экстремума ;
  • промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба );
  • наклонные и горизонтальные асимптоты;
  • особые точки функций;
  • особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n -ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Навигация по странице.

  • Постоянная функция (константа), ее график и свойства. Свойства и графики тригонометрических функций
  • Корень n -ой степени, свойства и график. Свойства и графики тригонометрических функций
  • Степенная функция, ее график и свойства. Свойства и графики тригонометрических функций
  • Показательная функция, свойства, график. Свойства и графики тригонометрических функций
  • Логарифмическая функция, ее свойства, графическая иллюстрация. Свойства и графики тригонометрических функций
  • Свойства и графики тригонометрических функций. Свойства и графики тригонометрических функций
  • Обратные тригонометрические функции (аркфункции), их свойства и графики. Свойства и графики тригонометрических функций

Постоянная функция.

Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой Свойства и графики тригонометрических функций, где C – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С. Постоянную функцию также называют константой.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C). Для примера покажем графики постоянных функций y=5. y=-2 и Свойства и графики тригонометрических функций, которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.

Свойства и графики тригонометрических функций

Свойства постоянной функции.

  • Область определения: все множество действительных чисел.
  • Постоянная функция является четной.
  • Область значений: множество, состоящее из единственного числа С.
  • Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).
  • Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
  • Асимптот нет.
  • Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.

Корень n -ой степени.

Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой Свойства и графики тригонометрических функций, где n – натуральное число, большее единицы.

Корень n -ой степени, n — четное число.

Начнем с функции корень n -ой степени при четных значениях показателя корня n.

Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций Свойства и графики тригонометрических функций и Свойства и графики тригонометрических функций, им соответствуют черная, красная и синяя линии.

Свойства и графики тригонометрических функций

Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.

Свойства функции корень n -ой степени при четных n .

  • Область определения: множество всех неотрицательных действительных чисел Свойства и графики тригонометрических функций.
  • При x=0 функция Свойства и графики тригонометрических функций принимает значение, равное нулю.
  • Эта функция общего вида (не является четной или нечетной).
  • Область значений функции: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция Свойства и графики тригонометрических функций при четных показателях корня возрастает на всей области определения.
  • Эта функция имеет выпуклость, направленную вверх, на всей области определения, точек перегиба нет.
  • Асимптот нет.
  • График функции корень n -ой степени при четных n проходит через точки (0,0) и (1,1).

Корень n -ой степени, n — нечетное число.

Функция корень n -ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций Свойства и графики тригонометрических функций и Свойства и графики тригонометрических функций, им соответствуют черная, красная и синяя кривые.

Свойства и графики тригонометрических функций

При других нечетных значениях показателя корня графики функции Свойства и графики тригонометрических функций будут иметь схожий вид.

Свойства функции корень n -ой степени при нечетных n .

  • Область определения: множество всех действительных чисел.
  • Эта функция нечетная.
  • Область значений функции: множество всех действительных чисел.
  • Функция Свойства и графики тригонометрических функций при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения.
  • Эта функция вогнутая на промежутке Свойства и графики тригонометрических функций и выпуклая на промежутке Свойства и графики тригонометрических функций, точка с координатами (0,0) – точка перегиба.
  • Асимптот нет.
  • График функции корень n -ой степени при нечетных n проходит через точки (-1,-1). (0,0) и (1,1).

Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида Свойства и графики тригонометрических функций.

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции Свойства и графики тригонометрических функций при нечетных положительных значениях показателя a. далее — при четных положительных, далее — при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию Свойства и графики тригонометрических функций при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,….

На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций Свойства и графики тригонометрических функций – черная линия, Свойства и графики тригонометрических функций – синяя линия, Свойства и графики тригонометрических функций – красная линия, Свойства и графики тригонометрических функций – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x.

Свойства и графики тригонометрических функций

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.

  • Область определения: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Область значений: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция нечетная, так как Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция возрастает при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция выпуклая при Свойства и графики тригонометрических функций и вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций (кроме линейной функции).
  • Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).
  • Асимптот нет.
  • Функция проходит через точки (-1;-1). (0;0). (1;1).

Степенная функция с четным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию Свойства и графики тригонометрических функций с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,….

В качестве примера приведем графики степенных функций Свойства и графики тригонометрических функций – черная линия, Свойства и графики тригонометрических функций – синяя линия, Свойства и графики тригонометрических функций – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола.

Свойства и графики тригонометрических функций

Свойства степенной функции с четным положительным показателем.

  • Область определения: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Область значений: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция четная, так как Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция возрастает при Свойства и графики тригонометрических функций, убывает при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Точек перегиба нет.
  • Асимптот нет.
  • Функция проходит через точки (-1;1). (0;0). (1;1).

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите на графики степенной функции Свойства и графики тригонометрических функций при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….

Свойства и графики тригонометрических функций

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций Свойства и графики тригонометрических функций – черная линия, Свойства и графики тригонометрических функций – синяя линия, Свойства и графики тригонометрических функций – красная линия, Свойства и графики тригонометрических функций – зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность. графиком которой является гипербола.

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

  • Область определения: Свойства и графики тригонометрических функций.
    При x=0 имеем разрыв второго рода, так как Свойства и графики тригонометрических функций при а=-1,-3,-5,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
  • Область значений: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция нечетная, так как Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция убывает при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция выпуклая при Свойства и графики тригонометрических функций и вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0. так как
    Свойства и графики тригонометрических функций
    при а=-1,-3,-5,….
  • Функция проходит через точки (-1;-1). (1;1).

Степенная функция с четным отрицательным показателем.

Перейдем к степенной функции Свойства и графики тригонометрических функций при а=-2,-4,-6,….

Свойства и графики тригонометрических функций

На рисунке изображены графики степенных функций Свойства и графики тригонометрических функций – черная линия, Свойства и графики тригонометрических функций – синяя линия, Свойства и графики тригонометрических функций – красная линия.

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.

  • Область определения: Свойства и графики тригонометрических функций.
    При x=0 имеем разрыв второго рода, так как Свойства и графики тригонометрических функций при а=-2,-4,-6,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
  • Область значений: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция четная, так как Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция возрастает при Свойства и графики тригонометрических функций, убывает при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальной асимптотой является прямая y=0. так как
    Свойства и графики тригонометрических функций
    при а=-2,-4,-6,….
  • Функция проходит через точки (-1;1). (1;1).

Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.

Обратите внимание! Если a — положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал Свойства и графики тригонометрических функций. При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество Свойства и графики тригонометрических функций. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Рассмотрим степенную функцию Свойства и графики тригонометрических функций с рациональным или иррациональным показателем a. причем Свойства и графики тригонометрических функций.

Приведем графики степенных функций Свойства и графики тригонометрических функций при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия), Свойства и графики тригонометрических функций (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).

Свойства и графики тригонометрических функций

При других значениях показателя степени a. Свойства и графики тригонометрических функций графики функции Свойства и графики тригонометрических функций будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при Свойства и графики тригонометрических функций.

  • Область определения: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Область значений: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
  • Функция возрастает при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция выпуклая при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Точек перегиба нет.
  • Асимптот нет.
  • Функция проходит через точки (0;0). (1;1).

Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.

Рассмотрим степенную функцию Свойства и графики тригонометрических функций с нецелым рациональным или иррациональным показателем a. причем Свойства и графики тригонометрических функций.

Приведем графики степенных функций, заданных формулами Свойства и графики тригонометрических функций (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).

При других значениях показателя степени a. Свойства и графики тригонометрических функций графики функции Свойства и графики тригонометрических функций будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при Свойства и графики тригонометрических функций.

  • Область определения: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Область значений: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
  • Функция возрастает при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций, если Свойства и графики тригонометрических функций; при Свойства и графики тригонометрических функций, если Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Точек перегиба нет.
  • Асимптот нет.
  • Функция проходит через точки (0;0). (1;1).

Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.

Обратите внимание! Если a — отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал Свойства и графики тригонометрических функций. При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество Свойства и графики тригонометрических функций соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Переходим к степенной функции Свойства и графики тригонометрических функций, кгода Свойства и графики тригонометрических функций.

Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при Свойства и графики тригонометрических функций, приведем примеры графиков функций Свойства и графики тригонометрических функций (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).

Свойства и графики тригонометрических функций

Свойства степенной функции с показателем a. Свойства и графики тригонометрических функций.

  • Область определения: Свойства и графики тригонометрических функций.
    Свойства и графики тригонометрических функций при Свойства и графики тригонометрических функций, следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.
  • Область значений: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
  • Функция убывает при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
  • Функция проходит через точку (1;1).

Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.

Приведем примеры графиков степенных функций Свойства и графики тригонометрических функций при Свойства и графики тригонометрических функций, они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.

Свойства и графики тригонометрических функций

Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.

  • Область определения: Свойства и графики тригонометрических функций.
    Свойства и графики тригонометрических функций при Свойства и графики тригонометрических функций, следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.
  • Область значений: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
  • Функция убывает при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
  • Функция проходит через точку (1;1).

При а=0 и Свойства и графики тригонометрических функций имеем функцию Свойства и графики тригонометрических функций — это прямая из которой исключена точка (0;1) (выражению 0 0 условились не придавать никакого значения).

Показательная функция.

Одной из основных элементарных функций является показательная функция.

График показательной функции Свойства и графики тригонометрических функций, где Свойства и графики тригонометрических функций и Свойства и графики тригонометрических функций принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.

Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, Свойства и графики тригонометрических функций.

Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала Свойства и графики тригонометрических функций.

Свойства и графики тригонометрических функций

Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.

  • Областью определения показательной функции является все множество действительнйх чисел: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Область значений: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.
  • Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.
  • Функция вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.
  • Функция проходит через точку (0;1).

Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, Свойства и графики тригонометрических функций.

В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций Свойства и графики тригонометрических функций – синяя линия и Свойства и графики тригонометрических функций – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

Свойства и графики тригонометрических функций

Свойства показательной функции с основанием большим единицы.

  • Область определения показательной функции: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Область значений: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
  • Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус бесконечности.
  • Функция проходит через точку (0;1).

Логарифмическая функция.

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция Свойства и графики тригонометрических функций, где Свойства и графики тригонометрических функций, Свойства и графики тригонометрических функций. Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при Свойства и графики тригонометрических функций.

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.

Начнем со случая, когда Свойства и графики тригонометрических функций.

Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства и графики тригонометрических функций

Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы.

  • Область определения логарифмической функции: Свойства и графики тригонометрических функций. При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.
  • Область значений: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
  • Логарифмическая функция убывает на всей области определения.
  • Функция вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальных асимптот нет.
  • Функция проходит через точку (1;0).

Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы ( Свойства и графики тригонометрических функций).

Покажем графики логарифмических функций Свойства и графики тригонометрических функций – синяя линия, Свойства и графики тригонометрических функций – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства и графики тригонометрических функций

Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы.

  • Область определения: Свойства и графики тригонометрических функций. При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.
  • Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
  • Функция возрастает при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция выпуклая при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Точек перегиба нет.
  • Горизонтальных асимптот нет.
  • Функция проходит через точку (1;0).

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода Свойства и графики тригонометрических функций, где Т — период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.

Функция синус y = sin(x) .

Изобразим график функции синус, его называют «синусоида».

Свойства и графики тригонометрических функций

Свойства функции синус y = sinx .

  • Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция обращается в ноль при Свойства и графики тригонометрических функций, где Свойства и графики тригонометрических функций, Z – множество целых чисел.
  • Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция синус — нечетная, так как Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция убывает при Свойства и графики тригонометрических функций,

возрастает при Свойства и графики тригонометрических функций.

  • Функция синус имеет локальные максимумы в точках Свойства и графики тригонометрических функций,
    локальные минимумы в точках Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Функция y = sinx вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций,
    выпуклая при Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Координаты точек перегиба Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Асимптот нет.
  • Функция косинус y = cos(x) .

    График функции косинус (его называют «косинусоида») имеет вид:

    Свойства и графики тригонометрических функций

    Свойства функции косинус y = cosx .

    • Область определения функции косинус: Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи: Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция обращается в ноль при Свойства и графики тригонометрических функций, где Свойства и графики тригонометрических функций, Z – множество целых чисел.
    • Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция косинус — четная, так как Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция убывает при Свойства и графики тригонометрических функций,
      возрастает при Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках Свойства и графики тригонометрических функций,
      локальные минимумы в точках Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций,
      выпуклая при Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Координаты точек перегиба Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Асимптот нет.

    Функция тангенс y = tg(x) .

    График функции тангенс (его называют «тангенсоида») имеет вид:

    Свойства и графики тригонометрических функций

    Свойства функции тангенс y = tgx .

    • Область определения функции тангенс: Свойства и графики тригонометрических функций, где Свойства и графики тригонометрических функций, Z – множество целых чисел.
      Поведение функции y = tgx на границе области определения Свойства и графики тригонометрических функций
      Следовательно, прямые Свойства и графики тригонометрических функций, где Свойства и графики тригонометрических функций, являются вертикальными асимптотами.
    • Наименьший положительный период функции тангенс Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция обращается в ноль при Свойства и графики тригонометрических функций, где Свойства и графики тригонометрических функций, Z – множество целых чисел.
    • Область значений функции y = tgx. Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция тангенс — нечетная, так как Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция возрастает при Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций,

    выпуклая при Свойства и графики тригонометрических функций.

  • Координаты точек перегиба Свойства и графики тригонометрических функций.
  • Наклонных и горизонтальных асимптот нет.
  • Функция котангенс y = ctg(x) .

    Изобразим график функции котангенс (его называют «котангенсоида»):

    Свойства и графики тригонометрических функций

    Свойства функции котангенс y = ctgx .

    • Область определения функции котангенс: Свойства и графики тригонометрических функций, где Свойства и графики тригонометрических функций, Z – множество целых чисел.
      Поведение на границе области определения Свойства и графики тригонометрических функций
      Следовательно, прямые Свойства и графики тригонометрических функций, где Свойства и графики тригонометрических функций являются вертикальными асимптотами.
    • Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи: Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция обращается в ноль при Свойства и графики тригонометрических функций, где Свойства и графики тригонометрических функций, Z – множество целых чисел.
    • Область значений функции котангенс: Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция нечетная, так как Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция y = ctgx убывает при Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция котангенс вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций,
      выпуклая при Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Координаты точек перегиба Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

    Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

    Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки «арк» обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

    Функция арксинус y = arcsin(x) .

    Изобразим график функции арксинус:

    Свойства и графики тригонометрических функций

    Свойства функции арксинус y = arcsin(x) .

    • Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно: Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Область значений функции y = arcsin(x). Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция арксинус — нечетная, так как Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций, выпуклая при Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Точка перегиба (0; 0). она же ноль функции.
    • Асимптот нет.

    Функция арккосинус y = arccos(x) .

    График функции арккосинус имеет вид:

    Свойства и графики тригонометрических функций

    Свойства функции арккосинус y = arccos(x) .

    • Область определения функции арккосинус: Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Область значений функции y = arccos(x). Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
    • Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций, выпуклая при Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Точка перегиба Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Асимптот нет.

    Функция арктангенс y = arctg(x) .

    График функции арктангенс имеет вид:

    Свойства и графики тригонометрических функций

    Свойства функции арктангенс y = arctg(x) .

    • Область определения функции y = arctg(x). Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Область значений функции арктангенс: Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция арктангенс — нечетная, так как Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция возрастает на всей области определения, то есть, при Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция арктангенс вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций, выпуклая при Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Точка перегиба (0; 0). она же ноль функции.
    • Горизонтальными асимптотами являются прямые Свойства и графики тригонометрических функций при Свойства и графики тригонометрических функций и Свойства и графики тригонометрических функций при Свойства и графики тригонометрических функций. На чертеже они показаны зеленым цветом.

    Функция арккотангенс y = arcctg(x) .

    Изобразим график функции арккотангенс:

    Свойства и графики тригонометрических функций

    Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x) .

    • Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел: Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Область значений функции y = arcctg(x). Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
    • Функция убывает на всей области определения, то есть, при Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Функция вогнутая при Свойства и графики тригонометрических функций, выпуклая при Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Точка перегиба Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Горизонтальными асимптотами являются прямые Свойства и графики тригонометрических функций при Свойства и графики тригонометрических функций (на чертеже показана зеленым цветом) и y = 0 при Свойства и графики тригонометрических функций.
    • Колмогоров А.Н. Абрамов А.М. Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват учреждений.
    • Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.
    • Новоселов С.И. Алгебра и элементарные функции.
    • Туманов С.И. Элементарная алгебра. Пособие для самообразования.

    Copyright © by cleverstudents

    Все права защищены.
    Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.cleverstudents.ru, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

    Урок математики «Свойства и графики тригонометрических функций»

    Тип урока: Изучение нового материала.

    Обеспечить усвоение свойств и графиков тригонометрическихфункций y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx;

    Формировать умения учащихся исследовать тригонометрическиефункции ;

    Формировать умения учащихся строить графики тригонометрических функций.

    Установить связь между алгеброй и другими науками (геометрией, физикой, астрономией и т. д. ).

    Развивать логическое мышление;

    Развивать познавательные процессы: умения наблюдать и обобщать, формулировать свойства, правила;

    Развивать математическую речь, умение учиться.

    Воспитывать аккуратность при построении графиков;

    Воспитывать отдельные качества личности: настойчивость, трудолюбие.

    Оборудование: демонстрационный проектор, мультимедийная презентация, раздаточный материал.

    Свойства и графики тригонометрических функций

    Сегодня на занятии мы начинаем изучение новой темы: «Свойства и графики тригонометрических функций». Целью нашего занятия будет: изучить, какие функции называются тригонометрическими и какими свойствами и графиками они обладают.

    (Рассказывая теорию, показываю соответствующие слайды из презентации). (Слайд 1) Откройте свои тетради, запишите число, сегодня 29. 11. 08, и тему занятия: «Свойства и графики тригонометрических функций». А работать мы будем по следующему плану (Слайд 2).

    Как вы думаете, какие функции называются тригонометрическими?

    Не совсем верно. Правильнее будет сказать: тригонометрическими функциями называются функции вида: y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx. Запишите это определение.

    (Слайд 3) Рассмотрим основополагающую тригонометрическую функцию y=sinx. Запишите подзаголовок: Свойства функции y=sinx и ее график. Для построения графика функции y=sinx, составим ее таблицу значений. Для каких углов синус легко определяется? Составьте таблицу значений и напишите ее у себя в тетрадях. У каждого из вас лежат на столах листы, на которых начерчены системы координат (Приложение 1), отметим на первой системе координат полученные точки. Для удобства, возьмем за Свойства и графики тригонометрических функций1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image002.gif» /> Свойства и графики тригонометрических функций

    Свойства и графики тригонометрических функций





    Внимание, только СЕГОДНЯ!

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *