Свойства математического ожидания

Перечислите основные свойства математического ожидания

Свойства математического ожидания

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р .

Теорема.Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании .

Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.

Перечислите основные свойства дисперсии.

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2.

Теорема.Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в каждом испытании.

Дайте определение ковариации.

Ковариа́ция (корреляционный момент ) в теории вероятностей и математической статистике мера линейной зависимости двух случайных величин.

Пусть X ,Y — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом:

в предположении, что все математические ожидания E в правой части определены.

§ Если . то есть имеют конечный второй момент, то ковариация определена и конечна.

§ В гильбертовом пространстве несмещённых случайных величин с конечным вторым моментом ковариация имеет вид и играет роль скалярного произведения.

11. Коррелированность и некоррелированность — это свойство пары (случайных величин, наборов данных). Определяется по величине коэффициента корреляции (есть разные варианты).

12. Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматривае-мой совокупности.

Повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность;

Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

13. выборочным средним называется случайная величина

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ M обозначает математическое ожидание

стандартное отклонение (несмещённая оценка среднеквадратического отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания):

где — дисперсия; — i -й элемент выборки; — объём выборки; — среднее арифметическое выборки:

14. Оценка О называется несмещенной оценкой параметра О, если ее мат. ожидание равно оцениваемому параметру: М(О)= О. В противном случае оценка называется смещенной.

Оценка О* называется эффективной оценкой параметра О, если ее дисперсия Д(О*) меньше дисперсии любой другой альтернативной несмещенной оценки при фиксированном объёме выборки n, т.е. Д(О*)= Дмин .

Оценка О*n называется состоятельной оценкой параметра О, если О*n сходится по вероятности к оцениваемому параметру О при n-∞. Другими словами, состоятельной называется такая оценка, которая дает истинное значение при достаточно большом объёме выборки вне зависимости от значений входящих в нее конкретных наблюдений.

16. Точечной оценкой О* параметра О называется числовое значение этого параметра, полученное по выборке объёма n.

Точечная оценка может быть дополнена интервальной оценкой- интервалом (О12 ), внутри которого с наперед заданной вероятностью у находится точное значение оцениваемого параметра О.

17. Гипотеза Н0. подлежащая проверке, -нулевая гипотеза. Гипотеза Н1. которая будет приниматься, если отклоняется Н0 — альтернативная.

18. Вероятность совершить ошибку 1-го рода принято обозначать буквой а и ее называют уровнем значимости.

Статистический критерий- СВ К, котторая служит для проверки нулевой гипотезы.

19. Важнейшей целью статистики является изучение объективно существующих связей между явлениями. В ходе статистического исследования этих связей необходимо выявить причинно-следственные зависимости между показателями, т.е. насколько изменение одних показателей зависит от изменения других показателей.

Существует две категории зависимостей (функциональная и корреляционная) и две группы признаков (признаки-факторы и результативные признаки). В отличие от функциональной связи, где существует полное соответствие между факторными и результативными признаками, в корреляционной связи отсутствует это полное соответствие.

Корреляционная связь — это связь, где воздействие отдельных факторов проявляется только как тенденция (в среднем) при массовом наблюдении фактических данных. Примерами корреляционной зависимости могут быть зависимости между размерами активов банка и суммой прибыли банка, ростом производительности труда и стажем работы сотрудников.

20. Суть регрессионного анализа сводится к установлению уравнения регрессии, т.е. вида кривой между случайными величинами (аргументами x и функцией y ), оценке тесноты связей между ними, достоверности и адекватности результатов измерений.

Основные свойства математического ожидания и дисперсии

Доказательства рассматриваемых свойств будем проводить для дискретных случайных величин.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной.

Доказательство. Постоянную C можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение c с вероятностью единица, поэтому .

Свойство 2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Доказательство. Пусть случайные величины X и Y имеют соответственно следующие ряды распределения:

Напишем ряд распределения для суммы X+Y.

Возможные значения случайной величины X+Y есть следующие:

Более компактная запись возможных значений выглядит так:

Рассмотрим событие X+Y=xk +Y и найдем вероятность этого события. Это событие происходит тогда и только тогда, когда Y принимает одно из значений y1. y2. yl. ym . причем события xk +y1. xk +y2. xk +ym попарно несовместны. Следовательно, можно применить формулу вероятности суммы:

Аналогично доказывается формула:

По определению математического ожидания:

Следствие. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Доказательство. Применяя свойство 2 и метод математической индукции, получим:

Свойство 3. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин X и Y равно произведению математических ожиданий этих величин: . Пусть случайные величины X и Y заданы рядами распределения. Ряд распределения для произведения случайных величин выглядит следующим образом:

Причем в силу независимости случайных величин X и Y события (X=xk ) и (Y=yl) независимы, следовательно, по теореме умножения вероятностей независимых событий получим

По определению математического ожидания:

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Доказательство. Постоянную c можно рассматривать как случайную величину, причем c и X — независимые случайные величины, поэтому:

Свойство 4. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Доказательство. Согласно свойству 1:

Свойство 5. Постоянную величину можно вынести за знак дисперсии, предварительно возведя ее в квадрат, т.е.

Доказательство. В силу следствия из свойства 3 имеем:

Свойство 6. Дисперсия суммы независимых случайных величин X и Y равна сумме их дисперсии:

Доказательство. По определению дисперсии и по свойству 2 получим:

Величины X и Y независимы, поэтому величины X-M(X) и Y-M(Y) также независимы, следовательно:

Следствие. Если Х1. Х2 . Хn — случайные величины, каждая из которых независима от суммы остальных, то:

Пусть дана случайная величина X . имеющая математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение . тогда случайная величина:

называется стандартизованной (нормированной). Такая случайная величина обладает тем свойством, что ее математическое ожидание равно нулю, а дисперсия равна единице.

Свойство 7. Для независимых случайных величин X и Y имеем:

Математическое ожидание и его свойства

Т.е. если сл. величина имеет закон распределения, то

называется её математическим ожиданием. Если сл. величина имеет бесконечное число значений, то математическое ожидание определяется суммой бесконечного ряда . при условии, что этот ряд абсолютно сходится (в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует).

Для непрерывной сл. величины, заданной функцией плотности вероят­ности f(x), математическое ожидание определяется в виде интеграла

при условии, что этот интеграл существует (если интеграл расходится, то говорят, что математическое ожидание не существует).

Пример 1. Определим математическое ожидание случайной величины распределённой по закону Пуассона . По определению

Значит, параметр , определяющий закон распределения пуассоновской случайной величины равен среднему значению этой величины.

Пример 2. Для случайной величины, имеющей показательный закон распределения . математическое ожидание равно

(в интеграле пределы взять, с учётов того. что f (x) отлична от нуля только при положительных x).

Пример 3. Случайнаявеличина, распределенная по закону распределения Коши . не имеет среднего значения. Действительно

Свойства математического ожидания .

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной.

Постоянная С принимает это значение с вероятностью единица и по определению М(С)=С×1=С

Свойство 2. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической суме их математических ожиданий.

Ограничимся доказательством этого свойства только для суммы двух дискретных случайных величин, т.е. докажем, что

Под суммой двух дискретных сл. Величин понимается сл. Величина, которая принимает значения с вероятностями

где вероятность события . вычисленная при условии, что . В правой части последнего равенства перечислены все случаи появления события . поэтому равна полной вероятности появления события . т.е. . Аналогично . Окончательно имеем

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Приведем доказательства этого свойства только для дискретных величин. Для непрерывных случайных величин оно доказывается аналогично.

Пусть Х и У независимы и имеют законы распределения

Произведением этих случайных величин будет случайная величина, которая принимает значения с вероятностями равными, в силу независимости случайных величин, . Тогда

Следствие. Постоянныймножитель можно выносить за знак матема­тического ожидания. Так век постоянная С не зависит от того какое значение примет сл. величина X, то по свойству 3. имеем

Пример. Если a и b постоянные, то М(ах+b)=аМ(х)+b.

Математическое ожидание числа появления события в схеме независимых испытаний.

Пусть производится n независимых опытов, ве­роятность появления события в каждом из которых равна Р. Чис­ло появлений события в этих n опытах является случайной величиною Х распределённой по биномиальному закону. Однако, непосредственное вычисление её среднего значения громоздко. Для упрощения воспользуемся разложением, которым будем пользоваться в дальнейшем неоднократно: Число появления события в n опытах состоит изчисла появлений события в отдельных опытах, т.е.

где имеет закон распределения (принимает значение 1, если событие в данном опыте произошло, и значение 0, если событие в данном опыте не появилось).

Свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

Свойства математического ожидания

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

Свойства математического ожидания

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Свойства математического ожидания

Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Свойства математического ожидания

Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р .

Теорема.Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании .

Свойства математического ожидания

Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.

Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Свойства математического ожидания

Пример. Две игральные кости одновременно бросают 2 раза. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Каждая игральная кость имеет три варианта четных очков – 2, 4 и 6 из шести возможных, таким образом, вероятность выпадения четного числа очков на одной кости равна 0,5.

Вероятность одновременного выпадения четных очков на двух костях равна 0,25.

Вероятность того, что при двух испытаниях оба раза выпали четные очки на обеих костях, равна: Свойства математического ожидания

Вероятность того, что при двух испытаниях один раз выпали четные очки на обеих костях:

Свойства математического ожидания

Вероятность того, что при двух испытаниях ни одного раза не выпаде четного числа очков на обеих костях: Свойства математического ожидания

Закон распределения случайной величины имеет вид:

Свойства математического ожидания

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Свойства математического ожидания .

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

Свойства математического ожидания

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Свойства математического ожидания

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Свойства математического ожидания

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2.

Теорема.Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании.

Свойства математического ожидания

infopedia.su не принадлежат авторские права, размещенных материалов. Все права принадлежать их авторам. В случае нарушения авторского права напишите сюда.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной :

Действительно, постоянную С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение С с вероятностью 1, поэтому М(С) = 1×С = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания :

М(С×x) = С×М(x). (2.8)

Поскольку при умножении на С возможные значения случайной величины также умножаются на С, при сохранении соответствующих вероятностей, то (2.8) следует из известных свойств суммы и интеграла.

Следующие два свойства приведём без обоснования.

3. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых :

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых в совокупности случайных величин равно произведению их математических ожиданий :

Пример. Фермер считает, что, принимая во внимание различные потери и колебания цен, он сможет выручить не более 60 центов за десяток яиц и потерять не более 20 центов за десяток и что вероятности возможных выигрышей и потерь таковы:

Как оценить ожидаемую прибыль: от продажи десятка яиц; от ожидаемых им в этом году 100000 яиц?

Решение. X – случайная величина, прибыль от продажи 10 яиц.

MX = 0,6 × 0,2 + 0,4 × 0,5 + 0,2 × 0,2 + 0 × 0,06 – 0,2 × 0,04 = 0,352,

M10000X = 10000 × 0,352 = 3520$.

Итак, математическое ожидание является тем “средним” значением, вокруг которого распределены все возможные значения случайной величины. Однако знания среднего значения случайной величины для большинства задач недостаточно, необходимо иметь ещё количественную характеристику разброса возможных значений случайной величины относительно математического ожидания. Для этого рассмотрим разность — отклонение возможного значения случайной величины от её математического ожидания (x — a).

Случайные величины при одинаковом среднем могут быть совершенно разными, например, одна может меняться в узких пределах, а вторая – в широких. Приведем в качестве примера графики некоторых распределений, имеющих одинаковое среднее, равное нулю, и разные разбросы (рис. 2.3).

На всех графиках нас интересует разброс вокруг среднего (в нашем примере оно равно нулю; если это не так, картинка только сдвинется).

Чтобы охарактеризовать разброс, рассеяние случайной величины есть несколько показателей, но чаще всего применяют дисперсию D(x) или среднеквадратическое (стандартное) отклонение .

Назовём дисперсией случайной величины xматематическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания a =Mx :

Для вычисления дисперсии часто оказывается полезной формула

Пример. Сосчитаем дисперсии распределений, приведенных на графиках (см рис. 2.3):

1) 1 × 1/8 + 1 × 1/8 – 0 = 1/4 = 0,25;

2) 1 × 1/3 + 1 × 1/3 – 0= 2/3 = 0.(6);

3) 1 × 1/2 + 1 × 1/2 – 0 = 1;

4) 4 × 1/2 + 4 × 1/2 – 0 = 4;

5) 4 × 1/4 + 1×1/4 + 1 × 1/4 + 4 × 1/4 – 0 = 2,5.

Самая большая дисперсия у четвертого распределения, когда все значения удалены от среднего на расстояние 2. Самая маленькая – у первого, когда математическое ожидание является наиболее вероятным значением.

1. Дисперсия неотрицательна – .

2. Дисперсия постоянной равна нулю :

Действительно, D(C) = M(C2) — (M(C))2= C2- C2=0.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат :

4. Дисперсия суммы (разности) конечного числа независимых в совокупности случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых :

Доказательство проведём для двух слагаемых.

Поскольку размерность дисперсии случайной величины равна квадрату размерности самой случайной величины, то в ряде случаев удобнее пользоваться корнем из дисперсии. Эта характеристика имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, и её называют среднеквадратическим отклонением

Отметим, что для четвертого распределения, где все значения находились на расстоянии 2 от среднего, s = 2.

Из свойств дисперсии немедленно следуют свойства среднеквадратического отклонения: .





Внимание, только СЕГОДНЯ!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *