Сложные функции

Сложная функция

Познакомимся с понятием суперпозиции функций . которое состоит в том, что в качестве аргумента одной функции используется другая функция. Полученная в результате суперпозиции функция называется сложной функцией . Записывается сложная функция следующим образом: . Например: . . Тогда сложная функция . Чтобы найти значение сложной функции, подставляют сначала заданное значение во внутреннюю функцию и находят ее значение . а затем уже вычисляют соответствующее значение функции .

При выполнении суперпозиции функций считают, что множество значений внутренней функции содержится в области определения внешней функции .

Сложную функцию можно составить из большего числа более простых функций.

Пример 1. Сложную функцию представьте в виде цепочки элементарных функций.

Решение. Будем последовательно выполнять операции, которые заданы в формуле: . . . Следовательно, заданная в условии задачи функция является суперпозицией трех основных элементарных функций.

Пример 2. Даны функции . Запишите сложную функцию .

Решение. Подставляя последовательно функции одну в другую, получим сложную функцию .

188.123.231.15 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Примеры применения формулы производной сложной функции

Приводятся примеры вычисления производных с применением формулы производной сложной функции.

Здесь мы приводим примеры вычисления производных от следующих функций:
; ; ; ;.

Если функцию можно представить как сложную функцию в следующем виде:
.
то ее производная определяется по формуле:
.
В приводимых ниже примерах, мы будем записывать эту формулу в следующем виде:
.
где.
Здесь нижние индексы или. расположенные под знаком производной, обозначают переменные, по которой выполняется дифференцирование.

Обычно, в таблицах производных. приводятся производные функций от переменной x. Однако x – это формальный параметр. Переменную x можно заменить любой другой переменной. Поэтому, при дифференцировании функции от переменной. мы просто меняем, в таблице производных, переменную x на переменную u.

Простые примеры

Найти производную сложной функции
.

Производная сложной функции.

Функции сложного вида не совсем корректно называть термином «сложная функция». К примеру, Сложные функции смотрится очень внушительно, но сложной эта функция не является, в отличие от Сложные функции.

В этой статье мы разберемся с понятием сложной функции, научимся выявлять ее в составе элементарных функций, дадим формулу нахождения ее производной и подробно рассмотрим решение характерных примеров.

При решении примеров будем постоянно использовать таблицу производных и правила дифференцирования. так что держите их перед глазами.

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

С нашей точки зрения, это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать как f(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)).

К примеру, пусть f – функция арктангенса, а g(x) = lnx есть функция натурального логарифма, тогда сложная функция f(g(x)) представляет собой arctg(lnx). Еще пример: f – функция возведения в четвертую степень, а Сложные функции — целая рациональная функция (смотрите классификацию элементарных функций ), тогда Сложные функции.

В свою очередь, g(x) также может быть сложной функцией. Например, Сложные функции. Условно такое выражение можно обозначить как Сложные функции. Здесь f – функция синуса, Сложные функции — функция извлечения квадратного корня, Сложные функции — дробная рациональная функция. Логично предположить, что степень вложенности функций может быть любым конечным натуральным числом Сложные функции.

Часто можно слышать, что сложную функцию называют композицией функций.

Формула нахождения производной сложной функции.
Сложные функции

Найти производную сложной функции Сложные функции.

В этом примере сложную функцию можно условно записать как Сложные функции, где Сложные функции — функция синуса, функция возведения в третью степень, функция логарифмирования по основанию e. функция взятия арктангенса и линейная функция соответственно.

По формуле производной сложной функции
Сложные функции

  1. Сложные функции как производную синуса из таблицы производных:
    Сложные функции
  2. Сложные функции — как производную степенной функции:
    Сложные функции
  3. Сложные функции — как производную логарифмической функции:
    Сложные функции
  4. Сложные функции — как производную арктангенса:
    Сложные функции
  5. При дифференцировании Сложные функции выносим двойку за знак производной и применяем формулу производной степенной функции с показателем равным единице:
    Сложные функции

Собираем воедино полученные промежуточные результаты:
Сложные функции

Страшного ничего нет, разбирайте сложные функции как матрешки.

На этом можно было бы и закончить статью, если бы ни одно но…

Желательно отчетливо понимать, когда применять правила дифференцирования и таблицу производных, а когда формулу производной сложной функции.

СЕЙЧАС БУДЬТЕ ОСОБЕННО ВНИМАТЕЛЬНЫ. Мы поговорим об отличии функций сложного вида от сложных функций. От того, насколько Вы видите это различие, и будет зависеть успех при нахождении производных.

Начнем с простых примеров. Функцию Сложные функции можно рассматривать как сложную: g(x) = tgx. Сложные функции. Следовательно, можно сразу применять формулу производной сложной функции
Сложные функции

А вот функцию Сложные функции сложной уже назвать нельзя.

Эта функция представляет собой сумму трех функций Сложные функции, 3tgx и 1. Хотя Сложные функции — представляет собой сложную функцию: Сложные функции — степенная функция (квадратичная парабола), а f – функция тангенса. Поэтому, сначала применяем формулу дифференцирования суммы:
Сложные функции

Осталось найти производную сложной функции Сложные функции:
Сложные функции

Надеемся, что суть Вы уловили.

Если смотреть более широко, то можно утверждать, что функции сложного вида могут входить в состав сложных функций и сложные функции могут быть составными частями функций сложного вида.

В качестве примера разберем по составным частям функцию Сложные функции.

Во-первых. это сложная функция, которую можно представить в виде Сложные функции, где f – функция логарифмирования по основанию 3. а g(x) есть сумма двух функций Сложные функции и Сложные функции. То есть, Сложные функции.

Во-вторых. займемся функцией h(x). Она представляет собой отношение Сложные функции к Сложные функции.

Сложные функции — это сумма двух функций Сложные функции и Сложные функции, где Сложные функции — сложная функция с числовым коэффициентом 3. Сложные функции — функция возведения в куб, Сложные функции — функция косинуса, Сложные функции — линейная функция.

Сложные функции — это сумма двух функций Сложные функции и Сложные функции, где Сложные функции — сложная функция, Сложные функции — функция экспоненцирования, Сложные функции — степенная функция.

В-третьих. переходим к Сложные функции, которая представляет собой произведение сложной функции Сложные функции и целой рациональной функции Сложные функции

Сложные функции — функция возведения в квадрат, Сложные функции — функция логарифмирования по основанию e.

Теперь структура функции понятна и стало видно, какие формулы и в какой последовательности применять при ее дифференцировании.

В разделе дифференцирование функции (нахождение производной) Вы можете ознакомиться с решением подобных задач.

Производная сложной функции

Если g (x ) и f (u ) – дифференцируемые функции своих аргументов соответственно в точках x и u = g (x ), то сложная функция также дифференцируема в точке x и находится по формуле

Типичная ошибка при решении задач на производные — машинальное перенесение правил дифференцирования простых функций на сложные функции. Будем учиться избегать этой ошибки.

Посмотрите на формулу 9 в таблице производных. Исходная функция является функцией от функции, причём аргумент x является аргументом лишь второй функции, а вторая функция является аргументом первой функции, или, согласно более строгому определению — промежуточным аргументом по независимой переменной x .

А теперь посмотрите на картинку ниже, которая иллюстрирует решение задач на сложные производные по аналогии с простым примером из кулинарии — приготовлении запечёных яблок, фаршированных ягодами.

Сложные функции

Итак, «яблоко» — это функция, аргументом которой является промежуточный аргумент, а промежуточный аргумент по независимой переменной x. в свою очередь, является «фаршем» (ягодами). Представим себе, что решая задачи на производные сложной функции, сначала помещаем яблоко с фаршем в особую (физико-математическую) духовку и устанавливаем режим 1. При таком режиме духовка воздействует только на «яблоко», поскольку нужно, допустим, больше пропечь яблоко, а фарш из ягод оставить более сочным, то есть обрабатывать в другом режиме. Итак, в при режиме 1 обрабатывается яблоко, а фарш остаётся незатронутым, или, ближе к нашим задачам, находим производную функции лишь от промежуточного аргумента, то есть, «яблока». Затем в духовке устанавливается режим 2, который воздействует только на фарш, иначе говоря, записываем производную функции, являющейся промежуточным аргументом по независимой переменной x. И, в конце концов, записываем произведение производной «яблока» и производной «фарша». Можно подавать!

Пример 1. Найти производную функции

Сначала определим, где здесь «яблоко», то есть функция по промежуточному аргументу u. а где «фарш», то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x. Определяем: возведение в степень — это функция по промежуточному аргументу, то есть «яблоко», а выражение в скобках (разность двух тригонометрических функций) — это промежуточный аргумент, то есть «фарш».

Далее по таблице производных (производная суммы или разности, производные синуса и косинуса) находим:

Искомая производная (готовое «фаршированое яблоко»):

Нахождение производной сложной логарифмической функции имеет свои особенности, поэтому у нас есть и урок «Производная логарифмической функции».

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн .

Пример 2. Найти производную функции

Неправильное решение: вычислять натуральный логарифм каждого слагаемого в скобках и искать сумму производных:

Правильное решение: опять определяем, где «яблоко», а где «фарш». Здесь натуральный логарифм от выражения в скобках — это «яблоко», то есть функция по промежуточному аргументу u. а выражение в скобках — «фарш», то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x .

Тогда (применяя формулу 14 из таблицы производных)

Во многих реальных задачах выражение с логарифмом бывает несколько сложнее, поэтому и есть урок «Производная логарифмической функции».

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн .

Пример 3. Найти производную функции

Правильное решение. В очередной раз определяем, где «яблоко», а где «фарш». Здесь косинус от выражения в скобках (формула 7 в таблице производных)- это «яблоко», оно готовится в режиме 1, воздействующем только на него, а выражение в скобках (производная степени — номер 3 в таблице производных) — это «фарш», он готовится при режиме 2, воздействующей только на него. И как всегда соединяем две производные знаком произведения. Имеем:

Производная сложной логарифмической функции — частое задание на контрольных работах, поэтому настоятельно рекомендуем посетить урок «Производная логарифмической функции».

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн .

Первые примеры были на сложные функции, в которых промежуточный аргумент по независимой переменной был простой функцией. Но в практических заданиях нередко требуется найти производную сложной функции, где промежуточный аргумент или сам является сложной функцией или содержит такую функцию. Что делать в таких случаях? Находить производные таких функций по таблицам и правилам дифференцирования. Когда найдена производная промежуточного аргумента, она просто подставляется в нужное место формулы. Ниже – два примера, как это делается.

Для решения многих ваших домашних заданий может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Пример 4. Найти производную функции

Применяем правило дифференцирования сложной функции, не забывая, что в полученном произведении производных промежуточный аргумент по независимой переменной x не меняется:

Готовим второй сомножитель произведения и применяем правило дифференцирования суммы:

Второе слагаемое — корень, поэтому

Таким образом получили, что промежуточный аргумент, являющийся суммой, в качестве одного из слагаемых содержит сложную функцию: возведение в степень — сложная функция, а то, что возводится в степень — промежуточный аргумент по независимой переменной x .

Поэтому вновь применим правило дифференцирования сложной функции:

Степень первого сомножителя преобразуем в корень, а дифференцируя второй сомножитель, не забываем, что производная константы равна нулю:

Таким образом, производная промежуточного аргумента, нужного для вычисления искомой производной сложной функции y :

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн .

Пример 5. Найти производную функции

Сначала воспользуемся правилом дифференцирования суммы:

Получили сумму производных двух сложных функций. Находим первую из них:

Здесь возведение синуса в степень — сложная функция, а сам синус — промежуточный аргумент по независимой переменной x. Поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, попутно вынося множитель за скобки:

Теперь находим второе слагаемое из образующих производную искомой функции y :

Здесь возведение косинуса в степень — сложная функция f[g(x)]. а сам косинус — промежуточный аргумент по независимой переменной x. Снова воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

Находим искомую производную:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн .

Для сложных функций на основании правила дифференцирования сложной функции формула производной простой функции принимает другой вид.

1. Производная сложной степенной функции, где u – дифференцируемая функция аргумента x

Сложная функция (композиция функций)

Термин сложная функция в действительности в математическом языке является «чисто рабочим»: так называют функцию. если она задана в виде у=f(g(x)) с внешней функцией f и внутренней функцией g. Из самого задания этой функции ясно, что для вычисления значения у сложной функции к значению аргумента х сначала применяется функция g, а затем к полученному значению g(x) применяется функция f — тогда и получается значение f(g(x)). Сложные функции

Владение этим термином, умение видеть сложную функцию для начал математического анализа исключительно — чтобы найти производную, функцию часто следует представить в виде сложной функции, причем функция может быть еще более «сложной», когда ее «история» более длинная, т.е. например, если функция задается формулой у=f(g(h(р(х))).

Для того чтобы подчеркнуть, что термин «сложная функция» относится не к самой функции, а к способу ее задания. приведем пример: функции и — это, очевидно, одна и та же функция, однако первую из них можно назвать сложной, а вторую — нет. Заметим также, что сложная функция может оказаться нигде не определенной, например, — под знаком радикала тут всегда стоит отрицательное выражение.

При желании заняться алгеброй функций, т.е. рассматривать операции, действия, которые можно осуществлять с функциями, изучать свойства этих операций, а иногда лишь для терминологического удобства сложную функцию у=f(g(x)) называют композицией функций f и g и обозначают обычно символом или, в обратном порядке, — математики, как ни странно, не могут, да и не пытаются, прийти к общему соглашению относительно этого обозначения. Далее мы применяем первый порядок f и g, т.е. .

А между тем композиция двух функций зависит от их порядка: если, например, . . то тогда как . а значит, это две различные функции — они имеют даже разные области определения. Иными словами, равенство выполняется не для всех функций, так что в алгебре функций перестановочный (в математике, в отличие от школы, называют его коммутативным ) закон для композиции не имеет места.

Интересно, что сочетательный (в математике говорят ассоциативный ) закон остается в силе:

(мы здесь не стали рассматривать детали, связанные с областью определения рассматриваемых функций), а распределительный закон (в математике говорят дистрибутивный ) распадается на два — из-за отсутствия перестановочного закона:

и, что удивительно, один из них выполняется в алгебре функций, а второй — нет.

Интересующиеся этими вопросами легко могут узнать, какой из них именно выполняется, рассмотрев какой-нибудь простой пример, и почти со стопроцентной вероятностью вы найдете ответ с первой попытки, если, конечно, вам не повезет попасть как раз на те функции, для которых выполняются оба закона. А доказать верный закон тоже будет небесполезным — с точки зрения будущего изучения высшей алгебры в вузе: для студентов она вовсе не проще, чем математический анализ, однако с его идеями вы более или менее знакомитесь в школе, а основные идеи алгебры, связанные со свойствами операций. полностью остаются в стороне.

Ну, а если вы хотели бы подтянуть разговорный английский язык, или вам нужна курсовая по английскому. обращайтесь. Так как этот язык уже стал международным и его знания будут полезны любому современному человеку.

Поделиться с друзьями:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *