Статистическое определение вероятности

Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности.

Различные определения вероятности.

Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определённое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы назовём вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Первым по времени определением вероятности следует считать классическое, которое возникло из анализа азартных игр и применялось вначале интуитивно.

Классический способ определения вероятности основан на понятии равновозможных и несовместных событий, которые являются исходами данного опыта и образуют полную группу несовместных событий.

Наиболее простым примером равновозможных и несовместных событий, образующих полную группу, является появление того или иного шара из урны, содержащей несколько одинаковых по размеру, весу и другим осязаемым признакам шаров, отличающихся лишь цветом, тщательно перемешанных перед выниманием.

Поэтому об испытании, исходы которого образуют полную группу несовместных и равновозможных событий, говорят, что оно сводится к схеме урн, или схеме случаев. или укладывается в классическую схему.

Равновозможные и несовместные события, составляющие полную группу, будем называть просто случаями или шансами. При этом в каждом опыте наряду со случаями могут происходить и более сложные события.

Пример. При подбрасывании игральной кости наряду со случаями Аi — выпадение i- очков на верхней грани можно рассматривать такие события, как В — выпадение чётного числа очков, С — выпадение числа очков, кратных трём …

По отношению к каждому событию, которое может произойти при осуществлении эксперимента, случаи делятся на благоприятствующие. при которых это событие происходит, и неблагоприятствующие, при которых событие не происходит. В предыдущем примере, событию В благоприятствуют случаи А2. А4. А6 ; событию С – случаи А3. А6 .

Классической вероятностью появления некоторого события называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев равновозможных, несовместных, составляющих полную группу в данном опыте:

где Р(А) – вероятность появления события А; m — число случаев, благоприятствующих событию А; n — общее число случаев.

1) (смотри пример выше) Р(В) = , Р(С)= .

2) В урне находятся 9 красных и 6 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутые наугад один, два шара окажутся красными.

А — вынутый наугад шар красный:

B — вынутые наугад два шара красные:

Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства (показать самостоятельно):

1) Вероятность невозможного события равна 0;

2) Вероятность достоверного события равна 1;

3) Вероятность любого события заключена между 0 и 1;

4) Вероятность события, противоположного событию А,

Классическое определение вероятности предполагает, что число исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных случаев которых бесконечно. Кроме того, слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные исходы испытания равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания заключают из соображений симметрии. Однако такие задачи на практике встречаются весьма редко. По этим причинам наряду с классическим определением вероятности пользуются и другими определениями вероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

где – вероятность появления события А;

– относительная частота появления события А;

— число испытаний, в которых появилось событие А;

— общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Пример: Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.

Статистический способ определения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами:

· Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

· События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.

· Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

/ Теория вероятностей

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями пони-маются явления с неопределенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.

Например, при бросании монеты нельзя предсказать, какой стороной она упадет. Результат бросания монеты случаен. Но при дос-таточно большом числе бросаний монеты существует определенная закономерность (герб и решетка выпадут примерно одинаковое число раз).

Основные понятия теории вероятностей

Испытание (опыт, эксперимент) — осуществление некоторого определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

Например: подбрасывание игральной кости с выпадением числа очков; перепад температуры воздуха; метод лечения заболевания; некоторый период жизни человека.

Случайное событие (или просто событие) – исход испытания.

Примеры случайных событий:

выпадение одного очка при подбрасывании игральной кости;

обострение ишемической болезни сердца при резком повышении температуры воздуха летом;

развитие осложнений заболевания при неправильном выборе метода лечения;

поступление в вуз при успешной учебе в школе.

Событие называется достоверным . если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Событие называется невозможным . если в результате испы-тания оно вообще не может произойти.

Например,если в партии все изделия стандартные, то извлечение из неё стандартного изделия — событие достоверное, а извлечение при тех же условиях бракованного изделия – событие невозможное.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей.

Классической вероятностью Статистическое определение вероятности события Статистическое определение вероятности называется отношение числа случаев, благоприятствующих событию Статистическое определение вероятности, к общему числу случаев, т.е.

где Статистическое определение вероятности — вероятность события Статистическое определение вероятности,

Статистическое определение вероятности— число случаев, благоприятствующих событию Статистическое определение вероятности,

Статистическое определение вероятности— общее число случаев.

Свойства вероятности события

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

Статистическое определение вероятности

Вероятность достоверного события равна единице, т.е.

Статистическое определение вероятности.

Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

Статистическое определение вероятности.

(Предложить решить несколько простых задач устно).

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

На практике часто при оценке вероятностей событий основываются на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определение вероятности.

Статистической вероятностью события Статистическое определение вероятности называется предел относительной частоты (отношение числа случаев m. благоприятствующих появлению события Статистическое определение вероятности, к общему числу Статистическое определение вероятности произведенных испытаний), когда число испытаний стремится к бесконечности, т.е.

Статистическое определение вероятности

где Статистическое определение вероятности — статистическая вероятность события Статистическое определение вероятности, Статистическое определение вероятности — число испытаний, в которых появилось событие Статистическое определение вероятности, Статистическое определение вероятности— общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности, статистическая вероятность является характеристикой опытной. Классическая вероятность служит для теоретического вычисления вероятности события по заданным условиям и не требует, чтобы испытания проводились в действительности. Формула статистической вероятности служит для экспериментального определения вероятности события, т.е. предполагается, что испытания были проведены фактически.

Статистическая вероятность приблизительно равна относительной частоте случайного события, поэтому на практике за статистическую вероятность берут относительную частоту, т.к. статистическую вероятность практически найти нельзя.

Статистическое определение вероятности применимо к случайным событиям, которые обладают следующими свойствами:

Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий. Нельзя ставить вопрос об определении вероятностей возникновения войн, появления гениальных произведений искусства.

События должны обладать статистической устойчивостью, т.е. в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.

Число испытаний, в результате которых появляется событие Статистическое определение вероятности, должно быть достаточно велико.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

а) Единственно возможные события

События Статистическое определение вероятности называют единственно возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них наверняка наступит.

Эти события образуют полную группу событий.

Например, при подбрасывании игрального кубика, единственно возможными являются события выпадения граней с одним, двумя, тремя, четырьмя, пятью и шестью очками. Они образуют полную группу событий.

б) События называют несовместными. если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае их называют совместными.

в) Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Обозначают Статистическое определение вероятности и Статистическое определение вероятности.

г) События называют независимыми. если вероятность наступления одного из них не зависит от совершения или несовершения других.

Действия над событиями

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если Статистическое определение вероятности и Статистическое определение вероятности – совместные события, то их сумма Статистическое определение вероятности или Статистическое определение вероятности Статистическое определение вероятности обозначает наступление или события A, или события B, или обоих событий вместе.

Если Статистическое определение вероятности и Статистическое определение вероятности – несовместные события, то их сумма Статистическое определение вероятности означает наступление или события Статистическое определение вероятности, или события Статистическое определение вероятности.

Сумму Статистическое определение вероятности событий обозначают: Статистическое определение вероятности

Произведением (пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Произведение двух событий обозначают Статистическое определение вероятности или Статистическое определение вероятности.

Произведение Статистическое определение вероятности событий обозначают Статистическое определение вероятности

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность суммы двух или нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Статистическое определение вероятности— для двух событий;

а) Сумма вероятностей противоположных событий Статистическое определение вероятности и Статистическое определение вероятности равна единице:

Статистическое определение вероятности

Вероятность противоположного события обозначают Статистическое определение вероятности: Статистическое определение вероятности.

б) Сумма вероятностей Статистическое определение вероятности событий, образующих полную группу событий, равна единице: Статистическое определение вероятности или Статистическое определение вероятности.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятностей их пересечения, т.е.

Статистическое определение вероятности

Теорема умножения вероятностей

а) Для двух независимых событий:

Статистическое определение вероятности

б) Для двух зависимых событий

Статистическое определение вероятности,

где Статистическое определение вероятности – условная вероятность события Статистическое определение вероятности, т.е. вероятность события Статистическое определение вероятности, вычисленная при условии, что событие Статистическое определение вероятности произошло.

в) Для Статистическое определение вероятности независимых событий:

Статистическое определение вероятности.

г) Вероятность наступления хотя бы одного из событий Статистическое определение вероятности,образующих полную группу независимых событий:

Статистическое определение вероятности

Вероятность события Статистическое определение вероятности, вычисленная при условии, что произошло событие Статистическое определение вероятности, называется условной вероятностью события Статистическое определение вероятности и обозначается Статистическое определение вероятности или Статистическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности

При вычислении условной вероятности по формуле клас-сической вероятности число исходов Статистическое определение вероятности и Статистическое определение вероятности подсчитывается с учетом того, что до совершения события Статистическое определение вероятности произошло событие Статистическое определение вероятности.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу практически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота А определяется формулой:

где m-число появлений события, n-общее число испытаний.

Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту — после опыта.

Пример 2. Из 80 случайно выбранных сотрудников 3 человека имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. Относительная частота появления людей с больным сердцем

Статистическое определение вероятности

В качестве статической вероятности принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (статистическим определением вероятности). Число, к которому стремится устойчивая относительная частота, называется статистической вероятностью этого события.

Статистическое определение вероятности

Статистическое определение вероятности

Случайность наступления событий связана с невозможностью предсказать заранее исход того или иного испытания. Однако, если рассматривать, например, испытание: многократное бросание монеты, ω1. ω2. …. ωn. то получается, что приблизительно в половине исходов (n/ 2) обнаруживается определённая закономерность, которая соответствует понятию вероятности.

Под вероятностью события А понимается некоторая числовая характеристика возможности наступления события А. Обозначим эту числовую характеристику р (А ). Существуют несколько подходов к определению вероятности. Основными из них являются статистический. классический и геометрический.

Пусть произведено n испытаний и при этом некоторое событие А наступило nA раз. Число nA называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А. а отношение называется относительной частотой наступления события А. Относительная частота любого события характеризуется следующими свойствами:

1. 0 ≤ ≤ 1 (относительная частота любого события изменяется от нуля до единицы, так как 0 ≤ nAn ).

2. = 0 (относительная частота невозможного события равна 0, так как nA = 0).

3. = 1 (относительная частота достоверного события равна 1, так как nA = n ).

Основанием для применения методов теории вероятностей к изучению реальных процессов является объективное существование случайных событий, обладающих свойством устойчивости частот. Многочисленные испытания изучаемого события А показывают, что при больших n относительная частота (А ) остаётся примерно постоянной.

Статистическое определение вероятности заключается в том, что за вероятность события А принимается постоянная величина р(А), вокруг которой колеблются значения относительных частот (А ) при неограниченном возрастании числа испытанийn.

Замечание 1. Отметим, что пределы изменения вероятности случайного события от нуля до единицы выбраны Б. Паскалем для удобства ее вычисления и применения. В переписке с П. Ферма Паскаль указывал, что в качестве указанного промежутка можно было выбрать любой промежуток, например от нуля до ста и другие промежутки. В приведенных ниже задачах в данном пособии вероятности иногда указываются в процентах, т.е. от нуля до ста. В этом случае приведенные в задачах проценты необходимо переводить в доли, т.е. делить на 100.

Пример 1. Проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Величина (А ) в каждой из серий равна 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,4&7; 0,4&4; 0,484. Эти частоты группируются около р (А ) = 0,5.

Этот пример подтверждает, что относительная частота (А ) примерно равна р (А ), т.е. (А ) ≈ р (А ). Из этого определения следует, что величина р (А ) представляет собой среднее значение числа появления события Аm = nA при n испытаниях.

Замечание 2. Испытания для статистического определения вероятности не обязательно являются равновозможными.

Замечание 3. Теория вероятностей изучает только такие случайные процессы со случайным исходом, в которых реализуется устойчивость относительной частоты события. Теорема Бернулли, излагаемая ниже (в конце 3-й главы), даёт обоснование близости (А ) и вероятности р (А ).

Замечание 4. Свойства статистической вероятности р (А ) полностью соответствуют вышеизложенным свойствам относительной частоты (А ) (в записи этих свойств вместо (А ) следует указать р (А )).

Классическое и статистическое определение вероятностей

Существуют классическое и статистическое определение вероятности события. Их основное отличие друг от друга состоит в том, что классическое определение вероятности основывается исключительно на умозаключениях и не предполагает проведения какого бы то ни было эксперимента, в то время как статистическое определение вероятностей, наоборот, не связано ни с какими рассуждениями, а основывается только лишь на проводимых многочисленных испытаниях. Кажущееся на первый взгляд принципиальное отличие этих двух понятий вероятностей на самом деле не так значительно, поскольку в основу умозаключений классического определения вероятностей положен огромный предшествующий опыт. Рассмотрим каждое из этих определений вероятностей. Классическое определение вероятности . Когда мы хотим дать количественную оценку возможности реализации какого либо события, мы разлагаем все события, которые могут произойти на элементарные события (см. квант 1 ). Например, если речь идет о вытаскивании карты из колоды, содержащей 36 карт, то под элементарными событиями понимается возможность извлечь шестерку пик, семерку пик и т.д. Общее количество элементарных событий в данном примере будет равно 36, ровно столько, сколько карт в колоде. В случае, когда мысленно проводятся механические испытания (вытаскивание карт из колоды, подбрасывание монеты и т.д.), естественно предположить, что все элементарные события равновозможны, т.е. нет преимуществ в реализации одних элементарных событий перед другими. Тогда количественной оценкой возможности реализации события А будет являться классическое определение вероятности данного события. Определяется эта вероятность как отношение числа элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А к общему количеству элементарных событий: . Пример 2.1 В рассмотренном примере с картами если мы зададимся вопросом, какова вероятность, что вынутая из колоды наугад карта окажется достоинством не ниже десятки, то по данной формуле это легко вычислить. Действительно, поскольку (4 туза, 4 короля и т.д.), то . Пример 2.2 Бросается игральная кость. Какова вероятность, что выпадет шестерка? Количество элементарных событий равно 6. Только одно из них благоприятствует наступлению события А. Следовательно, вероятность, что выпадет шестерка, равна . Статистическое определение вероятности . Часто оказывается довольно сложно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Кроме того, не всегда элементарные события равновероятны. Например, когда студент идет на экзамен, четыре элементарных события — оценка 2, 3, 4, 5 — равновероятными не являются. В подобных случаях наряду с классическим используют статистическое определение вероятности. В качестве статистической вероятности события принимается относительная частота его реализации при большом числе испытаний. Если проводится n испытаний и при этом событие А реализовалось m раз, то относительная частота появления события А есть . Например, если монета подбрасывалась 2000 раз, и орел при этом выпал 982 раза, то статистическая вероятность события, что выпадет орел, равна относительной частоте его появления . Недостатком статистического определения вероятности является его неоднозначность. Так, например, если мы повторно проведем серию из 2000 подбрасываний монеты, и в этой серии орел выпадет не 982, а 1028 раз, то статистическая вероятность в новой серии испытаний окажется равной . Заметим, что классическое определение вероятности есть некоторая идеализация статистической вероятности. Действительно, если сравнить классическую и статистическую вероятность выпадения шестерки на игральной кости, то классическая вероятность равна , в то время, как статистическая, являющаяся результатом большого числа испытаний не будет в точности равна из-за того, что идеальных кубических фигур в природе не существует, а, следовательно, будет отличие от . Видеолекция «Классическое и статистическое определение вероятностей».

Статистическое определение вероятности





Внимание, только СЕГОДНЯ!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *