Теорема монжа

Особые случаи пересечения. Теорема Монжа

1. Поверхности в точках касания имеют общие касательные плоскости.

Т еорема (о двойном соприкосновении).

Если две поверхности второго порядка имеют две точки соприкосновения и общие касательные плоскости в этих точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка.

Сфера и эллиптический цилиндр пересекаются по двум окружностям. Они имеют две общие точки А и В и две общие касательные плоскости в этих точках. Пространственная линия пересечения распалась на две плоские кривые — окружности(рис. 159).

Теорема монжа

2. Две пересекающиеся поверхности касаются третьей поверхности второго порядка.

Т еорема (теорема Г.Монжа).

Если две пересекающиеся поверхности второго порядка могут быть описаны вокруг третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым второго порядка.

Теорема Монжа — частный случай теоремы о двойном соприкосновении. Например, поверхности конуса и цилиндра с общей фронтальной плоскостью симметрии касаются сферы по окружностям 1”-2”и 3”-4”. Линия пересечения поверхностей представляет собой два эллипса, плоскости которых перпендикулярны фронтальной плоскости проекций(рис. 160).

Теорема монжа

На рис. 161 даны два конуса, описанные вокруг одного и того же шара. Оси которых пересекаются под прямым углом. Построить линию пересечения заданных поверхностей.

Теорема монжа

Наивысшие 1, 3 и наинизшие 2, 4 точки линии перехода находят в пересечении крайних образующих на фронтальной проекции заданных поверхностей. Если сфера касается обеих поверхностей, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые (в нашем примере — на два различных эллипса). На фронтальной проекции эти эллипсы изображаются отрезками прямых, а на горизонтальной — эллипсами.

Точки 5 и 6 пересечения эллипсов находят на окружности радиуса c ”/2. Построение промежуточных точек ясно из чертежа.

Для определения видимости линий пересечения на горизонтальной проекции проводят секущую плоскость Р (через ось конуса с вершиной S ). Точки 7, 8 и 9, 10 служат границами раздела между видимой и невидимой частями линий пересечения. На фронтальной проекции невидимая часть линии пересечения сливается с видимой.

Прямые 1-4 и 2-3 — большие оси эллипсов. Прямые 5-6 и 11-12 — малые оси эллипсов.

На рис. 162 даны два цилиндра с одинаковыми диаметрами. Оси цилиндров пересекаются под прямым углом.

Здесь в пересечении цилиндров получаются два одинаковых эллипса 1-2 и 3-4, которые проецируются на плоскость V в виде прямых, а на плоскость Н — в виде окружностей, сливающихся с проекцией основания одного из цилиндров.

Теорема монжа

Теорема Монжа

Все темы данного раздела:

Казань 2010
Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом КГАСУ Автор: З.О. Галлямова УДК 74/744 ББК 30.11 &nbsp

Принятые обозначения и символика
1. Точки — прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D… или цифрами 1, 2, 3, 4… 2. Прямые и кривые линии– строчными буквами латинского алфавита: a, b, c,d…. 3. Поверхности

Центральное проецирование
В методе центрального проецирования все проецирующие лучи проходят через общую точку S. На рис.2 представлена кривая ℓ точками А, В, С и ее центральная проекци

Общие свойства проецирования
1. Проекцией точки является точка. 2. Проекцией прямой линии – прямая (частный случай: проекция прямой – точка, если прямая проходит через центр проекций).

Ортогональные проекции (прямоугольные проекции или метод Монжа)
Проецирование на одну плоскость проекций дает изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Проекция точки А (рис.

Построение дополнительной профильной плоскости проекций
Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в пространстве. Однако в практике изображения строительных конструкций, машин и различных инженерн

Октанты
Плоскости проекций при взаимном пересечении делят пространство на 8 трехгранных углов, или октантов ( от лат. Octans – восьмая часть). Расчет их веде

ИЗОБРАЖЕНИЕ ЛИНИИ НА ЭПЮРЕ МОНЖА.
Простейшим геометрическим образом является линия. В начертательной геометрии приняты два способа образования линии: 1. Кинематический — линия рассматриваетс

Определитель линии
Определитель – это совокупность условий, задающих геометрический образ. Определитель линии – это точка и направлен

Прямые частного положения
Прямые частного положения – это прямые, параллельные или перпендикулярные какой-либо плоскости проекций. Существуют 6 прямых частного положения,

Принадлежность точки линии
Тео р ема. Точка принадлежит линии, если одноименные проекции точки лежат на одноименных проекциях линии (рис. 21). &nbs

Следом прямой.
Горизонтальный след М – точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций П1. Фронтальный след N – точка пересечения прямой с

Взаимное расположение прямых линий
Две прямые в пространстве могут: быть параллельными, пересекаться, скрещиваться. 1. Параллельными называются две прямые, которые лежат

Определение видимости геометрических элементов
При изображении непрозрачных предметов, в целях придания чертежу большей наглядности, проекции видимых элементов принято вычерчивать сплошными линиями, а невидимых –

Теорема о прямом угле
Тео р ема. Если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, а другая сторона не перпендикулярна ей, то на эт

Определители плоскости
Раздел 3 Плоскость — простейшая поверхность I порядка, задается определителем: ∑ ( Г, А ), где: ∑ — обозначение п

Следы плоскости
Следами плоскости называются линии пересечения

Плоскость общего положения
Плоскость общего положения – это плоскость не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций (рис. 35). Все чертежи

Плоскости частного положения
Кроме рассмотренного общего случая плоскость, по отношению к плоскостям проекций, может занимать следующие частные положения: 1.

Признак принадлежности точки и прямой плоскости
Тео р ема 1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости (рис. 43). &n

Главные линии плоскости
Из всех прямых, которые могут быть проведены в плоскости, следует выделить главные линии, к которым относятся: 1 Горизонталь плоскости

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧЕРТЕЖА
Раздел 4 В начертательной геометрии задачи решаются графически. Количество и характер геометрических построений, при этом,

Способ замены плоскостей проекций
Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что при неизменном положении заданного геометрического объекта в пространстве про

Проекций
Решение всех задач методом замены плоскостей проекций сводится к решению 4-х основных задач: 1. Замена плоскости проекций так, чтобы прямая общего положения стала прямой ур

Определение истинной длины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника
Как известно, проекция прямой общего положения имеет искаженную величину. Для определения натуральной величины прямой, помимо вышеизложенного метода, используется

Способ вращения вокруг проецирующих осей
При решении задач на преобразование чертежа способом вращения положение заданных геометрических элементов изменяют путем вращения их вокруг проецирующей оси.

Вращение вокруг линии уровня
Данный способ применяется для преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня и для определения натуральной величины плоской фигуры. Задача реш

Определитель поверхности
Раздел 5 Поверхности рассматриваются как непрерывное движение линии в пространстве по определенному закону, при этом линия, которая дв

Линейчатые поверхности
Линейчатые поверхности образуются непрерывным движением прямой образующей по некоторой направляющей, которая может быть прямой, ломаной или крив

Винтовые поверхности
Винтовые поверхности образуются винтовым движением прямой образующей. Это совокупность двух движений образующей: поступательного перемещения вдо

Поверхности вращения (ротационные) Определитель поверхностей вращения
Поверхности вращения получили широкое применение в архитектуре и строительстве. Они наиболее ярко выражают центричность архитектурной композиции и, кроме того, отлич

Поверхности, образованные вращением плоской кривой
Поверхности данной группы называются поверхностями общего положения. Алгоритм построения поверхностей (рис. 70): 1.

Окружности
Определитель поверхности: &#&31; ( i, ℓ ), где i — ось вращения, ℓ — окружность. а) сфера (шар)

Пересечение поверхности геометрического тела с плоскостью
Построение линии пересечения поверхности с плоскостью применяется при образовании форм различных деталей строительных конструкций, при вычерчивании разрезов и планов

Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел
Архитектурные сооружения и здания, различные фрагменты и детали являются сочетанием геометрических форм – призм, параллелепипедов, поверхностей вращения и более слож

Частные случаи пересечения поверхностей
Существуют два случая частного пересечения поверхностей: 1. Обе пересекающиеся поверхности – проецирующие.

Общий случай пересечения поверхностей
В этом случае обе пересекающиеся поверхности занимают общее положение в пространстве относительно плоскостей проекций. Задачи решаются с помощью посредников, в качес

Построение линии пересечения поверхностей второго порядка способом концентрических сфер
При пересечении поверхностей второго порядка линией пересечения в общем случае является пространственная кривая четвертого порядка, которая может распадаться на две

Пересечение прямой с поверхностью или плоскостью
Задачи на определение точек пересечения прямой с поверхностью (плоскостью) являются основными позиционными задачами начертательной геометрии. а также при построении

РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Раздел 7 Построение разверток – это инженерная задача, встречающаяся при выполнении технических деталей из тонкого листового материала, например, кожух вен

Развертка пирамиды.
Задача. Построить развертку пирамиды SАВС. Определить на развертке положение точки М (рис. 98). Решение: Итак, для построения развертки поверхности, не

Развертка призмы.
Рис.98 При построении развертки боковой поверхности призмы используют 2 способа: 1. способ нормального сечения; 2.

Развертки кривых поверхностей
В общем случае развертки кривых поверхностей выполняются способом триангуляции,т.е. заменой кривой поверхности на вписанную в нее гранную пов

Развертка прямого кругового конуса.
Задача. Построить развертку прямого кругового конуса (рис. 101). Решение: Для построения развертки, в поверхность конуса вписывается n-гранная п

Развертка наклонного (эллиптического ) конуса
Задача. Построить развертку наклонного конуса. Нанести на развертку линию пересечения конуса фронтально проецирующей плоскостью ∑ (рис. 102). Решение:

Развертка прямого кругового цилиндра
Задача. Построить развертку прямого кругового цилиндра (рис.103). Решение: Как и в рассмотренной выше задаче, в поверхность цилиндра вписывается n

Развертка поверхностей сферы и тора
Поверхность сферы и тора развертываются приближенно. Суть построения состоит в том, что развертку поверхности строят, разделив ее на равные доли (рис. 104) по меридианам, и каждую

Сущность метода проекций с числовыми отметками
Способы изображения, рассмотренные ранее, оказываются неприемлемыми при проектировании таких инженерных сооружений, как полотно железной или шоссейной дорог, дамбы, аэродромы, различного р

Изображение прямой
Прямая линия может быть задана проекциями двух любых ее точек. Итак, в пространстве расположена точка А, высота ее 3 единицы (рис. 107).

Заложение, превышение, интервал и уклон прямой
На рис. 109 изображена прямая АВ и ее проекция А1В3на нулевую пл

Градуирование прямой
Градуирование прямой– нахождение на проекции прямой точек, имеющих целые числовые отметки. Градуирование основано на способе пропорцион

Взаимное расположение прямых
Положение двух прямых в пространстве может быть определено по их проекциям на плоскость нулевого уровня (П0), если соблюдаются следующие условия: 1. Д

Изображение плоскости
Плоскость в проекциях с числовыми отметками изображается и задается теми же определителями, что и в ортогональных проекциях, а именно:

Взаимное расположение плоскостей
Две плоскости в пространстве могут либо быть параллельными между собой, либо пересекаться под прямым или острым-тупым углами. 1.

Пересекающиеся плоскости
(рис.123): Плоскости, масштабы уклонов которых не удовлетворяют хотя бы одному из указанных выше условий, пересекаются. Рис. 122

Пересечение прямой с плоскостью
Задача. Построить точку пересечения прямой А4В7с плоскостью, заданной масштабом уклонов ∑i. Решение:

Изображение поверхностей
В рассматриваемом методе все поверхности независимо от способа их образования изображают проекциями их горизонталей с указанием отметок, фикс

Поверхность одинакового ската (равного уклона)
Поверхностью одинакового ската называется линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой составляют с некоторой плоскостью одинако

Топографическая поверхность
Существует большой класс поверхностей, строение которых не подчинено строгому математическому описанию. Такие поверхности называют топографическими.

Построение линии наибольшего ската топографической поверхности
Линии ската и одинакового уклона имеют широкое применение в инженерной практике. Знать направление линии ската нужно, в частности, для того, чтобы принять необходимы

Определение границ земляных работ
При проектировании железнодорожных трасс, шоссейных дорог, при возведении строительных площадок, необходимо определять объемы земляных работ, проводимых при сооружен

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данное учебное пособие, как уже отмечалось, может быть использовано студентами специальностей 270106 «Производство строительных материалов, изделии и конструкций», 2

Ортогональные проекции (прямоугольные
проекции или метод Монжа)…………………………. 9 1.5. Частные случаи расположения точек в пространстве………………………………………………11 1.6. Построение дополнительной профильной

Пересечение поверхности геометрического тела
с плоскостью………………………………………………47 6.2. Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел……………………………………….52 6.3. Свойство проецирующей поверхности………………..52 6.4

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ (КРАТКИЙ КУРС)
Учебное пособие Редакционно-издательский отдел Подписано в п

Этот метод вытекает из свойств, присущих поверхностям вращения: если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечет данную поверхность по окружностям, число которых равно числу точек пересечения главных меридианов поверхностей. На рисунке 54 показано сечение конуса и цилиндра вспомогательной сферой.

Способ сфер применяется в особом случае, когда поверхности вращения расположены так, что их оси пересекаются и параллельны одной из плоскости проекций.

Построение линии пересечения поверхностей вращения с помощью вспомогательных секущих сфер возможно двумя способами:

1) способом концентрических сфер;

2) способом эксцентрических сфер.

Первый применяется тогда, когда оси поверхностей — прямые линии, а второй — когда одна из осей является кривой.

Рассмотрим пример пересечения двух цилиндров разного радиуса. Оси их пересекаются и параллельны фронтальной плоскости проекций. Поверхности изображены на рисунке 55.

Первая сфера проводится так, чтобы она была вписана в поверхность большего диаметра, последующие сферы пересекают обе поверхности, а радиус последней сферы равен расстоянию до точек пересечения очерков.

Вспомогательные сферы пересекают цилиндры по окружностям, которые проецируются в прямые линии, проходящие через точки пересечения сфер с очерками цилиндров. Точки пересечения этих прямых и есть общие точки для двух поверхностей.

При построении линии пересечения этим способом все сферы проводятся из одного центра, которым является точка пересечения осей. В способе эксцентрических сфер центр секущей сферы передвигается вдоль оси поверхности, ось которой прямолинейна.

Если две пересекающиеся поверхности вращения можно описать вокруг третьей, то линия пересечения в этом случае распадется на две плоские кривые. Примеры такого пересечения приведены на рисунке 56.

В рассмотренных примерах имеет место двойное соприкасание пересекающихся поверхностей второго порядка. Эти поверхности могут быть описаны вокруг одной сферы. Данный случай относится к частным случаям взаимного пересечения поверхностей и описывается теоремой Монжа: две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности второго порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум кривым второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

1. Какое свойство поверхностей вращения лежит в основе способа сфер?

2. При каком расположении поверхностей возможно применение способа сфер для построения линии их взаимного пересечения?

3. В каком случае следует применять метод эксцентрических сфер, а в каком – концентрических?

4. Какие частные случаи пересечения поверхностей вы знаете?

5. Сформулируйте теорему Монжа.

webkonspect.com — сайт, с элементами социальной сети, создан в помощь студентам в их непростой учебной жизни.

Здесь вы сможете создать свой конспект который поможет вам в учёбе.

Чем может быть полезен webkonspect.com:

  • простота создания и редактирования конспекта (200 вопросов в 3 клика).
  • просмотр конспекта без выхода в интернет .
  • удобный текстовый редактор позволит Вам форматировать текст, рисовать таблицы, вставлять математические формулы и фотографии.
  • конструирование одного конспекта совместно с другом, одногрупником.
  • webkonspect.com — надёжное место для хранения небольших файлов.

Лекция № Взаимное пересечение поверхностей

Лекция № 9.
Взаимное пересечение поверхностей.

  1. Пересечение двух многогранников.
  2. Пересечение гранной и кривой поверхности.
  3. Пересечение двух кривых поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей.
  4. Пересечение поверхностей вращения. Метод вспомогательных секущих сфер.
  5. Теорема Монжа.

Взаимное пересечение поверхностей.
При пересечении поверхностей образуется линия, которую принято называть линией взаимного пересечения поверхностей. Эта линия пересечения принадлежит одновременно двум плоскостям. Поэтому построение линии пересечения сводится к определению точек одновременно принадлежащих обеим поверхностям. Для нахождения таких точек используется в общем случае метод вспомогательных секущих поверхностей. Сущность способа заключается в следующем: Пусть задано две поверхности δ и φ (рис.1)

Теорема монжа

Общий алгоритм построения лини пересечения поверхностей:

  1. Введем вспомогательную поверхность Ф.
  2. Строим лини пересечения поверхности Ф с поверхностями δ и φ (a и b).
  3. Определяем точки пересечения К и М, построенных линий пересечения a и b.
  4. Многократно повторяя эту операцию, найдем ряд точек, принадлежащих одновременно двум поверхностям.
  5. Соединяем последовательно точки с учетом видимости.

В качестве посредников могут быть приняты как поверхности, так и плоскости, но целесообразно выбирать такие, которые дают наиболее простые лини пересечения с заданными поверхностями.

  1. ^ Пересечение двух многогранников. Теорема монжа

Для построения лини пересечения двух многогранников необходимо определить точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго, затем ребер второго с гранями первого. Полученные точки соединить отрезками прямой с учетом видимости. На рис. 2 заданы поверхности трехгранной призмы DEFD’E’ F’ и трехгранной пирамиды SABC. Так как призма фронтальнопроецирующая, фронтальная проекция лини пересечения совпадает с гранями призмы, поэтому необходимо построить только горизонтальную проекцию. Для этого определяем точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы. Ребро SС в точках 1 и 2, ребро SB в точках 3 и 4 ребро SA не пересекает призму. Затем определяем точки пересечения ребер призмы с гранями пирамиды. По чертежу видим, что только ребро DD’ пресекает поверхность пирамиды. Для определения точек пересечения 5 и 6 через ребро DD’ проводим горизонтальную плоскость, которая пересекает пирамиду по треугольнику. Точки 5 и 6 получаем, как пересечение DD’ с построенным треугольником.

Полученные точки соединяем с учетом видимости. Видимой считается тот отрезок прямой, который принадлежит двум видимым граням поверхностей.

Как видим, линия пересечения двух многогранников представляет собой пространственную ломаную линию.

  1. ^ Пересечение гранной и кривой поверхности.

Теорема монжа

Линия пересечения гранной и кривой поверхности, представляет собой пространственную кривую лини, с точками излома на ребрах многогранника.

Поэтому сначала определяем точки пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью, а затем промежуточные точки и соединяем их с учетом видимости. На рис. 3 заданы поверхности трехгранной призмы и кругового конуса.

Так как призма фронтально-проецирующая, фронтальная проекция лини пересечения совпадает с проекцией боковых граней призмы, поэтому необходимо построить только горизонтальную проекцию лини пересечения.

Сначала определяем точки пересечения ребер призмы АА’, ВВ’, СС’ с поверхностью конуса, а затем находим промежуточные точки, принадлежащие линиям пересечения. Для нахождения точек пересечения, используем горизонтальные плоскости посредники, так как они пересекают конус по окружностям, а призму по прямым линиям. Как видим, в данном случае линия пересечения распадается на две отдельные части.

Л Теорема монжаиния пересечения двух кривых поверхностей, представляет пространственную кривую линию. Поэтому для ее построения необходимо определить ряд точек принадлежащих этой лини.

На рисунке 4 заданы поверхности конуса и сферы. Точки строятся при помощи горизонтальных плоскостей посредников, которые рассекают обе поверхности по окружностям.

Обязательно находим опорные точки, к которым относятся и низшая точка линии пересечения и точки границы видимости. Так как оси поверхностей лежат в одной фронтальной плоскости, контурные образующие поверхностей пересекаются в точках 1 и 2 – это и будет высшая и низшая точки. Точки границы видимости лежат на экваторе сферы, поэтому точки 3 и 3′ находим с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости, проходящей через центр сферы. Она рассекает сферу по экватору, а конус по параллели радиуса R.

Взаимно пересекаясь, они и дают точки 3 и 3′ фронтальную проекцию определяем по вертикальной лини связи на плоскости δ. Затем берем еще две вспомогательные плоскости расположенные выше и ниже плоскости δ и выполняя, аналогичные построения определяем точки 4 и 4′, 5 и 5′. Полученные точки соединяем с учетом видимости.

Способ вспомогательных секущих сфер применяется при следующих условиях:

  1. Пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения.
  2. Оси этих поверхностей пересекаются.
  3. Оси поверхностей параллельны одной из плоскостей проекций.

Перед рассмотрением этого способа разберем понятие соосных поверхностей. Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось. Соосные поверхности пересекаются по окружностям перпендикулярным оси вращения.

На рисунке 5 приведены некоторые из них.

И Теорема монжаменно то, что поверхности пересекаются по окружности, которые проецируются в линию и используется в методе сфер.

Р Теорема монжаассмотрим пример на рис. 6. Даны поверхности вращения – конус и цилиндр. Так как оси лежат в одной плоскости, можно определить точки пересечения контурных образующих в точках 1 и 2, как в предыдущем примере.

Однако, для нахождения промежуточных точек, вспомогательные секущие плоскости не подходят, т.к. горизонтальные плоскости рассекут цилиндр по эллипсам, фронтально-проецирующие – конус по эллипсам. А сам эллипс строить непросто. Поэтому именно в этом случае удобно использовать в качестве посредников – сферы. За центр заданных поверхностей, принимается точка пересечения осей, необходимо определить, каких радиусов необходимо брать вспомогательные секущие сферы. Максимальный радиус сферы R max – это расстояние от центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения контурных образующих (в данном случае точка 1).

Минимальный радиус сферы R min – радиус сферы, которая вписана в одну из поверхностей, а другую пересекает. В данном случае минимальная сфера вписана в конус. Минимальная сфера касается поверхности конуса по окружности, а цилиндр пересекает по окружности. Нужно, иметь в виду, что проекции окружностей пересечения перпендикулярны осям вращения. Эти две окружности пересекаются в точке 32. Фактически таких точек две, они совпадают на фронтальной проекции. Для построения промежуточных точек берем вспомогательные сферы радиусов в пределах от R min до R max.

Они пересекают и поверхность цилиндра, и поверхность конуса по окружности, которые пересекаясь дают промежуточные точки. Полученные точки соединяются плавной линией.

Здесь построены только фронтальная проекция. Для построения горизонтальной проекции, если это необходимо, точки строят как лежащие на окружностях полученных радиусов.

  1. ^ Теорема Монжа.

Рассмотрим вариант, когда минимальная сфера касается двух поверхностей вращения. В этом случае для построения лини пересечения поверхностей используется теорема Г.Монжа, которая формулируется так:

Если две поверхности вращения второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечении линий касания.

Теорема монжа

В соответствии с этой теоремой линии пересечения конуса и цилиндра описанного около сферы (рис.7) будут плоскими кривыми – эллипсами, фронтальные проекции которых изображаются прямыми 12 42 и 22 32. проходящими через 52 52 ‘ – точки линий пересечения окружностей касания.

Теорема монжа

Лекция № Классификация, образование и изображение кривых поверхностей
При выборе исходной поверхности архитектор должен в совершенстве знать геометрию этих поверхностей: их основные характеристики, свойства.

Теорема монжа

Лекция №10 Развертка поверхностей
Построение разверток развертываемых поверхностей: способом триангуляции, способом раскатки, способом нормального сечения

Теорема монжа

Annotation
Тогда эта книга — для вас. Александра МадунцПредисловие,Лекция первая,Лекция вторая,Лекция третья,Лекция четвертая,Лекция пятая,Лекция.

Теорема монжа

Лекция №8
Лекция №8 Мероприятия по предотвращению эрозионных процессов в почвах. Особенности с Х. использования эродированных почв

Теорема монжа

Лекция введение в курс гистологии
Гистогенез и органогенез лекция общие принципы организации тканей. Эпителиальные ткани

Теорема монжа





Внимание, только СЕГОДНЯ!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *