Теоремы по геометрии 8 класс

Основные определения и теоремы. Геометрия 8 класс

  1. Многоугольник — это фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
  2. Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника.
  3. Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.
  4. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.
  5. Многоугольник называется выпуклым. если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
  6. Сумма углов выпуклого n -угольника равна (n –2)·180°.
  7. Четырёхугольник – это многоугольник у которого четыре вершины и четыре стороны.
  8. Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными .
  9. Две вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными .
  10. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
  11. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
  12. (Свойства параллелограмма ) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
  13. (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  14. (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  15. (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  16. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями. а две другие стороны — боковыми сторонами .
  17. Трапеция называется равнобедренной. если её боковые стороны равны.
  18. Трапеция называется прямоугольной. если один из её углов прямой.
  19. (Т. Фалеса) Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
  20. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
  21. (Особое свойство прямоугольника ) Диагонали прямоугольника равны.
  22. (Признак прямоугольника) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
  23. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
  24. (Особое свойство ромба) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
  25. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
  26. (Основные свойства квадрата) Все углы квадрата прямые. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
  27. Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.
  28. Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1.
  29. (Основные свойства площадей ) Равные многоугольники имеют равные площади.

Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

  1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны ( S=a 2 ).
  2. (Т.)Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон (S=ab).
  3. (Т.)Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту (S=ah).
  4. (Т.)Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту (S= Теоремы по геометрии 8 класс ah).
  5. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (S= Теоремы по геометрии 8 класс ab).
  6. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
  7. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
  8. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту ( S= Теоремы по геометрии 8 класс ·h ).
  9. (Теорема Пифагора ) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. (с 2 =a 2 +b 2 )
  10. (Теорема, обратная теореме Пифагора) Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
  11. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским треугольником .
  12. (Формула Герона) Площадь треугольника со сторонами a, b, c выражается формулой S= Теоремы по геометрии 8 класс. где p = Теоремы по геометрии 8 класс (a+b+c) — полупериметр треугольника.
  13. Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1 B1 и C1 D1 , если Теоремы по геометрии 8 класс = Теоремы по геометрии 8 класс .
  14. Два треугольника называются подобными. если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
  15. Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия .
  16. (Т .)Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  17. (Т. Первый признак подобия треугольников ) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  18. (Т. Второй признак подобия треугольников ) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
  19. (Т. Третий признак подобия треугольников ) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
  20. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
  21. (Т. о средней линии треугольника) Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
  22. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  23. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
  24. Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если XY= Теоремы по геометрии 8 класс
  25. Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
  26. (Т. о средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
  27. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  28. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  29. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
  30. Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
  31. sin 2 A+cos 2 A=1 – основное тригонометрическое тождество.
  32. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.
  33. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.
  34. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.
  35. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
  36. (Т. о свойстве касательной к окружности ) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
  37. (Свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки ) Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
  38. (Т. Признак касательной ) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной
  39. Дуга называется полуокружностью. если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.
  40. Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом .
  41. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
  42. Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.
  43. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом .
  44. (Т.) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
  45. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  46. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
  47. (Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд ) Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
  48. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
  49. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
  50. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
  51. (Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
  52. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
  53. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
  54. Четыре точки. точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот(или их продолжений) называются замечательными точками треугольника .
  55. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.
  56. (Теорема об окружности, вписанной в треугольник ) В любой треугольник можно вписать окружность.
  57. В треугольник можно вписать только одну окружность.
  58. Не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность.
  59. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
  60. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны то в него можно вписать окружность.
  61. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.
  62. (Теорема об окружности, описанной около треугольника) Около любого треугольника можно описать окружность.
  63. Около треугольника можно описать только одну окружность.
  64. Около четырёхугольника не всегда можно описать окружность.
  65. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
  66. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

Генерация страницы за: 0.003 сек.

Теоремы геометрии 8 класса

Проверенные ответы содержат информацию, которая заслуживает доверия. На «Знаниях» вы найдёте миллионы решений, отмеченных самими пользователями как лучшие, но только проверка ответа нашими экспертами даёт гарантию его правильности.

Теорема 6.1. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема 6.2 (Обратная теореме 6.1). Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Теорема 6.4. Диагонали прямоугольника равны.

Теорема 6.5. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Теорема 6.6 (Теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема 6.7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Теорема 6.8. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Теорема 6.9. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Теорема 7.1. Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Теорема 7.2 (Теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Следствия:
-В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
-cosA < 1 для любого острого угла А.
-Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Теорема 7.3 (Неравенство треугольника). Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.
Следствие: В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других.

Теорема 7.4. Для любого острого угла А.
sin(90o-A) = cosA, cos(90o-A) = sinA.

Теорема 7.5. При возрастании острого угла sinA и tgA возрастают, а cosA убывает.

Теорема 9.1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
Следствие: При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.

Теорема 9.2. Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Теорема 9.3. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Теорема 9.4. Каковы бы ни были две точки А и А’, существует один и только один параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А’.

Теорема 10.1. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство

Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора равна. Направление вектора при совпадает с направлением вектора. если l> 0, и противоположно направлению вектора. если l< 0.

Теорема 10.3. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Следствия:
Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.
Если скалярное произведение отличных от 0 векторов равно 0, то векторы перпендикулярны.

Теория по геометрии 7-9 класс

· острый угол – от 0 до 90 градусов;

· прямой угол – равен 90 градусам;

· тупой угол – от 90 до 180 градусов;

· развернутый угол (прямая) – равен 180 градусам.

Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением друг друга.

Свойство смежных углов:

· сумма смежных углов равна 180 градусам.

Вертикальные углы – два угла, у которых стороны являются продолжением друг друга.

Свойство вертикальных углов:

· вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые – прямые пересекающиеся под углом 90 градусов.

Перпендикуляр – отрезок, проведенный из точки к прямой под углом 90 градусов.

Теорема о перпендикуляре: из точки, не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.

Периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и трех углов.

· остроугольный треугольник – все три угла острые;

· прямоугольный треугольник – один угол прямой и два угла острые;

· тупоугольный треугольник – один угол тупой и два угла острые.

Равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.

Свойства равных треугольников:

· если два треугольника равны, то их элементы (углы и стороны) попарно равны;

· в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы и наоборот, напротив равных углов лежат равные стороны.

Признаки равенства треугольников:

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;

3. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий угол пополам.

Медиана – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий эту сторону пополам.

Высота – отрезок, выходящий из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, под углом 90 градусов.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны, а третья является основанием.

Свойства равнобедренного треугольника:

· углы при основании равны;

· биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Свойства равностороннего треугольника:

· углы равны по 60 градусов;

· биссектриса равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, является медианой и высотой.

Параллельные прямые – прямые, которые не пересекаются.

Секущая – прямая, пересекающая параллельные прямые.

Виды углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей:

Свойства параллельных прямых:

· при пересечении параллельных прямых секущей накрест-лежащие углы равны;

· при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны;

· при пересечении параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам.

Признаки параллельности прямых:

· если при пересечении двух прямых секущей накрест-лежащие углы равны, то прямые параллельны;

· если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;

· если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.

Аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну.

Следствия из аксиомы:

· если секущая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую параллельную прямую;

· если каждая из двух прямых параллельна третьей, то они параллельны между собой.

Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника.

Свойство внешнего угла треугольника:

· внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике напротив бОльшей стороны лежит бОльший угол и наоборот, напротив бОльшего угла лежит бОльшая сторона.

Теорема о сторонах треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол равен 90 градусам.

Свойства прямоугольного треугольника:

· сумма острых углов треугольника равна 90 градусам;

· в прямоугольном треугольнике катет, лежащий на против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы;

· если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 градусов.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

2. если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

3. если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;

4. если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Расстояние от точки до прямой – перпендикуляр, проведенный от этой точки к данной прямой.

Расстояние между параллельными прямыми – перпендикуляр, проведенный от произвольной точки на одной прямой ко второй прямой.

Четырехугольник – геометрическая фигура, состоящая из 4 сторон и 4 углов.

Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n-2)*180, где n – количество углов.

Сумма углов любого четырехугольника равна 360 градусов.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

· противоположные углы и стороны равны;

· диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ – отрезок, соединяющий две противоположные вершины четырехугольника.

· если в четырехугольнике стороны попарно равны, то данный четырехугольник – параллелограмм;

· если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то данный четырехугольник параллелограмм;

· если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник параллелограмм.

Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания) а две другие – нет (боковые стороны).

· прямоугольная – трапеция, у которой два прямых угла;

· равнобедренная – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобедренной трапеции :

· углы при основаниях равны;

Ромб – частный случай параллелограмма, у которого все стороны равны.

· у ромба диагонали перпендикулярны и делят углы, из которых они исходят, пополам.

Прямоугольник – частный случай параллелограмма, у которого все углы по 90 градусов.

· у прямоугольника диагонали равны

· если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник.

Квадрат – частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.

Теорема Фалеса – если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Площадь многоугольника – часть плоскости, ограниченная сторонами многоугольника.

· равные многоугольники имеют равные площади;

· если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей многоугольников, из которых он состоит.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Площадь трапеции равна половине произведения основания на высоту: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними:

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Площадь треугольника равна половине произведения двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленное на 4 радиуса описанной окружности: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Формула Герона. где р – полупериметр: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе из вершины прямого угла: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Площадь равностороннего треугольника. где а – сторона треугольник: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Высота, медиана, биссектриса равностороннего треугольника. где а – сторона треугольника: h =Теоремы по геометрии 8 класс

Площадь круга. где r – радиус: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Длина окружности. где r – радиус: C = 2Теоремы по геометрии 8 класс

Длина дуги окружности. где r – радиус, &#&45; – грудасная мера дуги: Теоремы по геометрии 8 класс

Площадь кругового сектора. где r – радиус, &#&45; – грудасная мера дуги: Теоремы по геометрии 8 классТеоремы по геометрии 8 класс

Площадь правильного шестиугольника. где а – сторона шестиугольника: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Если в многоугольник можно вписать окружность. то его площадь можно найти как половина произведения периметра на радиус этой окружности: S =Теоремы по геометрии 8 класс

Свойства площадей треугольников :

· если два треугольника имеют равные высоты, то их площади относятся как основания;

· если два треугольника имеют пару равных углов, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих эти углы.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обратная теорема Пифагора: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то данный треугольник – прямоугольный.

Формула для нахождения гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника:Теоремы по геометрии 8 класс. где х – катет равнобедренного прямоугольного треугольника.

Формула для нахождения диагонали квадрата:Теоремы по геометрии 8 класс. где х – сторона квадрата.

Отношение двух величин – деление одной величины на другую (дробь).

Пропорция – равенство нескольких дробей.

Основное свойство пропорции:Теоремы по геометрии 8 класс *d = c*b

Подобные треугольники – треугольники, у которых углы равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Сходственные стороны – стороны двух подобных треугольников, расположенные напротив равных углов.

Коэффициент подобия – отношение двух сходственных сторон подобных треугольников.

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Коэффициент подобия равных треугольников равен единице.

Теорема о биссектрисе треугольника: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Признаки подобия треугольников:

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны;

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны;

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна противоположной стороне и равна ее половине.

Среднее арифметическое для нескольких величин равно сумме этих величин, деленной на их количество.

Среднее геометрическое (пропорциональное) для нескольких величин равно квадратному корню из их произведения.

Свойства среднего геометрического в прямоугольных треугольниках:

· высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое для отрезков, на которые гипотенуза делится этой высотой;

· катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между этим катетом и высотой, проведенной к гипотенузе.

Синус острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к прилежащему.

Основное тригонометрическое тождество. sin 2 (a) + cos 2 (a) = 1

Теоремы по геометрии 8 класс

Теоремы по геометрии 8 класс

Теоремы по геометрии 8 класс

· Теоремы по геометрии 8 класс

· Теоремы по геометрии 8 класс

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого

В прямоугольном треугольнике косинус одного острого угла равен синусу другого

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого

В прямоугольном треугольнике котангенс одного острого угла равен тангенсу другого

Синусы смежных углов равны

Косинусы смежных углов равны с противоположными знаками

Тангенсы смежных углов равны с противоположными знаками

Котангенсы смежных углов равны с противоположными знаками

Окружность – множество точек, равноудаленных от одной точки (центр окружности).

Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

Хорда – отрезок, соединяющий любые две точки на окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

Соотношение диаметра и радиуса – диаметр равен двум радиусам.

Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общих точки.

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Теоремы о касательных :

1) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

2) Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности, а его стороны пересекают окружность.

Дуга – часть окружности, ограниченная с двух сторон.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

Следствия из измерений центрального и вписанного углов :

1) вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу;

2) если вписанные углы опираются на одну и ту же дугу, то они равны;

3) вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90 градусов.

Серединный перпендикуляр – прямая, проходящая через середину отрезка под углом 90 градусов.

Четыре замечательные точки треугольника :

· биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

· медианы треугольника пересекаются в одной точке;

· высоты треугольника пересекаются в одной точке;

· серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

Теорема о биссектрисе :

Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Теорема о серединном перпендикуляре :

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, проведенному к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Вписанная окружность – окружность, касающаяся всех сторон фигуры.

Описанная окружность – окружность, проходящая через каждую вершину фигуры.

©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

Справочник по геометрии (7-9 класс)

Если расстояние от центра окруж- Если расстояние от центра окруж-

ности до прямой < радиуса, то пря- ности до прямой = радиуса, то пря-

мая и окружность имеют 2 общие мая и окружность имеют 2 общие

точки. Прямая является секущей. точки. Прямая является касательной.

Если расстояние от центра окруж-Теорема:Касательная к окруж-

ности до прямой > радиуса, то пря- ности перпендикулярна кr, прове-

мая и окружность не имеют общих дённому в точку касания.

Отрезки касательных к окружнос- через конецr, лежащий на окруж-

ти, проведённые из 1ой точки, рав- ности, и перпендикулярна к этому

ны и составляют равные углы сr, то она является касательной.

прямой, проходящей через эту точ-

ку и центр окружности. Дуга является полуокружностью.

Угол с вершиной в центре окруж- Если дуга АВ окружности с центром

ности — её центральный угол. О < полуокружности или является

полуокружностью, то её градусная

Сумма градусных мер 2ух дуг ок- мера считается равной градусной

ружности с общими концами = мере центрального угла АОВ. Если же

= 360°. дуга АВ > полуокружности, то её

градусная мера считается =

Угол, вершина кот-го лежит на = 360°–<АОВ.

окружности, а стороны пересе-

кают окружность, называетсяТеорема:Вписанный угол измеряя-

вписанным углом. ется ½ дуги, на кот-ую он опирается.

Луч ВО совпадает с 1ой из сто- Луч ВО делит угол АВС на 2 угла, если

рон угла АВС. луч ВО пересекает дугу АС.

Луч ВО не делит угол АВС на 2 Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту

угла и не совпадает со сторона- же дугу, равны.

ми этого угла, если луч ВО не

пересекает дугу АС. Вписанный угол, опирающийся на полу-

ружности пересекаются, то неразвёрнутого угла равноудалена

произведение отрезков 1ой от его сторон. Каждая точка, ле-

хорды = произведению отрез- жащая внутри угла и равноудалённая

ков другой хорды. от сторон угла, лежит на его бисс-се.

Бисс-сы 3-угольника пересека- Серединным перпендикуляром к отрезку

ются в 1ой точке. называется прямая, проходящая через

середину отрезка и перпендикулярная

рединного перпендикуляра к

отрезку равноудалена от концовСерединные перпендикуляры к сторо-

этого отрезка. Каждая точка,нам 3-угольника пересекаются в 1ой

равноудалённая отконцов отрез-точке.

ка, лежит на серединном перпен-

но вписать окружность.

(или их продолжения) пересека-В 3-угольник можно вписать только 1у

ются в 1ой точке.окружность.

Теорема:Около любого треу-В любом вписанном 4-угольнике сумма

гольника можно онисать окруж-противоположных углов = 180°.

Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.

Физические величины, характери-Определение:Отрезок, для кот-

зуещиеся направлением в прост- го указано, какой из его концов счи-

ранстве – векторные. тается началом, а какой – концом,

Длина (модуль) – длина АВ.

Длина нулевого вектора = 0.

Нулевые векторы называются

коллинеарными, если они лежат Если 2 вектора направлены одинаково,

либо на одной прямой, либо на то эти векторы – сонаправлены.

параллельных прямых; нулевой

вектор считается коллинеар- Если 2 вектора направлены противопо-

ным любому вектору. ложно, то они противоположно напра-

называются равными, еслиОт любой точки М можно отложить

они сонаправлены и их дли-вектор, равный данному вектору ã, и

ны равны.притом только один.

Теорема:для любых векторов ă, č и ĕ справедливы равенства:

Теорема:Для любых векто-Произведение любого вектора на число

ров ă и č справедливо равенство:0 есть нулевой вектор.

пеции параллельна основаниям

коллинеарны и ă=0, то сущес- ложить по 2ум данным неколлинеар-

ты разложения определяются един-

Каждая координата суммы 2ух ственным образом.

векторов = сумме соответству-

ющих координат этих векторов. Каждая координата произведения век-

тора на число = произведению соот-

Каждая координата разности ветствующей координаты вектора

2ух векторов = разности соот- на это число.

ветствующих координат век-

тора на это число. Координаты точки М = соответству-

ющим координатам её радиус-вектора.

Каждая координата вектора =

разности соответствующих ко- Каждая координата середины отрезка

ординат его конца и начала. равна полусумме соответствующих ко-

ординат его концов.

Соотношения между сторонами

и углами 3-угольника.

Для любого угла &#&45; из промежут-tgугла &#&45;(α=90°) называется отношение

ется ордината у точки М, аcos

произведения 2ух его сторон на порциональныsinпротиволежащих

Теорема:Квадрат стороны 3-угольника = сумме квадратов 2ух других сторон – удвоенное произведение этих сторон наcosугла между ними.

Скалярным произведением 2ух Скалярный квадрат вектора = квадра-

векторов называется произве- ту его длины.

дение их длин наcosугла между

Нулевые векторы а( х1 ; у1 ) иcosугла а между нулевыми векторами

Для любых векторов а,b, с и любого числаkсправедливы соотношения:

а 2 >0, причём а 2 >0 при а=0.

Словарь геометрических понятий 7-8 класс

Геометрия,7-9 Основные определения, теоремы, формулы

7 класс Глава I Начальные геометрические сведения

Первичные понятия: точка, прямая, плоскость, пространство. отрезок, луч, угол, равные фигуры, середина отрезка, биссектриса угла, измерение отрезков, измерение углов

Отрезок -часть прямой, ограниченная двумя точками.

Луч -часть прямой,ограниченная точкой с одной стороны и неограниченная с другой стороны.

Угол -часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Равные фигуры -фигуры, которые совпадают при наложении друг на друга.

Середина отрезка -точка на отрезке, делящая его пополам.

Биссектриса угла -луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Единицы измерения длины отрезка: миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры.

Единицы измерения углов . градус, минуты, секунды.

Длина отрезка -количество единиц измерения длины, вмещающихся между двумя концами отрезка.

Градусная мера угла -количество единиц измерения углов, вмещающихся между сторонами угла.

Прямой угол -угол,градусная мера которого равна 90 0.

Острый угол -угол,градусная мера которого меньше 90 0.

Тупой угол -угол,градусная мера которого больше 90 0 ,но меньше 180 0.

Развёрнутый угол -угол,градусная мера которого равна 180 0.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая,а две других образуют прямую линию.

Свойство. сумма смежных углов равна 180 0.

Вертикальные углы -два угла, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Свойство. вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые -прямые, которые при пересечении образуют прямой угол.

Параллельные прямые -прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Глава II Треугольники

Треугольник -фигура, состоящая из трёх точек, соединённых между собой отрезками.Точки-вершины треугольника, отрезки-стороны треугольника.

Периметр – сумма длин всех сторон.

Теорема(первый признак равенства треугольников ): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема. из точки,не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Равнобедренный треугольник -треугольник, у которого две стороны равные. Равные стороны – боковые, третья сторона – основание.

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.

Свойство :в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Свойство :в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Теорема(второй признак равенства треугольников). если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(третий признак равенства треугольников). если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Окружность -геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки-центра.

Радиус окружности -отрезок,соединяющий любую точку окружности с её центром.

Хорда -отрезок, соединяющий две любые точки окружности.

Диаметр -хорда, проходящая через центр.

Дуга – часть окружности, ограниченная двумя точками.

Основные задачи на построение циркулем и линейкой:

построение отрезка, равного данному

построение угла, равного данному

построение биссектрисы угла

построение середины отрезка

Краткое описание документа:

Данная разработка содержит теоретический материал по геометрии за курс 7-8 класса. Здесь собраны основные определения, теоремы, свойства фигур на плоскости. Структура материала соответствует порядку изучения предмета в школе по учебнику Л.С.Атанасяна.

Глава I Начальные геометрические сведения

Глава II Треугольники

Глава III Параллельные прямые

Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника

Глава V Четырёхугольники

Глава VI Площадь

Глава VII Подобные треугольники

Глава VIII Окружность

Данный материал будет полезен учащимся 7-9 классов для подготовки к теоретическим зачётам и к итоговой государственной аттестации за курс основной школы. Знание этой теории поможет выпускникам успешно сдать экзамен в новой форме, так как необходимым условием успешной сдачи экзамена является обязательное решение двух задач геометрического содержания. И часто учащиеся не справляются с ними лишь из-за незнания теории.

Разработку предполагается дополнить материалами 9 класса по темам «Векторы», «Метод координат», «Длина окружности и площадь круга», «Движение».

16+ Свидетельство о регистрации СМИ:
Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015.

Лицензия на осуществление образовательной деятельности: № 5201 от 20.05.2016.

Адрес редакции и издательства: 214011, РФ,
г. Смоленск, ул. Верхне-Сенная, 4.
Контакты: info@infourok.ru

Правообладатель товарного знака ИНФОУРОК: ООО «Инфоурок» (Свидетельство № 581999 )

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *