Теорема о разложении вектора по базису

Теорема о разложении вектора по базису

Всякий элемент n-мерного линейного пространства можно представить, притом единственным образом, как линейную комбинацию векторов базиса.

Это означает: ē1. ē2. …, ēn — линейно зависимы, что противоречит условию: ē1. ē2. …, ēn базис, то есть линейно независимая система векторов.

Итак, &#&55;n+1 ≠0, тогда . то есть

Таким образом, показали, что любой вектор можно представить как линейную комбинацию векторов базиса.

Покажем, что такое разложениеединственно. Предположим, что наряду с полученным разложением ā по базису . существует другое .

Так как векторы ē1. ē2. …, ēn — линейно независимы, то последнее равенство имеет место только тогда, когда .

Таким образом, &#&56;i =&#&47;i для . а следовательно, разложение вектора по базису единственно.

Всякий базис линейного пространства, векторы которого берутся в определенной последовательности, называютсистемой координат, а числа — коэффициенты в разложении любого вектора ā по базису — называюткоординатами вектора ā.

Последнее выражение называютформулой разложения вектора по базису.

В общем случае при изменении базиса, координаты вектора изменяются.

Вектор можно задавать с помощью координат ā=(x1 ,x2 ,…,xn ).

Рассмотрим два вектора:

Используя определение линейного пространства, покажите что:

1) при сложении векторов их соответствующие координаты складываются:

2) при умножении вектора на скаляр &#&55;, каждая координата умножается на это число: &#&55; ā=(&#&55;x1. &#&55;x2. …, &#&55;xn ).

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

П.2. Разложение вектора по базису.

Определение. Пусть – произвольный вектор, – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса .

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и –базис . Возьмем произвольный вектор . Так как оба вектора и коллинеарные одной и той же прямой L, то . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как . то найдется (существует) такое число . что и тем самым мы получили разложение вектора по базису векторного пространства .

Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису векторного пространства :

и . где . Тогда и используя закон дистрибутивности, получаем:

Так как . то из последнего равенства следует, что . ч.т.д.

2) Пусть теперь Р произвольная плоскость и – базис . Пусть произвольный вектор этой плоскости. Отложим все три вектора от какой-нибудь одной точки этой плоскости. Построим 4 прямых. Проведемпрямую . на которой лежит вектор . прямую . на которой лежит вектор . Через конец вектора проведем прямую параллельную вектору и прямую параллельную вектору . Эти 4 прямые высекают параллелограмм. См. ниже рис. 3. По правилу параллелограмма . и . . – базис . – базис .

Теперь, по уже доказанному в первой части этого доказательства, существуют такие числа . что

и . Отсюда получаем:

и возможность разложения по базису доказана.

Теперь докажем единственность разложения по базису. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису векторного пространства . и . Получаем равенство

. откуда следует . Если . то . а т.к. . то и коэффициенты разложения равны: . . Пусть теперь . Тогда . где . По теореме о коллинеарностидвух векторов отсюда следует, что . Получили противоречие условию теоремы. Следовательно, и . ч.т.д.

3) Пусть – базис и пусть произвольный вектор. Проведем следующие построения.

Отложим все три базисных вектора и вектор от одной точки и построим 6 плоскостей: плоскость, в которой лежат базисные векторы . плоскость и плоскость ; далее через конец вектора проведем три плоскости параллельно только что построенным трем плоскостям. Эти 6 плоскостей высекают параллелепипед:

Теорема о разложении вектора по базису По правилу сложения векторов получаем равенство:

По построению . Отсюда, по теореме о коллинеарности двухвекторов, следует, что существует число . такое что . Аналогично, и . где . Теперь, подставляя эти равенства в (1), получаем:

и возможность разложения по базису доказана.

Докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису :

Заметим, что по условию векторы некомпланарные, следовательно, они попарно неколлинеарные.

Возможны два случая: или .

а) Пусть . тогда из равенства (3) следует:

Из равенства (4) следует, что вектор раскладывается по базису . т.е. вектор лежит в плоскости векторов и, следовательно, векторы компланарные, что противоречит условию.

б) Остается случай . т.е. . Тогда из равенства (3) получаем или

Так как – базис пространства векторов лежащих в плоскости, а мы уже доказали единственность разложения по базису векторов плоскости, то из равенства (5) следует, что и . ч.т.д.

45) Линейное подпространство линейного пространства

Определение.Множество M векторов линейного пространства L, такое, что для любыхииз M и любого числасправедливо, назвается линейным подпространством линейного пространства L.

Пример. Множество M арифметических векторов из R n. у которых последние компоненты — нулевые, образует линейное подпространство в R n :

Можно доказать, что если M — линейное подпространство линейного пространства L, то нулевой элемент пространства L принадлежит M и если . то и .

Справедливо следующее утверждение

Линейное подпространство линейного пространства является линейным пространством.

2.7. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису

Пусть и — два базиса в n -мерном линейном пространстве L .

Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица C. столбцами которой являются координаты векторов в базисе :

Вектор Теорема о разложении вектора по базису линейно выражается через векторы обоих базисов. Тогда, если Теорема о разложении вектора по базису

токоординаты вектора в базисе . и его координаты в базисе связаны соотношениями

Теорема о разложении вектора по базису ,

где . — матрица перехода от базиса к базису и обратная к ней; — векторы-столбцы координат вектора в соответствующих базисах.

Таким образом доказана следующая

Координаты вектора в базисе (e ) и координаты вектора в базисе (f )связаны соотношением

где . — матрица перехода от базиса (e ) к базису (f ) и обратная к ней .

Теорема (о единственности разложения по данному базису).

Все темы данного раздела:

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Множество элементов любой природы называется линейным или векторным пространством, а его элементы

Множество числовых функций.
Рассмотрим множество числовых функций, определенных на некотором промежутке. Любым двум функциям и

Теорема (о существовании и единственности разности элементов).
Для любых двух векторов линейного пространства, существует такой единственный вектор

Теорема (об условиях равенства нулю произведения числа на вектор).
Произведение числа на вектор равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда число равно нулю или вектор равен нулевому вектору. Доказательство.Пусть число

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ И ИХ СВОЙСТВА
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет

Теорема (о разложении определителя по любой строке или столбцу).
Определитель порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие алгебраи

Доказательство.
Напишем формулу разложения определителя по первой строке. Вид этой формулы не за

Теорема (об определителе произведения двух матриц).
Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей матриц сомножителей. Теоре

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Общая система из линейных алгебраических уравнений с

Теорема (о существовании и единственности обратной матрицы).
Любая квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу, вычисляемую по формуле. тогда и только тогда, ког

Доказательство.
Докажем, что условие. является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно

Теорема Крамера.
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле

Доказательство.
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица

Теорема (о линейных свойствах координат векторов).
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число. Доказательство

Доказательство.
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра

Доказательство.
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн

Теорема (о приведении к ступенчатой матрице).
Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований. Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных

Теорема (о ранге ступенчатой матрицы).
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб

Теорема (о равносильных переходах).
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе. Доказательство теоремы следует непосредственно из оп

Доказательство.
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх

Исследование и решение однородных систем уравнений.
Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое (тривиальное) решение

Доказательство.
Необходимость.Пусть есть конечномерное пространство размерности

Теорема (о виде общего решения неоднородной системы уравнений).
Решение неоднородной системы уравнений всегда может быть представлено как сумма общего решения соответствующей

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл

Евклидовы пространства.
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов

Доказательство.
Пусть есть ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства. Предположим, что выполняется ра

Теорема (основные свойства ортонормированного базиса).
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса. 2. Скалярное произведение двух

Определение.
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы

Линейные геометрические объекты.
Определение.Пусть есть некоторый ненулевой вектор, а

Разложение вектора по базису.

Определение: ПустьТеорема о разложении вектора по базису– произвольный вектор,Теорема о разложении вектора по базису– произвольнаясистемавекторов. Если выполняется равенствоТеорема о разложении вектора по базису, (1)

то говорят, что векторТеорема о разложении вектора по базисупредставлен в виде линейной комбинации даннойсистемывекторов. Если даннаясистемавекторовТеорема о разложении вектора по базисуявляется базисомвекторногопространства, торавенство(1) называется разложением вектораТеорема о разложении вектора по базисупо базисуТеорема о разложении вектора по базису. Коэффициенты линейной комбинацииТеорема о разложении вектора по базисуназываются в этом случае координатами вектораТеорема о разложении вектора по базисуотносительно базисаТеорема о разложении вектора по базису.

Теорема: (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторногопространстваможно разложить по его базису и притом единственным способом.

1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и Теорема о разложении вектора по базису–базисТеорема о разложении вектора по базису. Возьмем произвольный векторТеорема о разложении вектора по базису. Так как оба вектораТеорема о разложении вектора по базисуиТеорема о разложении вектора по базисуколлинеарные одной и той жепрямойL, тоТеорема о разложении вектора по базису. Воспользуемся теоремой о коллинеарностидвухвекторов. Так какТеорема о разложении вектора по базису, то найдется (существует) такоечислоТеорема о разложении вектора по базису, чтоТеорема о разложении вектора по базисуи тем самым мы получили разложение вектораТеорема о разложении вектора по базисупо базисуТеорема о разложении вектора по базисувекторногопространстваТеорема о разложении вектора по базису.

Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектораТеорема о разложении вектора по базисупо базисуТеорема о разложении вектора по базисувекторногопространстваТеорема о разложении вектора по базису:

Теорема о разложении вектора по базисуиТеорема о разложении вектора по базису, гдеТеорема о разложении вектора по базису. ТогдаТеорема о разложении вектора по базисуи используя закон дистрибутивности, получаем:

Теорема о разложении вектора по базису.

Так как Теорема о разложении вектора по базису, то из последнего равенства следует, чтоТеорема о разложении вектора по базису, ч.т.д.

2) Пусть теперь Р произвольная плоскостьиТеорема о разложении вектора по базису–базисТеорема о разложении вектора по базису. ПустьТеорема о разложении вектора по базисупроизвольный вектор этой плоскости. Отложим все три вектора от какой-нибудь одной точки этой плоскости. Построим 4 прямых. ПроведемпрямуюТеорема о разложении вектора по базису, на которой лежит векторТеорема о разложении вектора по базису,прямуюТеорема о разложении вектора по базису, на которой лежит векторТеорема о разложении вектора по базису. Через конец вектораТеорема о разложении вектора по базисупроведемпрямуюпараллельную векторуТеорема о разложении вектора по базисуи прямую параллельную векторуТеорема о разложении вектора по базису. Эти 4прямыевысекают параллелограмм. См. ниже рис. 3. По правилу параллелограммаТеорема о разложении вектора по базису, иТеорема о разложении вектора по базису,Теорема о разложении вектора по базису,Теорема о разложении вектора по базису–базисТеорема о разложении вектора по базису,Теорема о разложении вектора по базису–базисТеорема о разложении вектора по базису.

Теперь, по уже доказанному в первойчастиэтого доказательства, существуют такиечислаТеорема о разложении вектора по базису, что

Теорема о разложении вектора по базисуиТеорема о разложении вектора по базису. Отсюда получаем:

Теорема о разложении вектора по базисуи возможность разложения по базису доказана.

Теорема о разложении вектора по базису

Теперь докажем единственность разложения по базису. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора Теорема о разложении вектора по базисупо базисуТеорема о разложении вектора по базисувекторногопространстваТеорема о разложении вектора по базису:Теорема о разложении вектора по базисуиТеорема о разложении вектора по базису. Получаем равенство

Теорема о разложении вектора по базису, откуда следуетТеорема о разложении вектора по базису. ЕслиТеорема о разложении вектора по базису, тоТеорема о разложении вектора по базису, а т.к.Теорема о разложении вектора по базису, тоТеорема о разложении вектора по базисуи коэффициенты разложения равны:Теорема о разложении вектора по базису,Теорема о разложении вектора по базису. Пусть теперьТеорема о разложении вектора по базису. ТогдаТеорема о разложении вектора по базису, гдеТеорема о разложении вектора по базису. По теореме о коллинеарностидвухвекторовотсюда следует, чтоТеорема о разложении вектора по базису. Получили противоречие условию теоремы. Следовательно,Теорема о разложении вектора по базисуиТеорема о разложении вектора по базису, ч.т.д.

3) Пусть Теорема о разложении вектора по базису–базисТеорема о разложении вектора по базисуи пустьТеорема о разложении вектора по базисупроизвольный вектор. Проведем следующие построения.

Отложим все три базисных вектора Теорема о разложении вектора по базисуи векторТеорема о разложении вектора по базисуот одной точки и построим 6 плоскостей: плоскость, в которой лежат базисныевекторыТеорема о разложении вектора по базису,плоскостьТеорема о разложении вектора по базисуиплоскостьТеорема о разложении вектора по базису; далее через конец вектораТеорема о разложении вектора по базисупроведем триплоскостипараллельно только что построенным трем плоскостям. Эти 6плоскостейвысекают параллелепипед:

Теорема о разложении вектора по базису

По правилу сложениявекторовполучаем равенство:

По построению Теорема о разложении вектора по базису. Отсюда, по теореме о коллинеарностидвухвекторов, следует, что существуетчислоТеорема о разложении вектора по базису, такое чтоТеорема о разложении вектора по базису. Аналогично,Теорема о разложении вектора по базисуиТеорема о разложении вектора по базису, гдеТеорема о разложении вектора по базису. Теперь, подставляя эти равенства в (1), получаем:

и возможность разложения по базису доказана.

Докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора Теорема о разложении вектора по базисупо базисуТеорема о разложении вектора по базису:

Заметим, что по условию векторы Теорема о разложении вектора по базисунекомпланарные, следовательно, они попарно неколлинеарные.

Возможны два случая: Теорема о разложении вектора по базисуилиТеорема о разложении вектора по базису.

а) Пусть Теорема о разложении вектора по базису, тогда из равенства (3) следует:

Из равенства (4) следует, что вектор Теорема о разложении вектора по базисураскладывается по базисуТеорема о разложении вектора по базису, т.е. векторТеорема о разложении вектора по базисулежит вплоскостивекторовТеорема о разложении вектора по базисуи, следовательно,векторыТеорема о разложении вектора по базисукомпланарные, что противоречит условию.

б) Остается случай Теорема о разложении вектора по базису, т.е.Теорема о разложении вектора по базису. Тогда из равенства (3) получаемТеорема о разложении вектора по базисуили

Так как Теорема о разложении вектора по базису–базиспространствавекторовлежащих в плоскости, а мы уже доказали единственность разложения по базисувекторовплоскости, то из равенства (5) следует, чтоТеорема о разложении вектора по базисуиТеорема о разложении вектора по базису, ч.т.д.

Контравариантные и ковариантные векторы

Пусть V -некоторое векторное пространство. Пусть в векторном пространстве V задан некоторый базис Теорема о разложении вектора по базису. Произвольный векторТеорема о разложении вектора по базисуможно представить как линейную комбинацию векторов базиса:Теорема о разложении вектора по базису. Обозначим координаты с верхним индексом и примем правило Эйнштейна — если в выражении участвуют одинаковые разноуровневые индексы, то по ним предполагается суммирование. Таким образом можно записать:Теорема о разложении вектора по базису. Зададим новый базис с помощью матрицы преобразованияТеорема о разложении вектора по базису. По тем же соображениям введем нижние и верхние индексы (чтобы не писать знаки суммирования) —Теорема о разложении вектора по базису. ТогдаТеорема о разложении вектора по базису(предполагается суммирование по индексу j). Обозначив обратную матрицуТеорема о разложении вектора по базисуможно записать:Теорема о разложении вектора по базису. Подставив эту формулу в координатное представление вектора x получим:Теорема о разложении вектора по базису. Таким образом координаты вектора в новом базисе оказываются равнымиТеорема о разложении вектора по базису, то есть преобразуются «противоположно» (обратно) изменению базиса. По этой причине такие векторы называют контравариантными — изменяющимися противоположно базису. Контравариантные векторы — это обычные векторы. Контрвариантные векторы в координатном представлении обычно записывают как «вектор-столбец».

Пространство всех линейных функционалов, отображающих векторы в числа называют сопряженным пространством V*. Оно также является векторным пространством. В этом пространстве также можно определить базис. Обозначим элементы базиса сопряженного пространства с верхним индексом Теорема о разложении вектора по базису. Любой функционал можно представить в этом базисе через координаты, которые будем обозначать нижними индексами. Тогда применяя правило Эйнштейна можем записать:Теорема о разложении вектора по базису, то есть любой линейный функционал можно записать просто набором чиселТеорема о разложении вектора по базису, как обычный вектор (за исключением нижнего расположения индекса).

Выберем базис в сопряженном пространстве так, что Теорема о разложении вектора по базису, то есть эти функционалы находятТеорема о разложении вектора по базису-ю координату вектора (проекцию на базисный векторТеорема о разложении вектора по базису). Такой базис называютдуальным (базису основного пространства). При смене базиса основного пространства необходимо сохранить это условие, то есть Теорема о разложении вектора по базису. Таким образом, дуальный базис изменяется обратно изменению основного базиса. Координаты произвольного линейного функционалаТеорема о разложении вектора по базисубудут меняться противоположно собственному базису (как и в любом пространстве), то есть с помощью матрицыТеорема о разложении вектора по базису. Следовательно, они будут меняться так как основной базис! Это свойство называютковариантностью. Сами линейные функционалы в координатном представлении в дуальном базисе называют ковекторами. Внешне ковектор «выглядит» как обычный вектор — в смысле обычного набора чисел, представляющих его координаты. Отличие ковектора от контрвариантного вектора заключается в правиле преобразования его координат при смене базиса — они преобразуются так как базис, в отличие от контрвариантных векторов, преобразующихся противоположно базису. Для идентификации ковекторов используется нижний индекс, в отличие от обычных (контравариантных) векторов. Ковекторы в координатной форме записывают как «вектор-строку».

Разложение вектора по базису

Векторы Теорема о разложении вектора по базису заданы в одном базисе. Пусть искомое разложение имеет вид:

Теорема о разложении вектора по базису

Запишем это равенство в векторной форме:

Теорема о разложении вектора по базису

При умножении вектора на число надо каждую координату этого вектора умножить на указанное число:

Теорема о разложении вектора по базису

Чтобы найти сумму векторов, заданных своими координатами, необходимо просуммировать соответствующие координаты:

Теорема о разложении вектора по базису

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты, то есть получаем следующую систему относительно неизвестных коэффициентов Теорема о разложении вектора по базису разложения:

Теорема о разложении вектора по базису

Найдем решение полученной системы, например, методом Крамера. Основной определитель системы:

Теорема о разложении вектора по базису

Вычислим теперь вспомогательные определители системы:

Теорема о разложении вектора по базису

Теорема о разложении вектора по базису

Теорема о разложении вектора по базису

Теорема о разложении вектора по базису

Следовательно, искомое разложение

Теорема о разложении вектора по базису

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *