Теорема о среднем

Первая теорема о среднем

Доказательство

Из неравенства m ≤ f ( x ) ≤ M <\displaystyle m\leq f(x)\leq M> по свойству монотонности интеграла имеем

Обозначив μ = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x <\displaystyle \mu =<\frac <1>>\int _^f(x)dx> . получим требуемое утверждение. Так определённое число μ <\displaystyle \mu > называют средним значением функции f ( x ) <\displaystyle f(x)> на отрезке [ a ; b ] <\displaystyle [a;b]> . откуда и название теоремы.

Если функция f ( x ) <\displaystyle f(x)> непрерывна на [ a ; b ] <\displaystyle [a;b]> . то в качестве m <\displaystyle m> и M <\displaystyle M> можно взять её наибольшее и наименьшее значения (которые, по теореме Вейерштрасса. достигаются), тогда по известной теореме существует такая точка c ∈ [ a ; b ] <\displaystyle c\in [a;b]> . что f ( c ) = μ <\displaystyle f(c)=\mu > . поэтому утверждение теоремы можно переписать в виде

Если воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница. то это равенство запишется как

Пусть функции f ( x ) <\displaystyle f(x)> и g ( x ) <\displaystyle g(x)> интегрируемы на отрезке [ a ; b ] <\displaystyle [a;b]> . причём по-прежнему m ≤ f ( x ) ≤ M <\displaystyle m\leq f(x)\leq M> . а вторая из них не меняет знак (то есть либо всюду неотрицательна: g ( x ) ≥ 0 <\displaystyle g(x)\geq 0> . либо всюду неположительна g ( x ) ≤ 0 <\displaystyle g(x)\leq 0> ). Тогда существует такое число μ <\displaystyle \mu > . m ≤ μ ≤ M <\displaystyle m\leq \mu \leq M> . что

Доказательство

Пусть g ( x ) <\displaystyle g(x)> неотрицательна, тогда имеем

откуда, ввиду монотонности интеграла

m ∫ a b g ( x ) d x ≤ ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ≤ M ∫ a b g ( x ) d x <\displaystyle m\int \limits _^g(x)dx\leq \int \limits _^f(x)g(x)dx\leq M\int \limits _^g(x)dx> .

Если ∫ a b g ( x ) d x = 0 <\displaystyle \int _^g(x)dx=0> . то из этого неравенства следует, что ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = 0 <\displaystyle \int _^f(x)g(x)dx=0> . и утверждение теоремы выполняется при любом μ <\displaystyle \mu > . В противном случае положим

Обобщение доказано. Если функция f ( x ) <\displaystyle f(x)> непрерывна, можно утверждать, что существует точка c ∈ [ a ; b ] <\displaystyle c\in [a;b]> такая, что

  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М. Наука, 1969. — Т. II.
  • Зорич В. А. Математический анализ. Ч. I. — М. Наука, 1981.

(Ролль (1652-1719)- французский математик)

Если функцияf (x ) непрерывна на отрезке [a ,b ], дифференцируема на интервале (а,b ) и значения функции на концах отрезка равныf (a ) =f (b ), то на интервале (а,b ) существует точкаe ,a <e <b. в которой производная функцияf (x ) равная нулю,

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале ( a. b ) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f ( x ) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке функция f ( x ) на отрезке [ a. b ] принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти значения М и m соответственно. Возможны два различных случая М = m и M ¹ m .

Пусть M = m. Тогда функция f ( x ) на отрезке [ a. b ] сохраняет постоянное значение и в любой точке интервала ее производная равна нулю. В этом случае за e можно принять любую точку интервала.

Пусть М = m. Так значения на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений М или m функция принимает внутри отрезка [ a. b ]. Обозначим e. a < e < b точку, в которой f ( e ) = M. Так как М- наибольшее значение функции, то для любого D х ( будем считать, что точка e + D х находится внутри рассматриваемого интервала) верно неравенство:

Но так как по условию производная в точке e существует, то существует и предел .

Т.к. и . то можно сделать вывод:

Теорема Ролля имеет несколько следствий :

1) Если функция f ( x ) на отрезке [ a. b ] удовлетворяет теореме Ролля, причем f ( a ) = f ( b ) = = 0, то существует по крайней мере одна точка e. a < e < b. такая, что f ¢ ( e ) = 0. Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

2) Если на рассматриваемом интервале (а, b ) функция f ( x ) имеет производную ( n -1)- го порядка и n раз обращается в нуль, то существует по крайней мере одна точка интервала, в котором производная ( n – 1) – го порядка равна нулю.

(Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик)

Если функцияf (x ) непрерывна на отрезке [a ,b ] и дифференцируема на интервале (а,b ), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точкаe

Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Отношение равно угловому коэффициенту секущей АВ.

Если функция f ( x ) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b ) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f ( x ) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно.

Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию

Уравнение секущей АВ можно записать в виде:

Функция F ( x ) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [ a. b ] и дифференцируема на интервале (а, b ). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка e. a < e < b. такая что F ¢ ( e ) = 0.

Определение. Выражение называется формулой

Лагранжа или формулой конечных приращений.

В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем.

Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде:

где 0 < q < 1, D x = b – a, D y = f(b) – f(a).

( Коши (1789-1857)- французский математик)

Если функцииf (x ) иg (x ) непрерывны на отрезке [a ,b ] и дифференцируемы на интервале (a ,b ) иg¢ (x )¹ 0 на интервале (a ,b ), то существует по крайней мере одна точкаe.a <e <b. такая, что

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e .

Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это- очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

которая на интервале [ a. b ] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F ( a ) = F ( b ) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка e.

a < e < b. такая, что F ¢ ( e ) = 0. Т.к.

Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является частным случаем (при g ( x ) = x ) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши очень широко используется для раскрытия так называемых неопределенностей. Применение полученных результатов позволяет существенно упростить процесс вычисления пределов функций, что будет подробно рассмотрено ниже.

III Теорема о среднем значении

Пусть функция Теорема о среднем непрерывна на замкнутом промежутке [a ,b ],

Теорема о среднемили Теорема о среднем. Тогда на этом промежутке найдётся точка c такая, что

Теорема о среднем

Доказательство. Из непрерывности функции следует, что она достигает своего наименьшего и наибольшего значений. Обозначим:

Теорема о среднем

Пусть Теорема о среднем. В силу свойства 9:

Теорема о среднем

Разделим это неравенство почленно на b–a :

Теорема о среднем

Обозначим Теорема о среднем. Тогда Теорема о среднем. Но непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, принимает и все промежуточные значения, т.е. Теорема о среднем – это и доказывает теорему для Теорема о среднем. Если жеТеорема о среднем, то

Теорема о среднем

Умножив обе части этого неравенства на (–1), получим утверждение теоре-мы для Теорема о среднем.

Замечание – определение. Число Теорема о среднем называют сред-ним значением функции Теорема о среднемна отрезке [a ,b ] .

§5. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция Теорема о среднем интегрируема на [a ,b ]. Тогда для любого фиксированного Теорема о среднем. она интегрируема и на [a ,x ]. т.е. существует интеграл Теорема о среднем.Переменную интегрирования берём отличной от верхнего предела, чтобы не возникало путаницы. Если изменять верхний предел интегрирования, то будет, очевидно, меняться и сам интеграл, т.е. этот интеграл является функцией верхнего предела:

Теорема о среднем

Если вспомнить геометрический смысл определённого интеграла, как площадь криволинейной трапеции, то, например, для функции Теорема о среднем легко получить

Теорема о среднем

Здесь нетрудно заметить, что Теорема о среднем. Оказывается, это свойство справедливо для любой непрерывной функции Теорема о среднем.

Теорема Барроу (1667г). Пусть функция Теорема о среднем непрерывна на отрез- ке [a ,b ]. Тогда функция Теорема о среднем дифференцируема на [a ,b ], причём:

Теорема о среднем

Другими словами, производная определенного интеграла по верхнему преде- лу равна значению подынтегральной функции на этом пределе:

Теорема о среднем

Доказательство. Вычислим Теорема о среднем по определению. Для этого найдём сначала приращения Теорема о среднем. Используя аддитивность интеграла и теорему о среднем значении, получим

Теорема о среднем

Теорема о среднемТеорема о среднем

Здесь сТеорема о среднем. Сразу заметим, что, если Теорема о среднем, то cТеорема о среднемx. Итак, имеем по определению:

Теорема о среднем

Последнее равенство – это следствие непрерывности Теорема о среднем. Теорема доказана.

Замечание 1. Доказанное равенство Теорема о среднем=Теорема о среднемозначает, что функция Теорема о среднем– это первообразная для функции Теорема о среднем. Таким образом, мы доказали Теорему 1 из §1 темы «Неопределённый интеграл»: всякая непрерывная функция имеет первообразную.

Замечание 2. Несколько очевидных формул:

Теорема о среднемТеорема о среднемТеорема о среднем

Теорема о среднем.

Замечание 3. Обобщением результата теоремы Барроу является т.н. формула Лейбница:

Теорема о среднем

Здесь функция h (x ) и g (x ) должны быть дифференцируемыми, а функцияТеорема о среднемнепрерывна и иметь непрерывную частную производную по переменнойx.

Задачи. 1. Вычислить пределы:

2. Доказать, что Теорема о среднем при Теорема о среднем.

Напомним, что правило Бернулли–Лопиталя можно применять только к неопределённым выражениям. Используйте здесь свойства определённого интеграла (например, об интегрировании неравенств).

§6. Вычисление определённого интеграла

Теорема 1. Пусть функция Теорема о среднемнепрерывна на отрезке [a ,b ]. Если F (x ) некоторая её первообразная, то справедлива формула:

Теорема о среднем

которую называют формулой Ньютона – Лейбница или основной формулой интегрального исчисления.

Доказательство. В силу теоремы Барроу интеграл с переменным верхним пределом

Теорема о среднем

является одной из первообразных для функции Теорема о среднем. А так как F (x ) – некоторая другая первообразная, то Ф(x )=F (x )+C. Постоянную С можно определить, если положить x=a: 0=F (a )+С Теорема о среднемС= –F (a ). Окончательно:

Теорема о среднем

В частности, при Теорема о среднем мы и получим формулу Ньютона – Лейбница.

Итак, значение определённого интеграла выражается разностью значений на верхнем и нижнем пределах интегрирования любой первообразной подынтегральной функции.

Замечаниеобозначение. Разность значений первообразной F (b ) –F (a ) обычно изображают символом Теорема о среднем(«двойная подстановка ота до b »). Тогда основная формула принимает вид:

Теорема о среднемТеорема о среднем

Ещё раз напомним: здесь Теорема о среднем

Теорема о среднем

Замечание. Вообще говоря, в случае сложной подынтегральной функции можно начать с вычисления первообразной, т.е. неопределённого интеграла, и лишь потом использовать формулу Ньютона – Лейбница.

Пример 2. Вычислить Теорема о среднемИмеем:

Теорема о среднем

Теорема о среднем=

Теорема о среднем

Теперь легко вычислить I:

Однако, необходимо отметить, что для определённого интеграла есть формулы замены переменной и интегрирования по частям.

Задачи. 1. Почему применение формулы Ньютона–Лейбница к ин-тегралу

Теорема о среднем

приводит к парадоксальному результату? Да, кстати, а в чём парадоксальность?

2. Как получить результат примера 2 Теорема о среднем, используя лишь смысл определенного интеграла?

для которого выполняется равенство (24.28).
В силу условий (24.37), (24.38), согласно теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции, на отрезке [a ,b ] существует точка , для которой имеет место равенство f ( ) = , а поэтому и равенство (24.29). Покажем, что, более того, точку всегда можно выбрать так, что она будет лежать на интервале (a ,b ). Если g (x )dx = 0. то из формулы (24.28) следует f (x )g (x )dx = 0. поэтому равенство (24.29) выполняется при любом выборе точки (a ,b ). Пусть теперь

и для определенности g (x ) > 0 во всех точках x отрезка [a ,b ], а следовательно,

(случай. g (x ) < 0, a<x9lt;b сводится к рассматриваемому заменой функции g (x ) на функцию —g (x ): применив к неотрицательной функции g (x ) формулу (24.29) и умножив обе части равенства на -1, получим и в этом случае формулу (24.29)).
Из выполнения условий (24.39) и (24.40) следует, что

В силу неравенства (24.38) возможны три случая: m < < M. = M и = m. Если m < < M. то из условий (24.37) согласно теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции следует, что между точками и , а следовательно, на интервале (a ,b ) существует такая точка , что f ( ) = .
Если же = M. то равенство (24.28) примет вид

/ Лекция 18. Теоремы о среднем значении

Лекция 18. Теоремы о среднемзначении.

18.1. Теоремы о среднем значении.

Определение 18.1.ФункцияТеорема о среднемдостигает в точкеТеорема о среднемлокального максимума (минимума),если существует окрестностьТеорема о среднемэтой точки, на которой выполняется неравенствоТеорема о среднемилиТеорема о среднемдляТеорема о среднем(соответственноТеорема о среднемилиТеорема о среднемдляТеорема о среднем). Локальный максимум и локальный минимум называютсялокальным экстремумом.

Замечание 18.1. Если функция Теорема о среднемнепрерыв­на на отрезке Теорема о среднеми достигает на нём максимума (ми­нимума) в точке Теорема о среднем, то, очевидно, точкаc явля­ется в то же время точкой локального максимума (ми­нимума) Теорема о среднем. Другое дело, если максимум (минимум) Теорема о среднемна Теорема о среднемдостигается в одной из концевых точек отрезка. Такая точка не является точкой локального максимума (минимума) Теорема о среднем, т.к. Теорема о среднемне определена в полной окрестности концевых точек (см. рис. 18.1).

Теорема о среднем

Теорема 18.1(Ферма1).Пусть функцияТеорема о среднемопределена на интервалеТеорема о среднем. Если функцияТеорема о среднемимеет производную в точкеТеорема о среднеми достигает в этой точке локального экстремума, тоТеорема о среднем.

Доказательство. Для определённости будем считать, что Теорема о среднемимеет в точкеc локальный максимум. По определению производной Теорема о среднем.

Так как для Теорема о среднемТеорема о среднем, то Теорема о среднемпри Теорема о среднем, т.е.

Если же Теорема о среднем, то Теорема о среднем, т.е.

Из (18.1) и (18.2) вытекает, что Теорема о среднем .

Теорема 18.2(Ролля2).Если функцияТеорема о среднемнепрерывна наТеорема о среднем, дифференцируема наТеорема о среднемиТеорема о среднем, то существует, по крайней мере одна, точкаТеорема о среднемтакая, чтоТеорема о среднем.

Доказательство. 1) Если Теорема о среднемпостоянна на Теорема о среднем, то для всех Теорема о среднемпроизводная Теорема о среднем.

2) Будем считать, что Теорема о среднемнепостоянна на Теорема о среднем. Т.к. Теорема о среднемнепрерывна на Теорема о среднем, то существует точка Теорема о среднем, в которой Теорема о среднемдостигает максимума на Теорема о среднем, и существует точка Теорема о среднем, в которой Теорема о среднемдостигает минимума на Теорема о среднем.

Обе точки Теорема о среднем, Теорема о среднемне могут быть концевыми точками, иначе

Теорема о среднем

и Теорема о среднембыла бы постоянной на Теорема о среднем. Следовательно, одна из точек Теорема о среднем, Теорема о среднемпринадлежит интервалу Теорема о среднем. Обозначим её Теорема о среднем. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, Теорема о среднемсуществует, потому что по условию Теорема о среднемсуществует для всех точек Теорема о среднем. Поэтому, по теореме Ферма Теорема о среднем.

Замечание 18.2. Теорема Ролля сохраня­ет силу также для интервала Теорема о среднем, лишь бы вы­полнялось соотношение Теорема о среднем.

Замечание 18.3. Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции Теорема о среднемсуществует точка Теорема о среднем, касательная в которой параллельна осиOx. (см.рис. 18.2 ).

Теорема о среднем

Теорема 18.3(Коши1).Если функцииТеорема о среднемиТеорема о среднемнепрерывны наТеорема о среднем, дифференци­руемы наТеорема о среднемиТеорема о среднемвТеорема о среднем, то существует точкаТеорема о среднемтакая, чтоТеорема о среднем.

Доказательство. Заметим, что Теорема о среднем, т.к. иначе по теореме Ролля нашлась бы точка Теорема о среднем: Теорема о среднем, чего не может быть по условию теоремы.

Составим вспомогательную функцию Теорема о среднем. Функ­ция Теорема о среднемнепрерывна на Теорема о среднем, дифференцируема на Теорема о среднеми Теорема о среднем(проверить!). По теореме Ролля существует точка Теорема о среднем, в которой Теорема о среднем. Но Теорема о среднем. Подставим Теорема о среднеми получим, что Теорема о среднем.

Замечание 18.4. В формуле Коши необязательно Теорема о среднем, можно взять Теорема о среднем.

Теорема 18.4(Лагранжа2).Пусть функцияТеорема о среднемнепрерывна наТеорема о среднем, имеет производную наТеорема о среднем. Тогда существует точкаТеорема о среднемдля которойТеорема о среднемТеорема о среднем.

Доказательство. Введём функцию Теорема о среднем. Функция Теорема о среднемудовле­творяет условиям теоремы Ролля: 1) непрерывна на Теорема о среднем; 2) дифференцируема на Теорема о среднем; 3) Теорема о среднем, Теорема о среднемТеорема о среднемТеорема о среднем. Следовательно, существует точка Теорема о среднем: Теорема о среднем. Но Теорема о среднеми получаем, что Теорема о среднем, Теорема о среднем.

Замечание 18.5. Теорему Лагранжа можно доказать как следствие теоремы Коши, взяв Теорема о среднем.

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Запишем её в виде

Левая часть равенства (18.3) – это тангенс угла на­клона к оси Ox хорды, стягивающей точки Теорема о среднеми Теорема о среднемграфика функции Теорема о среднем, а правая часть – тан­генс угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке с абсциссой Теорема о среднем. Таким обра­зом, если кривая есть график непрерывной на Теорема о среднемфунк­ции, имеющей производную на Теорема о среднем, то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе Теорема о среднем, такая что касательная в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой Теорема о среднеми Теорема о среднем.

Теорема о среднем

Формула (18.3) называется формулой конечных приращений. Промежуточное значениеc удобно записывать в виде Теорема о среднем, где Теорема о среднем.Формула Лагранжа:

Теорема о среднем.

Она верна не только для Теорема о среднем, но и для Теорема о среднем.

Пример 18.1. Оценим Теорема о среднем.

Теорема о среднем. По теореме Лагранжа

Теорема о среднем.

Теорема 18.5.1) ФункцияТеорема о среднем, непрерывная на отрезкеТеорема о среднеми имеющая неотрицательную (положительную) производную на интервалеТеорема о среднем, не убывает (строго возрастает) на отрезкеТеорема о среднем.

Доказательство. Пусть Теорема о среднем. По теореме Лагранжа существует точка Теорема о среднем, для которой Теорема о среднем. Если Теорема о среднем, то Теорема о среднемТеорема о среднемТеорема о среднем– функция Теорема о среднемне убывает. Если Теорема о среднем, то Теорема о среднемТеорема о среднемТеорема о среднем– функция Теорема о среднемстрого возрастает.

2) ФункцияТеорема о среднем, непрерывная на отрезкеТеорема о среднеми имеющая неположительную (отрица­тельную) производную на интервалеТеорема о среднем, не возрастает (строго убывает) на отрезкеТеорема о среднем.

Доказательство аналогично пункту 1).

Пример 18.2. Функция Теорема о среднемимеет непрерывную производную Теорема о среднемдля Теорема о среднем.

Теорема о среднем,Теорема о среднем.

Следовательно, она (функция) строго возрастает и непрерывно дифференцируема на Теорема о среднем. Поэтому она имеет обратную однозначную непрерывно дифференцируемую функцию Теорема о среднем, Теорема о среднем.

Теорема 18.6.Если функцияТеорема о среднемимеет на интервалеТеорема о среднемпроизводную, равную нулю, то она постоянна наТеорема о среднем.

Доказательство. По теореме Лагранжа Теорема о среднем, Теорема о среднем– фиксированная точка,x – произвольная точка, Теорема о среднем(или Теорема о среднем). Так как Теорема о среднем, то Теорема о среднеми Теорема о среднемдля Теорема о среднем.

18.2. Правило Лопиталя.

Теорема 18.7(1-е правило Лопиталя1).Пусть функцииТеорема о среднемиТеорема о среднемопределены и дифференцируемы в окрестности точкиТеорема о среднем, за исключением, быть может, самой точкиa,Теорема о среднемиТеорема о среднем,Теорема о среднемвТеорема о среднем. Тогда, если существуетТеорема о среднем, то существуетТеорема о среднемиТеорема о среднем.

Доказательство. Будем считать, чтоa – конечное число. Доопределим функции Теорема о среднеми Теорема о среднемв точке Теорема о среднем. Пусть Теорема о среднем. Тогда эти функции будут непрерывны в точкеa. На Теорема о среднемфункции Теорема о среднеми Теорема о среднемнепрерывны, на Теорема о среднемдифференцируемы. По теореме Коши существует точка Теорема о среднемв которой Теорема о среднем, Теорема о среднем,

при условии, что предел в правой части равенства существует.

Замечание 18.6. Может быть так, что существует Теорема о среднем, но не существует Теорема о среднем.

Пример 18.3.Теорема о среднем, поэтому Теорема о среднем.

Но Теорема о среднемне существует.

Замечание 18.7. Если выражение Теорема о среднемпредставляет собой неопределённость видаТеорема о среднеми функции Теорема о среднеми Теорема о среднемудовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то

Теорема о среднем.

Теорема 18.8(2-е правило Лопиталя).Пусть функцииТеорема о среднемиТеорема о среднемопределены и дифференцируемы в окрестности точкиТеорема о среднемиТеорема о среднем,Теорема о среднем,Теорема о среднемв этой окрестности. Тогда, если существуетТеорема о среднем, то существуетТеорема о среднемиТеорема о среднем.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 18.7.

Замечание 18.8. Если Теорема о среднем, то замена Теорема о среднемприведёт к Теорема о среднем:

Теорема о среднем.

18.3. Раскрытие неопределённостей.

1) Неопределённость вида Теорема о среднем для выражения вида Теорема о среднем(Теорема о среднем, Теорема о среднемпри Теорема о среднем) сводится к неопределённости Теорема о среднемили Теорема о среднем:

2) Неопределённости вида Теорема о среднем,Теорема о среднем,Теорема о среднем для выражения вида Теорема о среднемсводятся к неопреде­лённостиТеорема о среднем:

Теорема о среднемТеорема о среднем;

Пример 18.6.Теорема о среднем. Следовательно,

3) Неопределённость вида Теорема о среднем для выражения вида Теорема о среднем(Теорема о среднем, Теорема о среднемпри Теорема о среднем) сводится к неопределённости Теорема о среднем:

Теорема о среднем.

Теорема о среднем.

1Ферма Пьер (1601-1665) – французский математик.

2Ролль Мишель (1652-1719) – французский математик.

1Коши Огюстен Луи (1789-1857) – французский математик.

2Лагранж Жозеф Луи (1736-1813) – французский математик и механик.

1Лопиталь де Гийом Франсуа Антуан (1661-1704) – французский математик. Правило, носящее его имя, было известно швейцарскому математику Иоганну Бернулли (1667-1748).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *