Определение многоугольника 8 класс

Основные определения и теоремы. Геометрия 8 класс

  1. Многоугольник — это фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
  2. Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника.
  3. Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.
  4. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.
  5. Многоугольник называется выпуклым. если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
  6. Сумма углов выпуклого n -угольника равна (n –2)·180°.
  7. Четырёхугольник – это многоугольник у которого четыре вершины и четыре стороны.
  8. Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными .
  9. Две вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными .
  10. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
  11. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
  12. (Свойства параллелограмма ) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
  13. (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  14. (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  15. (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  16. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями. а две другие стороны — боковыми сторонами .
  17. Трапеция называется равнобедренной. если её боковые стороны равны.
  18. Трапеция называется прямоугольной. если один из её углов прямой.
  19. (Т. Фалеса) Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
  20. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
  21. (Особое свойство прямоугольника ) Диагонали прямоугольника равны.
  22. (Признак прямоугольника) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
  23. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
  24. (Особое свойство ромба) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
  25. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
  26. (Основные свойства квадрата) Все углы квадрата прямые. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
  27. Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.
  28. Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1.
  29. (Основные свойства площадей ) Равные многоугольники имеют равные площади.

Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

  1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны ( S=a 2 ).
  2. (Т.)Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон (S=ab).
  3. (Т.)Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту (S=ah).
  4. (Т.)Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту (S= Определение многоугольника 8 класс ah).
  5. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (S= Определение многоугольника 8 класс ab).
  6. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
  7. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
  8. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту ( S= Определение многоугольника 8 класс ·h ).
  9. (Теорема Пифагора ) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. (с 2 =a 2 +b 2 )
  10. (Теорема, обратная теореме Пифагора) Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
  11. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским треугольником .
  12. (Формула Герона) Площадь треугольника со сторонами a, b, c выражается формулой S= Определение многоугольника 8 класс. где p = Определение многоугольника 8 класс (a+b+c) — полупериметр треугольника.
  13. Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1 B1 и C1 D1 , если Определение многоугольника 8 класс = Определение многоугольника 8 класс .
  14. Два треугольника называются подобными. если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
  15. Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия .
  16. (Т .)Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  17. (Т. Первый признак подобия треугольников ) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  18. (Т. Второй признак подобия треугольников ) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
  19. (Т. Третий признак подобия треугольников ) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
  20. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
  21. (Т. о средней линии треугольника) Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
  22. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  23. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
  24. Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если XY= Определение многоугольника 8 класс
  25. Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
  26. (Т. о средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
  27. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  28. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  29. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
  30. Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
  31. sin 2 A+cos 2 A=1 – основное тригонометрическое тождество.
  32. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.
  33. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.
  34. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.
  35. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
  36. (Т. о свойстве касательной к окружности ) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
  37. (Свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки ) Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
  38. (Т. Признак касательной ) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной
  39. Дуга называется полуокружностью. если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.
  40. Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом .
  41. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
  42. Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.
  43. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом .
  44. (Т.) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
  45. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  46. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
  47. (Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд ) Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
  48. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
  49. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
  50. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
  51. (Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
  52. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
  53. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
  54. Четыре точки. точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот(или их продолжений) называются замечательными точками треугольника .
  55. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.
  56. (Теорема об окружности, вписанной в треугольник ) В любой треугольник можно вписать окружность.
  57. В треугольник можно вписать только одну окружность.
  58. Не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность.
  59. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
  60. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны то в него можно вписать окружность.
  61. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.
  62. (Теорема об окружности, описанной около треугольника) Около любого треугольника можно описать окружность.
  63. Около треугольника можно описать только одну окружность.
  64. Около четырёхугольника не всегда можно описать окружность.
  65. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
  66. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

Генерация страницы за: 0.002 сек.

Геометрия 8 класс К.К.Кургинян Часть-1* (со звездочкой).

Определение: Многоугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из плоской, замкнутой ломаной без самопересечений. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.

Вершины многоугольника называются соседними. если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от -180° до 180°. Сумма внешних углов многоугольника 360°.

Многоугольникназывается выпуклым если:

ОпределениеI для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок полностью лежит в нём.

ОпределениеII каждый внутренний угол меньше 180°.

ОпределениеIII все его диагонали полностью лежат внутри него.

ОпределениеIV он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2)∙180°.

Сумма углов невыпуклого n-угольника также равна (n-2)∙180°. (Доказательство аналогично, но использует в дополнение лемму о том, что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники).

Теорема: Число диагоналей всякого n-угольника равно .

Доказательство: Пусть n — число вершин многоугольника, вычислим p- число возможных разных диагоналей. Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и, естественно, себя самой. Таким образом, из одной вершины можно провести n-3 диагонали; перемножим это на число вершин (n-3)∙n, однако, мы посчитали каждую диагональ дважды (по разу для каждого конца, следовательно, надо разделить на 2) — отсюда, p= .

Задача*: в каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше чем сторон?

50 + 2n = n 2 — 3n

Разложим на множители

(n+5)(n-10)=0
n=-5 не удовлетворяет,

так как не существует

n = 10 удовлетворяет
Ответ: Десяти угольник.

Фигуры с равными диагоналями.*

На плоскости существует два правильных многоугольника, у которых все диагонали равны между собой — это квадрат и правильный пятиугольник (пентагон). У квадрата две одинаковых диагонали, пересекающихся в центре под прямым углом. У правильного пятиугольника пять одинаковых диагоналей, которые вместе образуют рисунок пятиконечной звезды (пентаграммы).

Определение многоугольника 8 класс

В пространстве существует единственный правильный многогранник (не многоугольник ), у которого все диагонали равны между собой — это правильный восьмигранник (октаэдр). У октаэдра три диагонали, которые попарно перпендикулярно пересекаются в центре. Все диагонали октаэдра — пространственные (диагоналей граней у октаэдра нет, т.к. у него треугольные грани).

Помимо октаэдра есть еще один правильный многогранник, у которого все пространственные диагонали равны между собой — это куб (гексаэдр),помимо пространственных у куба есть диагонали граней. У куба четыре одинаковых пространственных диагонали, которые пересекаются в центре. Угол между диагоналями куба составляет либо arccos (1/3) ≈ 70,5° (для пары диагоналей, проведенных к смежным вершинам), либо arccos (–1/3) ≈ 109,5° (для пары диагоналей, проведенных к несмежным вершинам).

Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали.

Две несмежные стороны называются противоположными.

Две не соседние вершины называются противоположными.

1.Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Определение многоугольника 8 класс

1) Противоположные стороны параллелограмма равны. AB=DC, AD=BC.

2) Противоположные углы параллелограмма равны. A=C, B=D.

3) Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. AO=OC, BO=OD.

4) Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. A+D=180, A+B=180, B+C=180, D+C=180.

5) Сумма всех углов равна 360°. A+B+C+D=360°.

6)* Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: AC 2 +BD 2 =2∙(AB 2 +AD 2 ).

Задача 1*: Найти диагональ параллелограмма, если известно, что длина одной диагонали равна AC=9 см, а стороны AD=7 см и AB=4 см.

Решение: Подставив значения в формулу получим:

BD 2 =49, следовательно вторая диагональ равна BD=7 см. Ответ: 7 см.

Задача 2*: Найти диагональ параллелограмма, если известно, что длина одной диагонали равна BD=10 см, а стороны AD=8 см и AB=2 см.

Решение: Условия задачи не верно, так как сумма двух сторон треугольника всегда больше третей стороны. Ответ: задача не имеет решений (смысла).

Задача 3*: а)Найти сторону параллелограмма, если известно, что длина диагоналей равна BD=6 см, AC=8, а одна сторона AB=5 см. б)Как называется этот параллелограмм.

Задача 4**: Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см, а произведение 32 найдите значение суммы квадратов всех его сторон.

Задача 5**: Найдите наибольший периметр параллелограмма, диагонали которого 6 см и 8 см.

Решение: Докажем, что среди всех параллелограммов с данными длинами диагоналей наибольший периметр имеет ромб.

Действительно, пусть a и b – длины соседних сторон параллелограмма, а и – длины его диагоналей (см. рис. 2). Тогда периметр параллелограмма: P = 2(a + b ).

Из равенства , выражающего теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма, следует, что у всех параллелограммов с данными диагоналями сумма квадратов сторон есть величина постоянная.

По неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным:  , причем равенство достигается т. и т. т. когда a = b. Значит, параллелограмм с наибольшим периметром является ромбом. Находим сторону этого ромба: =5(см). Ответ: 20 см.

2.Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Определение 2: это четырёхугольник, у которого все углы прямые.

Определение 3: это параллелограмм, у которого один угол прямой.

Определение 4: это параллелограмм, у которого углы равны.

Свойства прямоугольника: те же свойства, что и у параллелограмма +

1) Диагонали прямоугольника равны.

2)* Квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон. AC 2 =AB 2 +DC 2

Задача 1: Меньшая сторона прямоугольника равна 5см, диагонали пересекаются под углом 60°. Найдите диагонали прямоугольника.

Задача 2: Меньшая сторона прямоугольника равна 24, диагонали пересекаются под углом 120°. Найдите диагонали и большую сторону прямоугольника.

Задача 3*: Сторона прямоугольника равна 3 см, диагональ 5 см. Найдите другую сторону прямоугольника.

Задача 4*: Сторона прямоугольника равна 6 см, диагональ 10 см. Найдите площадь прямоугольника.

3.Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Определение 2: это четырёхугольник, у которого все стороны равны.

Свойства ромба: те же свойства, что и у параллелограмма +

1) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны (AC ⊥ BD).

2) Диагонали ромба делят его углы пополам (то есть диагонали ромба являются биссектрисами его углов- ∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, ∠BAC = ∠DAC, ∠ADB = ∠CDB).

3)*Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма). AC 2 +BD 2 =4·AB 2

Задача 1: Диагонали ромба 6 и 8 см. Найти сторону ромба.

Задача 2: Сторона ромба 10 см, один из углов 60. Найти маленькую диагональ ромба.

4.Квадрат -это параллелограмм, у которого все углы равны 90 и все стороны равны.

Определение 2: это параллелограмм, у которого все углы и стороны равны между собой.

Определение 3: это четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны между собой.

Определение 4: это ромб, у которого один угол прямой.

Определение 5: это ромб, у которого углы равны.

Определение 6: это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата: те же свойства, что и у параллелограмма +

1) Диагонали квадрата равны.

2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны (AC ⊥ BD).

3) Диагонали квадрата делят его углы пополам (то есть диагонали квадрата являются биссектрисами его углов- ∠DCA = ∠BCA= ∠ABD = ∠CBD= ∠BAC = ∠DAC= ∠ADB = ∠CDB=45).

4)* Квадрат диагонали равен удвоенному квадрату стороны. AC 2 =2·AB 2

5.Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями, а две другие боковыми.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Трапеция называется прямоугольной, если один из его углов прямой.

Задача: Докажите, что трапеция не может одновременно быть и прямоугольной и равнобедренной.

Похожие документы:

например, столь явственная в геометрии. Но она такая же. создать новый, западный, со своей спецификой, со свои­ми «против. Приблизительно пятая часть учащихся 8-10-х классов и ныне. — Ч.1. — М. 1996. 144. Кургинян С. Седьмой сценарий. Ч.1. М. 1992. 145.

годов, т. е. со стороны праздности, изнеженности. как законы геометрии Евклида. Аверкиев. Часть его, разорившись, стала в ряды интеллигенции, другая — примкнула к денежному классу. драма XIX в. М. 1962. М. С. Кургинян. Драма. — В кн. Тео-.

Большаков Г.Ф. Ультрафиолетовые спектры гетероорганических со — единений/ Г.Ф. Большаков. IV классов детских. Приложение к 1-й и 2-й части 3 тома. — М.:Всесоюзный. учите- лей/ Е.А. Кургинян. — М.:Просвещение,1964. и неевклидовой геометрии / Фетисов Антонин.

Многоугольники (8 кл)

Flag as Inappropriate

No comments posted yet

Post a comment

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ СВОИМ СОВЕРШЕНСТВОМ, ИЗЯЩЕСТВОМ И КРАСОТОЙ ФОРМ ПРИВЛЕКАЛИ К СЕБЕ ВНИМАНИЕ МНОГИХ ЛУЧШИХ УМОВ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА… Построение правильных многоугольников, то есть деление окружности на равные части, позволяло решать практические задачи: Создание колеса со спицами; Деление циферблата часов; Строительство античных театров; Создание астрономических сооружений

ПИФАГОРЕЙЦЕВ ОНИ ПРИВЛЕКАЛИ ОБНАРУЖЕННОЙ В НИХ «ЗОЛОТОЙ ПРОПОРЦИЕЙ» Именно в школе ПИФАГОРА зародилось учение о правильных многоугольниках; кроме того, пифагорейцы рассмотрели вопрос покрытия плоскости правильными многоугольниками.

Правильный многоугольник Определение: выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны. Правильный треугольник Квадрат Правильный шестиугольник Правильный восьмиугольник

Окружность, описанная около правильного многоугольника Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну. О R

Окружность, вписанная в правильный многоугольник В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну. О r

Следствия Следствие1. Вписанная окружность касается сторон правильного многоугольника в их серединах. Следствие2. Центры окружностей вписанной в правильный многоугольник и описанной около него совпадают. Эта точка называется центром правильного многоугольника. О R r

Основные формулы Вычисление угла правильного многоугольника: Площадь правильного многоугольника: Сторона правильного многоугольника: Радиус вписанной окружности:

Применение формул Для правильного треугольника Для правильного четырехугольни-ка (квадрата) Для правильного шестиугольника назад

ОПРЕДЕЛЕНИЯ КВАДРАТА У квадрата все стороны равны, как и у ромба.Только еще все углы прямые. Значит, квадрат-это ромб с прямыми углами. ромб квадрат

ОПРЕДЕЛЕНИЯ КВАДРАТА У квадрата, как и у прямоугольника, все углы прямые. Только еще все стороны равны. Значит, квадрат -это прямоугольник, у которого все стороны равны. прямоугольник квадрат

ОПРЕДЕЛЕНИЯ КВАДРАТА У квадрата, как и у параллелограмма, стороны попарно параллельны. Только еще все они равны и все углы прямые. Значит, квадрат-это параллелограмм с прямыми углами, все стороны которого равны. параллелограмм квадрат

Признаки квадрата. У квадрата все углы прямые; Диагонали квадрата равны; Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов. Sкв=а2 Р=4а назад

Share presentation with a group

1) Понятие многоугольника.Выпуклый многоугольник.
2)Свойства параллелограмма.
3)Сумма углов выпуклого n-треугольника.
4)Признаки параллелограмма.
5)Определение параллелограмма.
6)Теорема Фалеса.

Проверенные ответы содержат информацию, которая заслуживает доверия. На «Знаниях» вы найдёте миллионы решений, отмеченных самими пользователями как лучшие, но только проверка ответа нашими экспертами даёт гарантию его правильности.

1. Многоугольник это замкнутая ломаная. Если попроще, то это геометрическая плоская фигура у которой углов больше трех. Выпуклым называется многоугольник который размещается по одну сторону от любой прямой проведенной по любой стороне.
2. а. Противоположные угла и стороны равны между собой.
в. Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
с. Углы прилегающие к любой стороне в сумме дают 180 градусов.
д. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.
3. Четырехугольник параллелограмм, если:
1. противоположные стороны попарно параллельны.
2. попарно равны.
3. две противоположные стороны равны и параллельны
4. диагонали пересекаясь делятся пополам.
4. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника буден 180*(n-2)
5. П. это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Частным случаем П. являются прямоугольник, квадрат и ромб.
6. Если параллельные прямые проведенные через одну сторону угла отсекают от него равные отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и от другой стороны.

Для полноты картины — теорема о пропорциональных отрезках: параллельные прямые отсекают нотсекают от его сторон пропорциональные отрезки.

Бесплатная помощь с домашними заданиями

Многоугольники

На этом уроке мы приступим уже к новой теме и введем новое для нас понятие «многоугольник9raquo;. Мы рассмотрим основные понятия, связанные с многоугольниками: стороны, вершины углы, выпуклость и невыпуклость. Затем докажем важнейшие факты, такие как теорема о сумме внутренних углов многоугольника, теорема о сумме внешних углов многоугольника. В итоге, мы вплотную подойдем к изучению частных случаев многоугольников, которые будут рассматриваться на дальнейших уроках.

В курсе геометрии мы изучаем свойства геометрических фигур и уже рассмотрели простейшие из них: треугольники и окружности. При этом мы обсуждали и конкретные частные случаи этих фигур, такие как прямоугольные, равнобедренные и правильные треугольники. Теперь пришло время поговорить о более общих и сложных фигурах – многоугольниках .

С частным случаем многоугольников мы уже знакомы – это треугольник (см. Рис. 1).

Определение многоугольника 8 класс

Рис. 1. Треугольник

В самом названии уже подчеркивается, что это фигура, у которой три угла. Следовательно, в многоугольнике их может быть много, т.е. больше, чем три. Например, изобразим пятиугольник (см. Рис. 2), т.е. фигуру с пятью углами.

Определение многоугольника 8 класс

Рис. 2. Пятиугольник. Выпуклый многоугольник

Определение.Многоугольник – фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки – сторонами. При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются.

Определение.Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутреннюю область также относят к многоугольнику .

Иными словами, например, когда говорят о пятиугольнике Определение многоугольника 8 класс, имеют в виду и всю его внутреннюю область, и границу. А ко внутренней области относятся и все точки, которые лежат внутри многоугольника, т.е. точка Определение многоугольника 8 класс тоже относится к пятиугольнику (см. Рис. 2).

Многоугольники еще иногда называют n-угольниками, чтобы подчеркнуть, что рассматривается общий случай наличия какого-то неизвестного количества углов (n штук).

Определение. Периметр многоугольника – сумма длин сторон многоугольника.

Теперь надо познакомиться с видами многоугольников. Они делятся на выпуклые и невыпуклые. Например, многоугольник, изображенный на Рис. 2, является выпуклым, а на Рис. 3 невыпуклым.

Определение многоугольника 8 класс

Рис. 3. Невыпуклый многоугольник

Определение 1. Многоугольник называется выпуклым. если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники .

Легко представить, что при продлении любой стороны пятиугольника на Рис. 2 он весь окажется по одну сторону от этой прямой, т.е. он выпуклый. А вот при проведении прямой через Определение многоугольника 8 класс в четырехугольнике на Рис. 3 мы уже видим, что она разделяет его на две части, т.е. он невыпуклый.

Но существует и другое определение выпуклости многоугольника.

Определение 2. Многоугольник называется выпуклым. если при выборе любых двух его внутренних точек и при соединении их отрезком все точки отрезка являются также внутренними точками многоугольника.

Демонстрацию использования этого определения можно увидеть на примере построения отрезков Определение многоугольника 8 класс на Рис. 2 и 3.

Определение. Диагональю многоугольника называется любой отрезок, соединяющий две не соседние его вершины.

Для описания свойств многоугольников существуют две важнейшие теоремы об их углах: теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника и теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника. Рассмотрим их.

Теорема. О сумме внутренних углов выпуклого многоугольника (n-угольника).

Определение многоугольника 8 класс, где Определение многоугольника 8 класс – количество его углов (сторон).

Доказательство 1. Изобразим на Рис. 4 выпуклый n-угольник.

Определение многоугольника 8 класс

Рис. 4. Выпуклый n-угольник

Из вершины Определение многоугольника 8 класс проведем все возможные диагонали. Они делят n-угольник на Определение многоугольника 8 класс треугольника, т.к. каждая из сторон многоугольника образует треугольник, кроме сторон, прилежащих к вершине Определение многоугольника 8 класс. Легко видеть по рисунку, что сумма углов всех этих треугольников как раз будет равна сумме внутренних углов n-угольника. Поскольку сумма углов любого треугольника – Определение многоугольника 8 класс, то сумма внутренних углов n-угольника:

Определение многоугольника 8 класс, что и требовалось доказать.

Доказательство 2. Возможно и другое доказательство этой теоремы. Изобразим аналогичный n-угольник на Рис. 5 и соединим любую его внутреннюю точку со всеми вершинами.

Определение многоугольника 8 класс

Мы получили разбиение n-угольника на n треугольников (сколько сторон, столько и треугольников). Сумма всех их углов равна сумме внутренних углов многоугольника и сумме углов при внутренней точке, а это угол Определение многоугольника 8 класс. Имеем:

Определение многоугольника 8 класс, что и требовалось доказать.

По доказанной теореме видно, что сумма углов n-угольника зависит от количества его сторон (от n). Например, в треугольнике Определение многоугольника 8 класс, а сумма углов Определение многоугольника 8 класс. В четырехугольнике Определение многоугольника 8 класс, а сумма углов – Определение многоугольника 8 класс и т.д.

Теорема. О сумме внешних углов выпуклого многоугольника (n-угольника).

Определение многоугольника 8 класс, где Определение многоугольника 8 класс – количество его углов (сторон), а Определение многоугольника 8 класс, …, Определение многоугольника 8 класс – внешние углы.

Доказательство. Изобразим выпуклый n-угольник на Рис. 6 и обозначим его внутренние и внешние углы.

Определение многоугольника 8 класс

Рис. 6. Выпуклый n-угольник с обозначенными внешними углами

Т.к. внешний угол связан со внутренним как смежные, то Определение многоугольника 8 класс и аналогично для остальных внешних углов. Тогда:

Определение многоугольника 8 класс.

В ходе преобразований мы воспользовались уже доказанной теоремой о сумме внутренних углов n-угольника Определение многоугольника 8 класс.

Из доказанной теоремы следует интересный факт, что сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна Определение многоугольника 8 класс от количества его углов (сторон). Кстати, в отличие от суммы внутренних углов.

Далее мы более подробно будем работать с частным случаем многоугольников – четырехугольниками. На следующем уроке мы познакомимся с такой фигурой, как параллелограмм, и обсудим его свойства.

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М. Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф. Кадомцев С.Б. Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М. Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г. Полонский В.Б. Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М. ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. № 43, 42 (а, б, в, г, з), 46 (а, б), 47 (а,б). Бутузов В.Ф. Кадомцев С.Б. Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М. Просвещение, 2011.
  2. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: а) Определение многоугольника 8 класс; б) Определение многоугольника 8 класс; в) Определение многоугольника 8 класс?
  3. Найдите углы четырехугольника, если они пропорциональны числам 2, 3, 10 и 21. Выпуклый или невыпуклый этот четырехугольник?
  4. Вершины выпуклого пятиугольника соединены через одну. Найдите сумму углов при вершинах полученной «звезды9raquo;.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *