Теорема о ранге матрицы

Билет 2. Понятие ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы

Определение. Минором порядка k матрицы Aназывается определитель матрицы k-го порядка, элементы которой стоят на пересечении выбранных k – строк и k – столбцов, т.е..

Теорема о ранге матрицы

Определение.Минор порядка r матрицы A называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю (если они существуют)..

Определение.Рангом матрицы А называется порядок её базисного минора, т.е. ранг матрицы A равен r, если в матрице существует ненулевой минор r-го порядка, а все миноры более высокого порядка равны нулю (если они существуют). Обозначается Rg A.

Определение.Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие базисный минор, называются базисными строками и столбцами.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы.

Доказательство. Пусть Amxn = || aij ||mxn и Rg A = k. Если А ≠ 0, то утверждение верно. Если Rg A = k =n, то утверждение верно. Если 0 < Rg A = k < n, то т.к. Rgрядок базисного минора, то значит А содержит k базисных столбцов (они линейно независимы). Возьмем произвольные r (r > k) столбцов матрицы А. Составим матрицу В из этих столбцов. Rg B ≤ Rg A = k. По следствию 1 в этом случае столбцы матрицы B линейно зависимы. ч.т.д.

Следствие 3. Для любой матрицы А максимальное число линейно независимых столбцов равняется максимальному числу линейно независимых строк этой же матрицы.

Билет 3. Элементарные преобразования матриц. Инвариантность ранга матрицы при помощи элементарных преобразованиях. Вычисление ранга матрицы.

Определение. Элементарные преобразования:

Перестановка строк; умножение строки на число, отличное от нуля; прибавление к одной строке другой, умноженное на число; аналогичные преобразования для столбцов матрицы.

Замечание. элементарные преобразования обратимы А

Доказательство. Пусть Rg A = r А Теорема о ранге матрицы => ∃Mr ≠0, а все Mr+1 =0. Рассмотрим произвольный минор Теорема о ранге матрицы в матрице Теорема о ранге матрицы

1) Теорема о ранге матрицы не содержит левую строку, тогда Теорема о ранге матрицы =Mr+1 =0

2) Теорема о ранге матрицы не содержит второй строки Теорема о ранге матрицы =Mr+1 + &#&55;M’r+1 = 0, Mr+1 –минор из А => Mr+1 = 0. M’r+1 – минор матрицы А

3) Теорема о ранге матрицы содержит 1 и 2 строку. Теорема о ранге матрицы = M r+1 + &#&55;M’r+1 = 0. M’r+1 – совпадают 1 и 2 строки. M r+1 = M’r+1 = 0

В Теорема о ранге матрицы все миноры Теорема о ранге матрицы = 0 => Rg Теорема о ранге матрицы ≤ r = Rg A. Т.к. элементарные преобразования обратимы, то Теорема о ранге матрицы

A => Rg A ≤ Rg Теорема о ранге матрицы ≤ Rg A => Rg A = Rg Теорема о ранге матрицы ч.т.д.

Определение. Говорят, что матрица А имеет ступенчатый вид, если: 1) Ниже нулевой строки располагаются нулевые строки. 2) если ai 1 = … = ai k-1 = 0, ai k ≠ 0, то ai k = 1 ó ∀ s > i и ∀ t ≤ k: as t = 0

Теорема о ранге матрицы ступенчатая матрица. Замечание. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк.

188.123.231.15 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы

Дана матрица размера

Обозначим строки матрицы следующим образом:

Две строки называются равными . если равны их соответствующие элементы. .

Введем операции умножения строки на число и сложение строк как операции, проводимые поэлементно:

Определение. Строка называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа (любые числа):

Определение. Строки матрицы называются линейно зависимыми . если существует такие числа . не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

Линейная зависимость строк матрицы обозначает, что хотя бы 1 строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Определение. Если линейная комбинация строк (1.1) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты . то строки называются линейно независимыми .

Теорема о ранге матрицы . Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).

Теорема играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.

6, 13,14,15,16. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число),n-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.

Вектором назевается направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе).

Векторы могут обозначаться как 2-мя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой.

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными .

Если начало и конец вектора совпадают ( ), то такой вектор называется нулевым и обозначается = . Длина нулевого вектора равна нулю:

1) Произведением вектора на число :

Будет вектор, имеющий длину . направление которого совпадает с направлением вектора . если . и противоположно ему, если .

3) Суммой двух векторов и называется вектор . начало которого совпадает с началом вектора . а конец с концом вектора . при условии, что начало совпадает с концом . (правило треугольников). Аналогично определяется сумма нескольких векторов.

Определение. Скалярным произведение двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

n-мерный вектор и векторное пространство

Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором х = (х12 ,…,хn ), а соответствующие цены у = (у12 ,…,уn ).

— Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. х=у. если хi = уi . i = 1,2,…,n .

— Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = x + y. компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. zi = xi + yi . i = 1,2,…,n .

Произведением вектора х на действительное число называется вектор . компоненты которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора . т.е. . i = 1,2,…,n .

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1) — коммутативное (переместительное) свойство суммы;

2) — ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;

3) — ассоциативное относительно числового множителя свойство;

4) — дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;

5) — дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;

6) Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

7) Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что ;

8) для любого вектора (особая роль числового множителя 1).

Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствами (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным состоянием .

Размеренность и базис векторного пространства

Определение. Линейное пространство называется n-мерным . если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства и обозначается .

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом .

7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

Определение. Вектор называется собственным вектором линейного оператора . если найдется такое число . что:

Число называется собственным значением оператора (матрицы А ), соответствующим вектору .

Можно записать в матричной форме:

Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:

или в матричном виде: . Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы: .

Определитель является многочленом n -й степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы А, а полученное уравнение – характеристическим уравнением оператора или матрицы А.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора . заданного матрицей .

Р е ш е н и е: Составляем характеристическое уравнение или . откуда собственное значение линейного оператора .

Находим собственный вектор . соответствующий собственному значению . Для этого решаем матричное уравнение:

Предположим, что . получим, что векторы . при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .

8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений с неизвестными

Системы линейных уравнений находят широкое применение в экономике.

Система линейных уравнений с переменными имеет вид:

где ( ) — произвольные числа, называемые коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений . соответственно.

Определение. Решением системы называется такая совокупность значений . при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

1) Система уравнений называется совместной . если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной. если она не имеет решений.

2) Совместная система уравнений называется определенной . если она имеет единственное решение, и неопределенной . если она имеет более одного решения.

3) Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными ). если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение).

Запишем систему в матричной форме:

А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных, В – матрица-столбец свободных членов.

Т.к. число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . то их произведение:

Есть матрица-столбец. Элементами полученной матрицы являются левые части начальной системы. На основании определения равенства матриц начальную систему можно записать в виде: .

Теорема Крамера . Пусть — определитель матрицы системы, а — определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если . то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Пример. Решить систему уравнений по формулам Крамера

Р е ш е н и е. Определитель матрицы системы . Следовательно, система имеет единственное решение. Вычислим . полученные из заменой соответственно первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов:

По формулам Крамера:

9. Метод Гаусса решения системыnлинейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.

Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных.

Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов . получаемой приписыванием к матрице столбца свободных членов :

Следует отметить, что методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида .

Пример. Методом Гаусса решить систему:

Выпишем расширенную матрицу системы .

Шаг 1. Поменяем местами первую и вторую строки, чтобы стал равным 1.

Шаг 2. Умножим элементы первой строки на (–2) и (–1) и прибавим их к элементам второй и третьей строк, чтобы под элементом в первом столбце образовались нули.

Шаг 3. Умножим элементы третьей строки на (–0,5).

Шаг 4. Поменяем местами вторую и третью строки.

Шаг 5. Поменяем местами второй и третий столбец. (Шаги 3, 4, 5 приведены с тем, чтобы ).

Шаг 6. Элементы второй строки умножим на 3 и прибавим их к элементам третьей строки, тогда под элементом появится нуль.

(называется расширенная матрица системы) .

Расширенная матрица приведена к треугольному виду. Соответствующая ей система имеет вид:

Из последнего уравнения ; из второго ; из первого .

10. Системы линейных уравнений с неизвестными

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы: .

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. . то система имеет единственное решение.

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. . то система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений.

Определение. Базисным минором матрицы называется любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Определение. Те неизвестных, коэффициенты при которых входят в запись базисного минора, называются базисными (или основными), остальные неизвестных называются свободными (или неосновными).

Решить систему уравнений в случае — это значит выразить

переменные через свободные. При этом имеем общее решение системы уравнений. Если все свободные переменные равны нулю, то решение системы называется базисным.

Пример. Решить систему методом Гаусса:

Р е ш е н и е. Выпишем и преобразуем расширенную матрицу системы. Сначала прибавим к элементам третьей строки элементы первой строки, умноженные на –1. А затем элементы второй строки умножим на –1 и прибавим к элементам третьей строки:

Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду.

. Так как ранг матрицы равен 2, а количество неизвестных равно 4, то система имеет бесконечное множество решений. В качестве базисных неизвестных возьмем и (т.к. определитель, составленный из их коэффициентов не равен нулю ), тогда и — свободные неизвестные.

Выразим базисные переменные через свободные.

Из второй строки полученной матрицы выразим переменную :

Из первой строки выразим . ,

Общее решение системы уравнений: . .

Теорема о ранге матриц

Теорема о ранге матрицы

Московский физико-технический институт

Московский физико-технический институт (Физтех) – ведущий вуз России по подготовке высококвалифицированных специалистов по передовым направлениям науки и техники. Входит в топ 5 крупных рейтингов отечественных университетов. Отличительной чертой образовательного процесса МФТИ является система поиска и подготовки кадров – знаменитая «система Физтеха».

Скачайте наше мобильное приложение

Теорема о ранге матрицы

Теорема о ранге матрицы

Теорема о ранге матрицы

  • Теорема о ранге матрицы
  • Теорема о ранге матрицы
  • Теорема о ранге матрицы

©2007-2017 Московский физико-технический институт
при сотрудничестве с «Новыми образовательными инициативами »
Создано на платформе PulsarVP

Теорема о ранге матрицы

Слава разработчикам Лектория!
Слава! Слава!

§ 7. Теорема о ранге матрицы

-произвольная матрица, имеющая строк и столбцов.

Определение. Рангом матрицы А называется наибольшее такое число , что в матрице А содержится невырождающаяся матрица порядка .

Матрица, состоящая из одних нулей, и только такая матрица имеет ранг 0. Матрица имеет тогда и только тогда ранг 1, когда среди ее элементов имеются отличные от нуля и когда в то же время всякие две ее строки и всякие два ее столбца пропорциональны между собою. Далеко идущим обобщением последнего утверждения являются следующая

Теорема 11 (теорема о ранге матрицы). Ранг матрицы А является наибольшим таким числом , что в матрице А имеется строк ( столбцов), образующих линейно независимую систему.

Из этой теоремы, в частности, следует, что максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых — факт замечательный и неожиданный.

Доказательство теоремы о ранге матрицы. Пусть ранг матрицы А равен . Требуется доказать, что в матрице А имеется столбцов (строк), образующих линейно независимую систему, и что всякие столбцов (строк) образуют линейно зависимую систему. Доказательство для строк и столбцов одно и то же, проведем его для столбцов.

Раз ранг матрицы равен , то в ней имеется минор P с отличным от нуля детерминантом. Не ограничивая общности рассуждений, можно предположить, что этот минор P является угловым:

Так как , то векторы

(столбцы минора ) линейно независимы, и подавно линейно независимы векторы

В самом деле, если бы существовало линейное соотношение

то это значило бы, что при любом имело бы место

В частности, соотношения (1) выполнены при , т. е.

что, ввиду независимости векторов , означает, что коэффициенты , все равны нулю.

Итак, во всякой матрице А ранга имеется линейно независимая система, состоящая из столбцов. Первое утверждение теоремы доказано.

Переходим к доказательству второго утверждения: всякие столбцов матрицы А (ранга ) линейно зависимы. Предполагаем снова, что отличен от нуля детерминант углового минора порядка матрицы А. Вспомним, что среди векторов, являющихся линейными комбинациями данных векторов, нельзя найти более линейно независимых; поэтому достаточно доказать, что каждый столбец

матрицы А является линейной комбинацией первых столбцов:

Разумеется, при доказательстве этого утверждения можно предположить .

Взяв любое , построим детерминант

и. докажем прежде всего, что при любом i он равен нулю. В самом деле, если , то этот детерминант имеет две одинаковые строки — на месте — и поэтому равен нулю.

Если же , то есть детерминант некоторого минора ( порядка матрицы А, и он равен нулю, так как ранг матрицы А по предположению есть . Итак, при любом .

Разложим детерминант по элементам последней строки. Коэффициенты этого разложения суть адъюнкты элементов строки детерминанта , а именно:

— адъюнкта последнего элемента строке.

Существенно, что эти коэффициенты не зависят от , поэтому их и можно было обозначать через . Мы имеем

Эти соотношения, написанные для всех , выражают равенство

в котором заведомо коэффициент отличен от нуля и которое поэтому можно разрешить относительно :

Мы представили произвольный столбец матрицы в виде линейной комбинации первых столбцов этой матрицы и этим закончили доказательство теоремы о ранге матрицы.

Замечание. Из приведенного доказательства следует, что при подсчете ранга матрицы можно, найдя некоторый не равный нулю детерминант, перебирать лишь «окаймляющие» его детерминанты.

Теорема. Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличного от нуля минора.

Доказательство. Пусть наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы А (1) равен r. Перестановками строк и столбцов можно добиться того, что этот минор будет стоять в верхнем левом углу матрицы, которую обозначим А*. Очевидно, что если все миноры (r + 1)-го порядка у А равны нулю, то и у матрицы А* такие миноры тоже будут равны нулю. Обозначим минор порядка r, стоящий в верхнем левом углу через М. Очевидно, что первые r столбцов матрицы линейно независимы. Если бы это было не так, то столбцы, составляющие минор М были бы линейно зависимы, и этот минор равнялся бы нулю.

Теперь осталось доказать, что любой k-й столбец матрицы при r < k m будет линейной комбинацией первых r столбцов. Выберем произвольные числа i и j (r < j n). Поменяем местами в матрице А* (r+1)-ю строку c i-й и (r+1)-й столбец с j-м. Теперь минор М получился “окаймлённым” минором Mij

Теорема о ранге матрицы

При любых i минор Mij будет равен нулю. Например, если r < i n, то Mij является минором порядка r + 1 матрицы А, и следовательно, по условию равен нулю. Если i r, то Mij не является минором матрицы А, но он содержит две одинаковых строки, и поэтому равен нулю.

Разложим минор Mij. по последней строке:

Теорема о ранге матрицы

Поскольку в последней формуле алгебраическое дополнение элемента аik не зависит от i, оно обозначено Аk. Поскольку М 0, из равенства (2) можно выразить элемент j-го столбца aij через элементы первых r столбцов i-й строки:

Теорема о ранге матрицы

Это равенство справедливо при всех i (i = 1,2,,r), причём коэффициенты при аik от i не зависят. Отсюда следует, что i-й столбец матрицы будет линейной комбинацией её первых r столбцов. Таким образом, в системе столбцов матрицы А найдена максимальная линейно независимая подсистема, состоящая из r столбцов, то есть ранг матрицы А равен r.

Теперь для того, чтобы найти ранг системы векторов, достаточно составить матрицу, столбцами которой служат вектора системы, и найти минор максимального порядка, отличный от нуля. Порядок этого минора и будет рангом системы векторов.

Для определения ранга матрицы, как следует из доказательства последней теоремы, достаточно найти минор М из левого верхнего угла, отличный от нуля, и затем методом окаймления перебрать миноры порядка на единицу большего до обнаружения такого минора, отличного от нуля. Если таких миноров, отличных от нуля не оказалось, то ранг матрицы равен порядку минора М. Если такой минор, не равный нулю, нашелся, то процедуру расчёта окаймляющих миноров нужно продолжить.

Из доказанной теоремы следует, что ранг системы строк матрицы равен рангу системы столбцов.

Другое важное следствие теоремы состоит в том, что теперь можно утверждать: чтобы определитель п-го порядка равнялся нулю необходимо и достаточно, чтобы между его столбцами существовала линейная зависимость.

Достаточность условия здесь очевидна. Чтобы доказать необходимость, заметим, что наивысший порядок отличных от нуля миноров определителя меньше порядка самого определителя. Отсюда следует, что столбцы этой матрицы линейно зависимы.

Диагональная форма матрицы.

Две теоремы о ранге матрицы.

Ранг произведения двух матриц не выше ранга каждого из сомножителей.

Пусть имеются две матрицы А и В, которые можно перемножать и пусть АВ = С. В i-й строке, и j-м столбце матрицы-произведения С стоит элемент. определяемый формулами:

Теорема о ранге матрицы

Теорема о ранге матрицы

при произвольном i

Теорема о ранге матрицыТеорема о ранге матрицы

Здесь видно, что j-й столбец матрицы С представляет собой линейную комбинацию столбцов матрицы А, взятых с коэффициентами. Отсюда следует, что система столбцов матрицы С линейно выражается через систему столбцов матрицы А, и ранг системы столбцов С не превышает ранга системы столбцов А.

Если теперь использовать формулу (9) для элементов произвольной строки матрицы С, то получится:

Отсюда видно, что система строк матрицы С является линейной комбинацией системы строк матрицы В, следовательно, ранг системы строк матрицы С не может превышать ранга системы строк матрицы В, и теорема доказана.

2. Ранг произведения произвольной матрицы А справа или слева на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А.

Из первой теоремы о ранге матрицы следует, что ранг матрицы С не выше ранга матрицы А. Если умножить обе части равенства (**) на Q-1 справа, получится равенство

Из той же теоремы о ранге матрицы следует, что ранг А не выше ранга С. Отсюда следует, что ранги матриц А и С совпадают.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Количество главных переменных системы равно рангу системы.

Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Рассмотрим систему уравнений

матрица теорема определитель

Теорема о ранге матрицы

Обозначим через А матриц у её коэффициентов и через А* её расширенную матрицу.

Теорема. Для того, чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы её коэффициентов равнялся рангу расширенной матрицы.

Доказательство. Пусть система (3) совместна. Тогда существует набор чисел. который будет решением системы. Если подставить этот набор чисел в систему, то получится выражение столбца свободных членов в виде линейной комбинации столбцов коэффициентов. Всякий другой столбец расширенной матрицы системы очевидно тоже можно представить в виде линейной комбинации матрицы коэффициентов. Очевидно, что и любой столбец матрицы коэффициентов системы можно представить в виде линейной комбинации столбцов расширенной матрицы. Таким образом, системы столбцов матрицы коэффициентов и столбцов расширенной матрицы эквивалентны. Это означает, что их ранги равны.

Пусть теперь ранги матрицы коэффициентов системы и расширенной матрицы системы (3) равны. Тогда некоторая максимальная линейно независимая система столбцов матрицы коэффициентов будет также максимальной линейно независимой системой столбцов расширенной матрицы. Отсюда следует, что столбец свободных членов может быть представлен в виде линейной комбинации столбцов матрицы коэффициентов. Набор коэффициентов этой линейной комбинации и будет решением рассматриваемой системы уравнений.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *