Теорема о непрерывности сложной функции

Теорема о непрерывности сложной функций

Пусть функция &#&66;(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке x0=&#&66;(t0). Тогда функция f(&#&66;(t)) непрерывна в точке t0.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем:
f(x) непрерывна в x0 ∀&#&49;9gt;0,∃δ∀x|x−x0|9lt;δ |f(x)−f(x0)|<ε &#&68;(e) непрерывна в t0 ∀&#&48;9gt;0∃η∀t |t−t0|<η|φ(t)−φ(t0)|9lt;δВыписывая кванторы, получим, что:

что и говорит о том, что f(&#&66;(t)) непрерывна в точке t0

15)Точки разрыва бывают 1 рода: разрыв-скачок и устранимый разрыв.

Разрыв-скачок: если конечное ондостороннрие пределы при х=>х0 не равны друг другу

Устранимый разрыв: онодсторонние пределы равны друг другу но не равны значению функции.

Точки разрыва 2 рода:

Х0 является точкой разрыва 2 рода если хотя бы 1 из односторонних преедлов функции при х= >x0 не существует или равен бесконечности. Точка разрыва 2 рода – бесконечный разрыв.

16)Свойства непрерывной функции:

1) Сумма, произведение и частное конечного числа непрерывных функции, есть функция непрерывная.

2) Если y=f(x) непрерывна в точке Х0 и f(x0) >0 то существует окрестность точки х0 в которой f(x)

3) Если u=f(x) непрерывна в точке х0 то функция y=f(x) непрерывна в точке u0=&(х0)

17)Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

16. Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть даны две функции x = φ(t) с областью определения Т и множеством значений Х, и y = f(x) с областью определения Х и множеством значений Y.

Тогда «цепное правило: φ f

определяет новую функцию с областью определения Т. Эта новая функция обозначается y = f ( φ(t) ) и называется сложной функцией.

ЕТеорема о непрерывности сложной функциисли x = φ(t) – непрерывна в t0  y = f ( φ(t) ) – непрерывна в t0

x = φ(t) – непрерывна в t0  Δt  0  Δφ  0 (Δx  0)

Δt  0  Δx  0  Δf  0 (Δt  0  Δf  0)

y = f(φ(t)) – непрерывна в t0

17. Теорема о непрерывности обратной функции.

Пусть y = f(x) — функция с областью определения X (D(f) = X) и областью значений Y (E(f) = Y). При этом разным значениям х отвечают разные значения y. Тогда для каждого значения y  Y существует только одно x  Х, такое. что f(x) = y. Если мы сопоставим каждому y  Y именно такое x, то получим отображение множества Y в множество X. Это отображение называется обратным к данному отображению f и обозначается f -1. т. е. обратная функция для y = f(x) есть x = f –1 (y).

Пусть y = f(x) (x  D (f)) непрерывна и возрастает на отрезке a; b, тогда обратная функция x = f —1 (y) также непрерывна и возрастает на f(a); f(b).

(аналогично для непрерывной убывающей функции).

18. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их 7классификация.

Функция. определённая в некоторой окрестности точки х0. называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке х0 существует и равен значению в этой точке.

Функция f(x), определённая на отрезке [a,b], называется непрерывной в точке а справа, если lim f(x)=f(a) (аналогично слева)

Функция y=f(x) непрерывна на Х, если эта функция непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Если lim f(x) не равен lim f(x0 )

то х0 — точка разрыва непрерывности этой функции.

Классификация точек разрыва.

1. х0 – точка разрыва первого рода, если одосторонние пределы существуют, но они не равны между собой.

1.1 Точка устранимого разрыва, если односторонние пределы равны между собой, но их значение не совпадает со значением функции в этой точке.

Lim f(x)=lim f(x) не равен f(x0 )

1.2 Точка разрыва с «конечным скачком». Правый и левый пределы не совпадают.

1.3 Точка разрыва с «бесконечным скачком». Хотя бы один односторонних пределов бесконечен.

2. х0 — точка разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует.

1. Производная функции и ее геометрический смысл.

Приращением функции y =f(x) в точке x0 называется разность

Производной от функции y=f(x) в точке х0 наз. Предел отношения Δу/Δх, когда Δх→0 (при усл. что этот предел существует)

Написать обозначение производной.

Геометрический смысл производной.

Пусть Г- график функции y=f(x). Рассмотрим на Г т. А(x0,f(x0)) и т. В (x0+Δx,f(x0+Δx))

Теорема о непрерывности сложной функции

Прямая АВ называется секущей. Будем считать, что y=f(x)-непрерывная функция, тогда если Δх→0, то f(x0+Δx)→f(x0), т.е. В→А при Δх→0.

Пусть γ – угол наклона секущей относительно оси ОХ. Если существует предел lim γ=γ0 при Δх→0, то прямая, проходящая через А и образующая с осью ОХ угол γ0, называется касательной к Г в точке А.

Пусть С(f(x0+Δх), f(x0)) – точка, дополняющая отрезок АВ до прямоуг. треугольника АВС. Т.к. АС//ОХ, то tgγ =Δу/Δх. Переходя к пределу, получим: tgγ0=f′(x0)

Т.е. геометрический смысл производной состоит в том, что f′(x0) – это тангенс угла наклона касательной к графику y=f(x) в точке (x0,f(x0 )).

Непрерывность сложной функции

Теорема. Пусть функция z = Теорема о непрерывности сложной функции непрерывна в точке х0. а функция y =f (z ) непрерывна в точке z0 = j(x0 ). Тогда сложная функция Теорема о непрерывности сложной функции непрерывна в точке х0. т.е. Теорема о непрерывности сложной функции .

1. Для доказательства теоремы воспользуемся определением непрерывности функции в точке на “языке последовательностей”.

2. Возьмём из множества X любую последовательность точек: Теорема о непрерывности сложной функции сходящихся к x0. <xn > ® x0 при n ® ¥ или Теорема о непрерывности сложной функции. X – область определения функции Теорема о непрерывности сложной функции .

3. Тогда соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид: Теорема о непрерывности сложной функции .

4. По условию теоремы функция z = Теорема о непрерывности сложной функции непрерывна в точке х0. т.е.

Теорема о непрерывности сложной функции .

5. Тогда и предел соответствующей последовательности значений функции Теорема о непрерывности сложной функцииxn )> тоже будет равен z0 или j(x0 ): Теорема о непрерывности сложной функции (на основании определения непрерывных функций в точке на «языке последовательностей»).

6. Последнее утверждение означает, что некоторая последовательность <zn > сходится к z0 при n ® ¥: Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о непрерывности сложной функции .

7. По условию теоремы функция y = f (z ) непрерывна в точке z0 = j(x0 ), при Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о непрерывности сложной функции .

8. Тогда по определению непрерывности функции в точке на «языке последовательностей»: соответствующая последовательность значений функции <f (zn )> будет сходится к f (z0 ) при n ® ¥: Теорема о непрерывности сложной функции .

Теорема о непрерывности сложной функции .

10. Так как произвольная последовательность значений аргумента «<xn > сходится к x0 при n ® ¥: Теорема о непрерывности сложной функции. а соответствующая ей последовательность значений функции <f [j(xn )]> сходится к f [j(x0 )] при n ®¥: Теорема о непрерывности сложной функции. то, согласно определения непрерывности функции в точке на “языке последовательностей”, сама функция y =f [ Теорема о непрерывности сложной функции ] тоже будет сходится к f [j(x0 )], при x ®x0 :

Теорема о непрерывности сложной функции. А это есть условие непрерывности сложной функции Теорема о непрерывности сложной функции в точке x = х0 .

Замечание. 1. Так как Теорема о непрерывности сложной функции. то утверждение теоремы можно записать в виде формулы:

т.е. операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия непрерывной функции.

2. При отыскании пределов непрерывных функций эту тему удобно использовать в виде правила замены непрерывной переменной.

3. Так пусть z =j (x ) непрерывна в точке х0. а функция y = f (z ) непрерывна в точке z0 = j (x0 ). Тогда Теорема о непрерывности сложной функции

Пример. Найти предел Теорема о непрерывности сложной функции

1. Пусть Теорема о непрерывности сложной функции. Тогда при Теорема о непрерывности сложной функции .

2. Воспользуемся правилом замены переменной, получим:

Теорема о непрерывности сложной функции

Точки разрыва монотонных функций

Функция Теорема о непрерывности сложной функции. заданная на некотором промежутке, называется возрастающей ( убывающей ) на этом промежутке, если для любой пары точек промежутка: Теорема о непрерывности сложной функции и Теорема о непрерывности сложной функции. удовлетворяющих неравенству Теорема о непрерывности сложной функции. выполняется соотношение Теорема о непрерывности сложной функции ( Теорема о непрерывности сложной функции ).

Если при условии Теорема о непрерывности сложной функции выполняется соотношение Теорема о непрерывности сложной функции (или соотношение Теорема о непрерывности сложной функции ), то Теорема о непрерывности сложной функции называется неубывающей (невозрастающей) на этом промежутке.

Все виды указанных в определениях №№ 1 и 2 функций объединяют под общим названием монотонных. Но возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными.

Монотонно невозрастающая (неубывающая) функция Теорема о непрерывности сложной функции. заданная на некотором промежутке, имеет конечные односторонние пределы в каждой точке этого промежутка.

Доказательство данной теоремы очевидно. Оно следует из определения функции в точке и на промежутке, а также из определения монотонности функции.

Очевидно, что если функция Теорема о непрерывности сложной функции определена и монотонна на отрезке Теорема о непрерывности сложной функции. то она на этом отрезке ограничена, имеет наибольшее и наименьшее значения, которые принимаются функцией на концах отрезка.

Монотонная функция может иметь точки разрыва только первого рода.

1. Пусть функция Теорема о непрерывности сложной функции задана на отрезке Теорема о непрерывности сложной функции .

2. Будем считать для определённости Теорема о непрерывности сложной функции возрастающей на отрезке Теорема о непрерывности сложной функции .

3. Возьмем любую внутреннюю точку отрезка Теорема о непрерывности сложной функции. т.е. Теорема о непрерывности сложной функции .

4. Так как точка Теорема о непрерывности сложной функции не самая левая точка отрезка Теорема о непрерывности сложной функции. то на полуотрезке Теорема о непрерывности сложной функции функция Теорема о непрерывности сложной функции ограничена сверху, ибо выполняется неравенство Теорема о непрерывности сложной функции при Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о непрерывности сложной функции .

5. Поэтому множество значений функции Теорема о непрерывности сложной функции на полуотрезке Теорема о непрерывности сложной функции имеет точную верхнюю грань Теорема о непрерывности сложной функции в соответствии с теоремой «всякое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань».

6. Очевидно, что Теорема о непрерывности сложной функции. так как функция Теорема о непрерывности сложной функции — возрастающая на отрезке Теорема о непрерывности сложной функции. а Теорема о непрерывности сложной функции .

7. Согласно определению верхней грани для Теорема о непрерывности сложной функции найдётся такая точка Теорема о непрерывности сложной функции. что при Теорема о непрерывности сложной функции будет выполняться неравенство Теорема о непрерывности сложной функции .

8. Так как функция Теорема о непрерывности сложной функции возрастающая, то при всех Теорема о непрерывности сложной функции. удовлетворяющих неравенству Теорема о непрерывности сложной функции тем более будет верно неравенство

Теорема о непрерывности сложной функции .

9. В соответствии с определением левого предела функции в точке:

Теорема о непрерывности сложной функции

11. Очевидно, что Теорема о непрерывности сложной функции .

12. Аналогично доказывается, что в точке Теорема о непрерывности сложной функции функция Теорема о непрерывности сложной функции имеет и правый предел Теорема о непрерывности сложной функции. причём Теорема о непрерывности сложной функции .

13. Если левый и правый пределы существуют, а это уже доказано, и совпадают со значением функции в точке Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о непрерывности сложной функции. то функция Теорема о непрерывности сложной функции непрерывна в точке Теорема о непрерывности сложной функции .

14. Если же, по крайней мере, один из этих пределов не равен Теорема о непрерывности сложной функции. то точка Теорема о непрерывности сложной функции есть точка разрыва 1-го рода.

Для убывающей функции доказательства теоремы проводится аналогично.

Функция Теорема о непрерывности сложной функции называется инъективной, если она принимает различные значения для всяких двух различных значений аргумента.

Так всякая строго монотонная функция, определённая во множестве действительных чисел, инъективна. Но обратное утверждение неверно.

Так функция Теорема о непрерывности сложной функции инъективна, но не монотонна на множестве действительных чисел.

Непрерывная и инъективная функция Теорема о непрерывности сложной функции. определенная на невырожденном промежутке Теорема о непрерывности сложной функции. строго монотонна.

Непрерывность обратной функции

Понятие обратной функции

Пусть Теорема о непрерывности сложной функции и Теорема о непрерывности сложной функции — некоторые множества. И пусть задана функция Теорема о непрерывности сложной функции. т.е. множество упорядоченных пар чисел Теорема о непрерывности сложной функции. причем Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о непрерывности сложной функции. Во множестве упорядоченных пар чисел Теорема о непрерывности сложной функции каждое Теорема о непрерывности сложной функции входит в одну и только одну пару, а каждое число Теорема о непрерывности сложной функции. по крайней мере, в одну пару.

Если в каждой упорядоченной паре этого множества числа Теорема о непрерывности сложной функции и Теорема о непрерывности сложной функции поменять местами, то получим множество упорядоченных пар чисел Теорема о непрерывности сложной функции. которое называется обратной функцией к функции Теорема о непрерывности сложной функции .

Обозначают обратную функцию так: Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о непрерывности сложной функции или Теорема о непрерывности сложной функции .

Обратная функция, вообще говоря, не является функцией, так как каждое число Теорема о непрерывности сложной функции может входить не только в одну, но и в несколько пар.

1. Для функции Теорема о непрерывности сложной функции обратная функция Теорема о непрерывности сложной функции однозначна, поскольку каждое Теорема о непрерывности сложной функции входит только в одну пару чисел Теорема о непрерывности сложной функции .

2. Для функции Теорема о непрерывности сложной функции обратная функция Теорема о непрерывности сложной функции двузначна (так как каждое Теорема о непрерывности сложной функции входит в две пары: Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о непрерывности сложной функции ).

Теорема о непрерывности сложной функции

3. Для функции Теорема о непрерывности сложной функции обратная функция Теорема о непрерывности сложной функции – многозначная (каждое Теорема о непрерывности сложной функции входит в бесконечное число пар Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о непрерывности сложной функции …).

Геометрически данный факт очевиден.

Теорема о непрерывности сложной функции

Из определения следует, что если обратная функция однозначна, т.е. является функцией в обычном смысле, то множество значений функции Теорема о непрерывности сложной функции (множество Теорема о непрерывности сложной функции ) является областью определения обратной функции Теорема о непрерывности сложной функции. А область определения функции Теорема о непрерывности сложной функции (множество Теорема о непрерывности сложной функции ) является множеством значений обратной функции Теорема о непрерывности сложной функции .

График обратной функции

Перейдём к выяснению вопроса о взаимном расположении графиков прямой и обратной функций.

1. Так как связь между переменными Теорема о непрерывности сложной функции и Теорема о непрерывности сложной функции в прямой функции Теорема о непрерывности сложной функции и обратной ей функции Теорема о непрерывности сложной функции одна и та же, то графики этих функций совпадают.

Теорема о непрерывности сложной функции

2. Если же обратную функцию представить в обычно принятых обозначениях: аргумент обозначить за Теорема о непрерывности сложной функции. а функцию обозначить через Теорема о непрерывности сложной функции. т.е. записать Теорема о непрерывности сложной функции. При этом функцию Теорема о непрерывности сложной функции мы по-прежнему будем называть обратной по отношению к функции Теорема о непрерывности сложной функции .

3. Если аргумент функции Теорема о непрерывности сложной функции откладывать по горизонтальной оси, то график обратной функции повернётся.

Теорема о непрерывности сложной функции

4. Чтобы получить его новое расположение нужно перегнуть плоскость чертежа по биссектрисе первого и третьего координатных углов. Можно сказать, что график обратной функции является зеркальным отражением (отображением) графика прямой функции Теорема о непрерывности сложной функции в биссектрисе первого и третьего координатных углов.

Теорема о непрерывности сложной функции — прямая функция. Теорема о непрерывности сложной функции — ей обратная. В стандартном виде обратная функция будет иметь вид Теорема о непрерывности сложной функции .

Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о непрерывности сложной функцииТеорема о непрерывности сложной функции

Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о непрерывности сложной функцииТеорема о непрерывности сложной функции

Теорема о непрерывности сложной функции

Непрерывность сложной функции.

Введём понятие сложной функции. Пусть функции и определены на множестве X и Y соответственно, причём множество значений функции содержится в области определения функции f Тогда функцию, принимающую при каждом значение . называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций и f и обозначают .

Теорема. Если функция z = f ( y ) непрерывна в точке . а функция непрерывна в точке . причём . то в некоторой окрестности точки определена сложная функция . и эта функция непрерывна в точке .

&#&675; Пусть задано произвольное число . В силу непрерывности функции f в точке существует число такое, что и

В силу непрерывности функции в точке для найденного в (2) числа

можно указать число такое, что

Из условий (2) и (2′) следует, что на множестве определена сложная функция . причём

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция непрерывна в точке .&#&679;

Комментарии (показать )

Пусть функции $\varphi _<1>,…,\varphi _$ определены в некоторой окрестности точки $x_<0>\in R^$ и непрерывны в точке $x_<0>$, а функция $f(y)=f(y_<1>,…,y_)$определена в окрестности точки $y_<0>=(\varphi _<1>(x_<0>),…,\varphi _(x_<0>))$ и непрерывна в точке $y_<0>$. Тогда в некоторой окрестности точки $x_<0>$ определена сложная функция. $\Phi (x)=f \big( \varphi _<1>(x),…,\varphi _(x) \big) $ причем функция $\Phi(x)$ непрерывна в точке $x_<0>$.
Воспользуемся доказательством в случае одной переменной.

Теорема о непрерывности сложной функций

Пусть функция $\varphi (t) $ непрерывна в точке $t_<0>$ и функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_<0>=\varphi(t_<0>)$. Тогда функция $f(\varphi(t))$ непрерывна в точке $t_<0>$.

Доказательство:

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем:
$f(x)$ непрерывна в $x_<0>$ $\forall \varepsilon > 0 \;, \quad \exists \delta \; \quad \forall x \quad \left | x-x_<0> \right |< \delta $ $\left | f(x)-f(x_<0>) \right | <\varepsilon $ $ \quad \psi (e)$ непрерывна в $t_<0>$ $\forall \delta >0 \; \quad \exists \eta \; \quad \forall t \quad $ $\left | t-t_<0> \right | < \eta \; \quad \left | \varphi (t)-\varphi(t_<0>) \right | < \delta$ Выписывая кванторы, получим, что:
$$\forall \varepsilon >0 \; \quad \exists \eta \; \quad \forall t \quad \left | t-t_<0>\right | < \eta \quad \left | f\Big( \varphi (t) \Big)-f\Big((\varphi t_<0>)\Big) \right | < \varepsilon $$ что и говорит о том, что $f\big(\varphi (t)\big)$ непрерывна в точке $t_<0>$.

Источники:

Непрерывная функция

Лимит времени: 0

Точками разрыва функции нескольких переменных называется:

  • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^\rightarrow R$$ определена и является непрерывной
  • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^\rightarrow R$$ не определена и является непрерывной
  • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^\rightarrow R$$ определена, но не является непрерывной

Добавить комментарий Отменить ответ

В доказательстве Вы неправильно используете символ (тег) абзаца. Предложение не может состоять из нескольких абзацев. Если просто нужно формулу в отдельной строке, то ТеХ это умеет.
И самое важное. Я уже писал о семантической разметке. Зачем Вы опять понатыкали десятки всяких align=»JUSTIFY» style=»font-family: ‘Times New Roman’; font-size: medium;»?
Если Вам непонятно это требование просто расспросите меня о нем по почте. Я еще раз объясню зачем нужен CSS для сайта.

Алгебра на Dropbox

  • Теорема о непрерывности сложной функции Воеводин В.В. Линейная…
  • Теорема о непрерывности сложной функции Кострикин А.И. Введение…
  • Теорема о непрерывности сложной функции Курош А.Г. Курс…
  • Теорема о непрерывности сложной функции Проскуряков И.В. Сборник…
  • Теорема о непрерывности сложной функции Фаддеев Д.К. Лекции…
  • Теорема о непрерывности сложной функции Фаддеев Д.К. Соминский И.С.
  • Теорема о непрерывности сложной функции Федорчук В.В. Курс…
  • Теорема о непрерывности сложной функции Цубербиллер О.Н. Задачи…

Лучшее на Dropbox

  • Теорема о непрерывности сложной функции Конкретная математика
  • Теорема о непрерывности сложной функции Математика и правдоподобные…

Математический анализ на Dropbox

  • Теорема о непрерывности сложной функции В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс… 1
  • В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс… 2
  • Теорема о непрерывности сложной функции Г.М.Фихтенгольц. Курс…, т.1
  • Г.М.Фихтенгольц. Курс…, т.2
  • Г.М.Фихтенгольц. Курс…, т.3
  • Теорема о непрерывности сложной функции Демидович Б.П. Сборник задач…
  • Теорема о непрерывности сложной функции Л.Д.Кудрявцев. Курс…, том 1
  • Л.Д.Кудрявцев. Курс…, том 2
  • Л.Д.Кудрявцев. Курс…, том 3
  • Теорема о непрерывности сложной функции ТерКрикоров и Шабунин. Курс…

Разное на Dropbox

Software developer AI Scientist Ass.prof Odessa National I.I.Mechnikov University

Личные Ссылки

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *