Теорема о движении центра масс

Теорема о движении центра масс

В ряде случаев для определения характера движения системы (особенно твердого тела), достаточно знать закон движения ее центра масс. Например, если бросить камень в цель, совсем не нужно знать как он будет кувыркаться во время полета, важно установить попадет он в цель или нет. Для этого достаточно рассмотреть движение какой-нибудь точки этого тела.

Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы и сложим по­членно их левые и правые части. Тогда получим:

Преобразуем левую часть равенства. Из формулы для радиус-вектора центра масс имеем:

Беря от обеих частей этого равенства вторую производную по времени и замечая, что производная от суммы равна сумме произ­водных, найдем:

где — ускорение центра масс системы. Так как по свойству вну­тренних сил системы , то, подставляя все найденные значения, получим окончательно:

Уравнение и выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. Сравнивая с уравнением дви­жения материальной точки, получаем другое вы­ражение теоремы: центр масс системы движется как мате­риальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Проектируя обе части равенства на координатные оси, получим:

Эти уравнения представляют собою дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.

Значение доказанной теоремы состоит в следующем.

1) Теорема дает обоснование методам динамики точки. Из урав­нений видно, что решения, которые мы получаем, рассмат­ривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела, т.е. имеют вполне конкрет­ный смысл.

В частности, если тело движется поступательно, то его движе­ние полностью определяется движением центра масс. Таким образом, поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных слу­чаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс.

2) Теорема позволяет при определении закона движения центра масс любой системы исключать из рассмотрения все наперед неиз­вестные внутренние силы. В этом состоит ее практическая ценность.

Так движение автомобиля по горизонтальной плоскости может происходить только под действием внешних сил, сил трения, действующих на колеса со стороны дороги. И торможение автомобиля тоже возможно только этими силами, а не трением между тормозными колодками и тормозным барабаном. Если дорога гладкая, то как бы не затормаживали колеса, они будут скользить и не остановят автомобиль.

Или после взрыва летящего снаряда (под действием внутренних сил) части, осколки его, разлетятся так, что центр масс их будет двигаться по прежней траектории.

Теоремой о движении центра масс механической системы следует пользоваться для решения задач механики, в которых требуется:

— по силам, приложенным к механической системе (чаще всего к твердому телу), определить закон движения центра масс;

— по заданному закону движения тел, входящих в механическую систему, найти реакции внешних связей;

— по заданному взаимному движению тел, входящих в механическую систему, определить закон движения этих тел относительно некоторой неподвижной системы отсчета.

С помощью этой теоремы можно составить одно из уравнений движения механической системы с несколькими степенями свободы.

При решении задач часто используются следствия из теоремы о движении центра масс механической системы.

Следствие 1. Если главный вектор внешних сил, приложенных к механической системе, равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. Так как ускорение центра масс равно нулю, .

Следствие 2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то центр масс системы или не изменяет своего положения относительно данной оси, или движется относительно нее равномерно.

Например, если на тело начнут действовать две силы, образующие пару сил (рис.38), то центр масс С его будет двигаться по прежней траектории. А само тело будет вращаться вокруг центра масс. И неважно, где приложена пара сил.

Кстати, в статике мы доказывали, что действие пары на тело не зависит от того, где она приложена. Здесь мы показали, что вращение тела будет вокруг центральной оси С .

Теорема о движении центра масс

Пример 10. Человек перешел с кормы лодки на нос. Определим перемещение лодки s (рис.39). Вес лодки – Р1. человека – Р2. длина лодки – l. Сопротивление движению не учитываем.

Определим движение центра масс С системы, состоящей из человека и лодки.

Теорема о движении центра масс

Составляем дифференциальное уравнение движения центра масс по оси х. Но так как проекции внешних сил . и на ось х равны нулю, то Проинтегрировав дважды это уравнение, получим и Но в начале движения система была неподвижна Значит,

Найдем координату в первом положении системы, когда человек находился на корме, как координату центра тяжести:

И во втором положении, когда человек перейдет на нос лодки:

Приравниваем координаты, т.к.

Из этого равенства находим перемещение лодки

Пример 11. Рассмотрим систему, которая состоит из однородного стержня ОА и кольца М. Стержень длины L и массы вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис.40). Кольцо массы m может без трения скользить по стержню. К нему прикреплена пружина, коэффициент жесткости которой равен С. Положение кольца на стержне определяется координатой . Определим проекции реакции опоры О на оси неподвижной декартовой системы координат Oxy .

Запишем уравнение теоремы о движении центра масс для рассматриваемой механической системы в векторном виде.

Силы взаимодействия кольца со стержнем и пружиной есть внутренние силы системы, поэтому в уравнении они в явном виде не присутствуют. Проектируя уравнение (5) на оси системы координат Oxy. получаем

По формулам (1) находим координаты центра масс системы

затем, дифференцируя (7), запишем

и, наконец, вычисляя вторые производные, получим

Подставляя (8) в уравнения (6), получаем проекции реакции в опоре O на оси неподвижной системы координат:

Если в полученные уравнения подставить значения обобщенных координат и ускорений для какого-либо момента времени, можно найти величины искомых проекций.

188.123.231.15 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Теорема о движении центра масс механической системы

Проецируем последнее выражение на оси координат:

Теорема о движении центра масс звучит следующим образом: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему .

Используя вышеописанные уравнения можно определять движение центра масс системы, не определяя движения отдельных ее точек.

Если в качестве механической системы рассматривать твердое тело, то полученные выражения будут являться дифференциальными уравнениями поступательного движения данного тела. Поэтому поступательно движущееся тело можно рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

Следствия из теоремы:

1) Внутренние силы не влияют на движения центра масс системы. Т.е. внутренними силами без внешних, нельзя вывести из равновесия или изменить движение центра масс системы.

Два других следствия из рассматриваемой теоремы выражают закон сохранения движения центра масс системы.

2) если на механическую систему не действуют внешние силы или их геометрическая сумма равна нулю ( ), то такая система движется прямолинейно и равномерно ( ).

3) то же самое справедливо, если рассматривать движение механической системы относительно любой оси.

Если внешние силы действующие на механическую систему таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная.

Следствия из теоремы подтверждаются следующими примерами:

Центр масс искусственного спутника земли не меняет характер своего движения при выходе космонавта в открытый космос.

2. При отсутствии трения человек не может перемещаться по совершенно гладкой поверхности.

3. Силы, действующие на колеса автомобиля со стороны двигателя, не могут привести его в движение. Движение осуществляется только при появлении внешних сил — сил сцепления (Fсц ).

Условие задачи. Человек весом G1 стоит на корме лодки весом G2 и длинной l. находящейся в покое в стоячей воде. Определить, пренебрегая сопротивлением воды, расстояние S. на которое переместится лодка, если человек перейдет на нос лодки.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из человека и лодки, на которую действуют: силы тяжести G1. G2 и сила Архимеда FА . выталкивающая лодку из воды.

На основании теоремы о движении центра масс имеем:

Так как все силы вертикальны, то в проекции на ось x записанное выражение примет вид

Дважды интегрируя полученное дифференциальное уравнение будем иметь:

При условии, что в начальный момент времени (t =0) скорость центра масс системы равна нулю ( ), а координата xС центра масс определяется некоторой величиной A (xC =A ), получаем: C1 =0, C2 =A. и, следовательно,

Иными словами, в процессе движения человека по лодке, координата xC своего значения менять не будет, и перемещение человека будет компенсироваться обратным перемещением лодки.

Выражения, определяющие координату xC центра масс системы до и после перемещений человека и лодки, соответственно, будут иметь вид:

Приравняв правые части последних выражений, получим:

§ 107. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

В ряде случаев для определения характера движения системы (особенно твердого тела) требуется знать закон движения ее центра масс. Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы (13) и сложим почленно их левые и правые части. Тогда получим

Преобразуем левую часть равенства. Из формулы (Г) для радиуса-вектора центра масс имеем

Беря от обеих частей этого равенства вторую производную по времени и замечая, что производная от суммы равна сумме производных, найдем

где ускорение центра масс системы. Так как по свойству внутренних сил системы , получим окончательно из равенства (14), учтя (15),

Уравнение (16) и выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. Сравнивая уравнение (16) с уравнением движения материальной точки [§ 74, формула (2)], придем к другому выражению теоремы: центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Проектируя обе части равенства (16) на координатные оси, получим:

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.

Значение доказанной теоремы состоит в следующем.

1. Теорема дает обоснование методам динамики точки. Из уравнений (16) видно, что решения, которые мы получаем, рассматривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела, т. е. имеют вполне конкретный смысл.

В частности, если тело движется поступательно, то его движение полностью определяется движением центра масс. Таким образом, поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных случаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс и допустимо по условиям решаемой задачи не принимать во внимание вращательную часть движения тела.

2. Теорема позволяет при определении закона движения центра масс любой системы исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы. В этом состоит ее практическая ценность.

Теорема о движении центра масс.

В ряде случаев для определения характера движения системы (особенно твердого тела), достаточно знать закон движения ее центра масс. Например, если бросить камень в цель, совсем не нужно знать как он будет кувыркаться во время полета, важно установить попадет он в цель или нет. Для этого достаточно рассмотреть движение какой-нибудь точки этого тела.

Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы и сложим по­членно их левые и правые части. Тогда получим:

Преобразуем левую часть равенства. Из формулы для радиус-вектора центра масс имеем:

Беря от обеих частей этого равенства вторую производную по времени и замечая, что производная от суммы равна сумме произ­водных, найдем:

где — ускорение центра масс системы. Так как по свойству вну­тренних сил системы , то, подставляя все найденные значения, получим окончательно:

Уравнение и выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. Сравнивая с уравнением дви­жения материальной точки, получаем другое вы­ражение теоремы: центр масс системы движется как мате­риальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Проектируя обе части равенства на координатные оси, получим:

Эти уравнения представляют собою дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.

Значение доказанной теоремы состоит в следующем.

1) Теорема дает обоснование методам динамики точки. Из урав­нений видно, что решения, которые мы получаем, рассмат­ривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела, т.е. имеют вполне конкрет­ный смысл.

В частности, если тело движется поступательно, то его движе­ние полностью определяется движением центра масс. Таким образом, поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных слу­чаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс.

2) Теорема позволяет при определении закона движения центра масс любой системы исключать из рассмотрения все наперед неиз­вестные внутренние силы. В этом состоит ее практическая ценность.

Так движение автомобиля по горизонтальной плоскости может происходить только под действием внешних сил, сил трения, действующих на колеса со стороны дороги. И торможение автомобиля тоже возможно только этими силами, а не трением между тормозными колодками и тормозным барабаном. Если дорога гладкая, то как бы не затормаживали колеса, они будут скользить и не остановят автомобиль.

Или после взрыва летящего снаряда (под действием внутренних сил) части, осколки его, разлетятся так, что центр масс их будет двигаться по прежней траектории.

Теоремой о движении центра масс механической системы следует пользоваться для решения задач механики, в которых требуется:

— по силам, приложенным к механической системе (чаще всего к твердому телу), определить закон движения центра масс;

— по заданному закону движения тел, входящих в механическую систему, найти реакции внешних связей;

— по заданному взаимному движению тел, входящих в механическую систему, определить закон движения этих тел относительно некоторой неподвижной системы отсчета.

С помощью этой теоремы можно составить одно из уравнений движения механической системы с несколькими степенями свободы.

При решении задач часто используются следствия из теоремы о движении центра масс механической системы.

Следствие 1. Если главный вектор внешних сил, приложенных к механической системе, равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. Так как ускорение центра масс равно нулю, .

Следствие 2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то центр масс системы или не изменяет своего положения относительно данной оси, или движется относительно нее равномерно.

Например, если на тело начнут действовать две силы, образующие пару сил (рис.38), то центр масс С его будет двигаться по прежней траектории. А само тело будет вращаться вокруг центра масс. И неважно, где приложена пара сил.

Кстати, в статике мы доказывали, что действие пары на тело не зависит от того, где она приложена. Здесь мы показали, что вращение тела будет вокруг центральной оси С .

Теорема о движении центра масс

Теорема о движении центра масс.

Сформулируйте теорему о движении центра масс системы.

Центр масс механической системы движется как материальная точка массой, равной массе всей системы, к которой приложены все силы, действующие на систему.

Какое движение твердого тела можно рассматривать как движение материальной точки, имеющей массу данного тела, и почему?

Поступательное движение твердого тела полностью определяется движением одной из его точек. Следовательно, решив задачу о движении центра масс тела как материальной точки с массой тела, можно определить поступательное движение всего тела.

При каких условиях центр масс системы находится в состоянии покоя и при каких условиях он движется равномерно и прямолинейно?

Если главный вектор внешних сил остается все время равным нулю и начальная скорость Теорема о движении центра массцентра масс равна нулю, то центр масс находится в покое.

Если главный вектор внешних сил остается все время равным нулю и начальная скорость Теорема о движении центра масс, то центр масс движется равномерно и прямолинейно.

При каких условиях центр масс системы не перемещается вдоль некоторой оси?

Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось остается все время равной нулю и проекция скорости на эту ось равна нулю, то координата центра масс по этой оси остается постоянной.

Какое действие на свободное твердое тело оказывает приложенная к нему пара сил?

Если приложить пару сил к свободному твердому телу, находящемуся в покое, то под действием этой пары сил тело начнет вращаться вокруг своего центра масс.

Теорема об изменении количества движения.

Как определяется импульс переменной силы за конечный промежуток времени? Что характеризует импульс силы?

Импульс переменной силы Теорема о движении центра массза конечный промежуток времениТеорема о движении центра массравен

Теорема о движении центра масс.

Импульс силы характеризует передачу телу механического движения со стороны действующих на нее тел за данный промежуток времени.

Чему равны проекции импульса постоянной и переменной силы на оси координат?

Проекции импульса переменной силы на оси координат равны

Теорема о движении центра масс,Теорема о движении центра масс,Теорема о движении центра масс.

Проекции импульса постоянной силы на оси координат за промежуток времени Теорема о движении центра массравны

Теорема о движении центра масс,Теорема о движении центра масс,Теорема о движении центра масс.

Чему равен импульс равнодействующей?

Импульс равнодействующей нескольких сил за некоторый промежуток времени равен геометрической сумме импульсов составляющих сил за этот же промежуток времени

Теорема о движении центра масс.

Как изменяется количество движения точки, движущейся равномерно по окружности?

При равномерном движении точки по окружности изменяется направление количества движения Теорема о движении центра масс, но сохраняется его модульТеорема о движении центра масс.

Что называется количеством движения механической системы?

Количеством движения механической системы называется вектор равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движений всех точек системы

Теорема о движении центра масс.

Чему равно количество движения маховика, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр тяжести?

Количество движения маховика, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр тяжести, равно нулю, т. к. Теорема о движении центра масс.

Сформулируйте теоремы об изменении количества движения материальной точки и механической системы в дифференциальной и конечной формах. Выразите каждую из этих теорем векторным уравнением и тремя уравнениями в проекциях на оси координат.

Дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному импульсу действующих на точку сил

Теорема о движении центра масс.

Изменение количества движений точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени

Теорема о движении центра масс.

В проекциях эти теоремы имеют вид

Теорема о движении центра масс,Теорема о движении центра масс,Теорема о движении центра масс

Теорема о движении центра масс,Теорема о движении центра масс,Теорема о движении центра масс.

Производная по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил, действующих на систему

Теорема о движении центра масс.

Производная по времени от проекции количества движения механической системы на любую ось равна проекции главного вектора внешних сил на ту же ось

Теорема о движении центра масс,Теорема о движении центра масс,Теорема о движении центра масс.

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежуток

Теорема о движении центра масс.

Изменение проекции количества движения системы на любую ось равно сумме проекций импульсов всех внешних сил, действующих на систему, на ту же ось

Теорема о движении центра масс,Теорема о движении центра масс,Теорема о движении центра масс.

При каких условиях количество движения механической системы не изменяется? При каких условиях не изменяется его проекция на некоторую ось?

Если главный вектор внешних сил за рассматриваемый промежуток времени равен нулю, то количество движения системы постоянно.

Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось постоянна.

Почему происходит откат орудия при выстреле?

Откат орудия при выстреле по горизонтальному направлению обусловлен тем, что проекция количества движения на горизонтальную ось Теорема о движении центра массне изменяется при отсутствии горизонтальных сил

Теорема о движении центра масс,Теорема о движении центра масс.

Могут ли внутренние силы изменить количество движения системы или количество движения ее части?

Т. к. главный вектор внутренних сил равен нулю, то они не могут изменить количество движения системы.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *