Свойства параллелограмма с доказательством

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Свойства параллелограмма с доказательством

Определение. Параллелограмм – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойство 1. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Доказательство. По II признаку (накрест лежащие углы и общая сторона).

Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 2. В параллелограмме противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 3. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 4. Биссектриса угла параллелограмма, пересекая противоположную сторону, делит его на равнобедренный треугольник и трапецию. (Ч. сл. – вершину – два равнобедренных ?-ка).

Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 5. В параллелограмме отрезок с концами на противоположных сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.

Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 6. Угол между высотами, опущенными из вершины тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.

Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 7. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Свойства параллелограмма с доказательством

Построение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.

1) Построить произвольный луч DE.

2) На данном луче построить произвольную окружность с центром в вершине и такую же
с центром в начале построенного луча.

3) F и G – точки пересечения окружности со сторонами данного угла, H – точка пересечения окружности с построенным лучом

Свойства параллелограмма с доказательством

Построить окружность с центром в точке H и радиусом, равным FG.

5) I – точка пересечения окружностей построенного луча.

6) Провести прямую через вершину и I.

IDH – требуемый угол.
( Свойства параллелограмма с доказательством
Свойства параллелограмма с доказательством )

Свойство 1. Биссектриса угла треугольника разбивает противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.

Свойства параллелограмма с доказательством

Доказательство. Пусть x, y-отрезки стороны c. Продолжим луч BC. На луче BC отложим от C отрезок CK, равный AC.

Свойства параллелограмма с доказательством
Свойства параллелограмма с доказательством
Свойства параллелограмма с доказательством

Свойства параллелограмма с доказательством

Свойства параллелограмма с доказательством
Свойства параллелограмма с доказательством
Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 2. Биссектриса – ГМТ равноудалённых от прилежащих сторон треугольника.

Свойство 3. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной окружности треугольника. (Из предыдущего свойства)

Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 4. Биссектрисы делятся точкой пересечения в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей стороне, считая от вершины.

Доказательство. Рассмотрим треугольник CBC1 :

Свойства параллелограмма с доказательством

5.189.137.82 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.

Признаки параллелограмма

Для того, чтобы определить является ли данная фигура параллелограммом существует ряд признаков. Рассмотрим три основных признака параллелограмма.

1 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

Свойства параллелограмма с доказательством

Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD — общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно угол3 = угол4.

А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

Свойства параллелограмма с доказательством

Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (BD — общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что угол1 = угол2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

3 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам.

Свойства параллелограмма с доказательством

Треугольники AOB и COD будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, угол AOB = угол COD как вертикальные углы.) Следовательно, AB = CD и угол1 = угол 2. Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

Нужна помощь в учебе?

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством.

Свойства параллелограмма с доказательствомОпределение. Параллелограмм – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойство 1. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Доказательство. По II признаку (накрест лежащие углы и общая сторона).

Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 2. В параллелограмме противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 3. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Свойства параллелограмма с доказательствомСвойство 4. Биссектриса угла параллелограмма, пересекая противоположную сторону, делит его на равнобедренный треугольник и трапецию. (Ч. сл. – вершину – два равнобедренных ∆-ка).

Свойство 5. В параллелограмме отрезок с концами на противоположных сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.

Свойства параллелограмма с доказательствомСвойство 6. Угол между высотами, опущенными из вершины тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.

Свойство 7. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

2.Свойства параллелограмма с доказательствомПостроение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.

1) Построить произвольный луч DE.

2) На данном луче построить произвольную окружность с центром в вершине и такую же
с центром в начале построенного луча.

3) F и G – точки пересечения окружности со сторонами данного угла, H – точка пересечения окружности с построенным лучом

4) Свойства параллелограмма с доказательством Построить окружность с центром в точке H и радиусом, равным FG.

5) I – точка пересечения окружностей построенного луча.

6) Провести прямую через вершину и I.

IDH – требуемый угол.
( Свойства параллелограмма с доказательством
Свойства параллелограмма с доказательством )

Свойство 1. Биссектриса угла треугольника разбивает противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.

Свойства параллелограмма с доказательствомДоказательство. Пусть x, y-отрезки стороны c. Продолжим луч BC. На луче BC отложим от C отрезок CK, равный AC.

Свойства параллелограмма с доказательством
Свойства параллелограмма с доказательством
Свойства параллелограмма с доказательством

Свойства параллелограмма с доказательством

Свойства параллелограмма с доказательством
Свойства параллелограмма с доказательством
Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 2. Биссектриса – ГМТ равноудалённых от прилежащих сторон треугольника.

Свойство 3. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной окружности треугольника. (Из предыдущего свойства)

Свойства параллелограмма с доказательством

Свойство 4. Биссектрисы делятся точкой пересечения в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей стороне, считая от вершины.

Доказательство. Рассмотрим треугольник CBC1 :

Свойства параллелограмма с доказательством

193. Параллелограмм и его свойства.

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны (рис. 233).

Для произвольного параллелограмма имеют место следующие свойства:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.

Доказательство. В параллелограмме ABCD проведем диагональ АС. Треугольники ACD и АС В равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов, прилежащих к ней:

(как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, и как стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, что и требовалось доказать.

2. Противоположные углы параллелограмма равны:

3. Соседние углы параллелограмма, т. е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме и т. д.

Доказательство свойств 2 и 3 сразу получается из свойств углов при параллельных прямых.

4. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам. Иначе говоря,

Доказательство. Треугольники AOD и ВОС равны, так как равны их стороны AD и ВС (свойство 1) и углы, к ним прилежащие (как накрест лежащие углы при параллельных прямых). Отсюда следует и равенство соответствующих сторон этих треугольников: АО что и требовалось доказать.

Каждое из названных четырех свойств характеризует параллелограмм, или, как говорят, является его характеристическим свойством, т. е. всякий четырехугольник, обладающий хотя бы одним из этих свойств, является параллелограммом (и, значит, обладает и всеми остальными тремя свойствами).

Проведем доказательство для каждого свойства отдельно.

1′. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.

Доказательство. Пусть у четырехугольника ABCD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис. 233). Проведем диагональ АС. Треугольники ABC и CDА будут равны, как имеющие три пары равных сторон.

Но тогда углы ВАС и DCА равны и . Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.

2. Если у четырехугольника две пары противоположных углов равны, то он является параллелограммом.

Доказательство. Пусть . Так как то и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых).

3. Предоставляем формулировку и доказательство читателю.

4. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство. Если АО = ОС, BO = OD (рис. 233), то треугольники AOD и ВОС равны, как имеющие равные углы (вертикальные!) при вершине О, заключенные между парами равных сторон АО и СО, ВО и DO. Из равенства треугольников заключаем, что стороны AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом по характеристическому свойству Г.

Таким образом, для того чтобы доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом, достаточно убедиться в справедливости любого из четырех свойств. Читателю предлагается самостоятельно доказать еще одно характеристическое свойство параллелограмма.

5. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.

Иногда какая-нибудь пара параллельных сторон параллелограмма называется его основаниями, тогда две другие называются боковыми сторонами. Отрезок прямой, перпендикулярной к двум сторонам параллелограмма, заключенный между ними, называется высотой параллелограмма. Параллелограмм на рис. 234 имеет высоту h, проведенную к сторонам AD и ВС, вторая его высота представлена отрезком .

Теорема. (Свойство диагоналей параллелограмма)

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Свойства параллелограмма с доказательством

Пусть ABCD – данный параллелограмм. Проведем диагональ AC. Отметим на ней середину O. На продолжении отрезка DO отложим отрезок OB1, равный DO.
По предыдущей теореме AB1CD – параллелограмм. Поэтому, прямая AB1 параллельна DC. Но через точку A можно провести только одну прямую, параллельную DC. Значит, прямая AB1 совпадает с прямой AB.
Также доказывается, что BC1 совпадает с BC. Значит, точка С совпадает с С1. параллелограмм ABCD совпадает с параллелограммом AB1CD. Следовательно, диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.

Теорема. (Свойство противолежащих сторон параллелограмма).

У параллелограмма противолежащие стороны равны.

Свойства параллелограмма с доказательством

Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Так как &#916 AOB = &#916 COD по первому признаку равенства треугольников (&#8736 AOB = &#8736 COD, как вертикальные, AO=OC, DO=OB, по свойству диагоналей параллелограмма), то AB=CD. Точно также из равенства треугольников ВОС и DOA, следует что BC=DA. Теорема доказана.

Теорема. (Свойство противолежащих углов параллелограмма).

У параллелограмма противолежащие углы равны.

Свойства параллелограмма с доказательством

Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Из доказанного в теореме о свойства противолежащих сторон параллелограмма &#916 ABC = &#916 CDA по трем сторонам (AB=CD, BC=DA из доказанного, AC – общая). Из равенства треугольников следует, что &#8736 ABC = &#8736 CDA.
Так же доказывается, что &#8736 DAB = &#8736 BCD, которое следует из &#8736 ABD = &#8736 CDB. Теорема доказана.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *