Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Дифференциальная форма . Дифференциал от кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на точку,

Интегральная (конечная) форма. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки: изменение кинетической энергии мате­риальной точки на некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на эту точку сил на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы формулируется: изменение кинетической энергии меха­нической системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних cuл, приложенных к системе, на этом перемещении:

В случае неизменяемой системы сумма работ внутренних сил на любом перемещении равна нулю ( ), тогда

Закон сохранения механической энергии. При движении механической системы под действием сил, имеющих потенциал, изменения кинетической энергии системы определяются зависимостями:

Сумму кинетической и потенциальной энергий системы называют полной механической энергией системы.

Таким образом. при движении механической системы в стационар­ном потенциальном поле полная механическая энергия системы при движении остается неизменной .

Задача. Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывая трение скольжения тела 3, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость и ускорение тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s (рис. 3.70).

Решение. На механическую систему действуют активные силы , , . Применяя принцип освобождения от связей системы, покажем реакции шарнирно-неподвижной опоры 2 и шероховатой наклонной поверхности. Направления скоростей тел системы изобразим с учетом того, что тело 1 спускается.

Задачу решим, применяя теорему об изменении кинетической энергии механической системы :

где Т и – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; — алгебраическая сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное; — сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями:

Так как в начальном положении система покоилась, то . Следовательно:

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3:

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно, равна:

Кинетическая энергия блока 2, совершающего вращение вокруг оси Оz. перпендикулярной плоскости чертежа:

Кинетическая энергия тела 3 в его поступательном движении:

Выражение кинетической энергии содержит неизвестные скорости всех тел системы. Начать определение необходимо с . Избавимся от лишних неизвестных, составив уравнения связей.

Уравнения связей это не что иное, как кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы. При составлении уравнений связей выразим все неизвестные скорости и перемещения тел системы через скорость и перемещение груза 1.

Скорость любой точки обода малого радиуса равна скорости тела 1, а также произведению угловой скорости тела 2 и радиуса вращения r:

Отсюда выразим угловую скорость тела 2:

Вращательная скорость любой точки обода блока большого радиуса , с одной стороны, равна произведению угловой скорости блока и радиуса вращения, а с другой – скорости тела 3:

Подставив значение угловой скорости, получим:

Проинтегрировав при начальных условиях выражения (а) и (б), запишем соотношение перемещений точек системы:

Зная основные зависимости скоростей точек системы, вернемся к выражению кинетической энергии и подставим в него уравнения (а) и (б):

Момент инерции тела 2 равен:

Подставляя значения масс тел и момента инерции тела 2, запишем:

Определение суммы работ всех внешних сил системы на заданном перемещении.

Работа силы тяжести тела 1

Работа сил равна нулю, так как эти силы приложены к неподвижной точке.

Работа силы тяжести тела 3

Работа нормальной реакции тела 3 равна нулю, так как сила перпендикулярна направлению движения

Работа силы трения скольжения

Сумма работ внешних сил

Подставляя значения масс тел, соотношения перемещений (в) и числовые параметры, запишем:

Теперь согласно теореме об изменении кинетической энергии механической системы приравняем значения Т и

Скорость тела 1 получим из выражения (г)

Ускорение тела 1 можно определить, продифференцировав по времени равенство (г):

2. Кинетическая энергия точки и механической системы.

Кинетическая энергия материальной точки — скалярная положительная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости, т. е. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Кинетическая энергия механической системыарифме­тическая сумма кинетических энергий всех материальных точек этой системы

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Кинетическая энергия системы, состоящей изпсвязанных между собой тел, равна арифметической сумме кинетических энергий всех тел этой системы:

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема Кенига. Кинетическая энергия механической системы в общем случае ее движения равна сумме кинетической энергии движения системы вместе с центром масс и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс:

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы,

где Теорема об изменении кинетической энергии механической системы— скоростьk — й точки системы относительно центра масс.

Задача 2. Каток А приводится в движение из состояния покоя по­средством троса, который одним концом намотан на каток, а вто­рым — на барабан В. Каток А считать однородным цилиндром массы Теорема об изменении кинетической энергии механической системы= 50кг и радиуса Теорема об изменении кинетической энергии механической системы= 0,4м. Масса барабана Теорема об изменении кинетической энергии механической системы= 20кг распределена по его ободу радиуса Теорема об изменении кинетической энергии механической системы= 0,2м. К барабану при­ложен вращающий момент Теорема об изменении кинетической энергии механической системы= 100Нм. Пренебрегая сколь­жением и трением качения катка по горизонтальной плоскости и весом троса, определить скорость катка, когда он переместится на расстояние s = 2 м .

Решение. Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме:

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы,

где Теорема об изменении кинетической энергии механической системы— система движется из состояния покоя

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы—по свойству внутренних сил. Тогда Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.Теорема об изменении кинетической энергии механической системы. КатокА совершает плоскопараллельное движение.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Барабан В совершает вращательное движение.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Внешними силами являются силы тяжести Теорема об изменении кинетической энергии механической системы, нормальная реакцияТеорема об изменении кинетической энергии механической системы, сила сцепленияТеорема об изменении кинетической энергии механической системы, вращающий мо­ментТеорема об изменении кинетической энергии механической системы, реакцииТеорема об изменении кинетической энергии механической системыиТеорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема об изменении кинетической энергии механической системытак как сила Теорема об изменении кинетической энергии механической системы;Теорема об изменении кинетической энергии механической системытак как силаТеорема об изменении кинетической энергии механической системыприложена в МЦС;Теорема об изменении кинетической энергии механической системытак какТеорема об изменении кинетической энергии механической системы;Теорема об изменении кинетической энергии механической системы,Теорема об изменении кинетической энергии механической системы,Теорема об изменении кинетической энергии механической системы— точка приложения сил не перемещается.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Все темы данного раздела:

Основные законы механики
Теоретическая механика относится к числу так называемых аксиоматических наук. В ее основе лежит система исходных положений – аксиом, принимаемых без доказательства, но проверенных не только прямыми

Аксиома 3
Две материальные точки взаимодействуют с силами, равными по модулю и направленными по одной прямой в противоположные стороны (Рис. 2). Аксиома 4(Принцип

Скорость точки
Быстроту движения точки характеризует ее скорость, к определению которой мы сейчас переходим. Пусть в момент времени

Ускорение точки
Быстроту изменения вектора скорости характеризует ускорение точки. Пусть в момент времени точка нах

Аксиома 3
Система двух сил, приложенная к абсолютно твердому телу, уравновешена (эквивалентна нулю) тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю и действуют по одной прямой в противоположные

Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси называется проекция на ось момента силы, вычисленного относительно любой точки этой оси:

Пара сил
Парой сил называется система двух сил, равных по модулю и действующих по параллельным прямым в противоположные стороны. Плоскость, в ко

Дифференциальные уравнения движения механической системы
Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек. Для каждой точки системы в инерциальной системе о

Основные свойства внутренних сил
Рассмотрим две любые точки механической системы и

Теорема об изменении кинетического момента
Умножим каждое из уравнений (3.1) слева векторно на радиус–вектор соответствующей точки и сложим

Условия равновесия
Остановимся на вопросах равновесия материальных тел, которые составляют существенную часть раздела «Статика9quot; курса теоретической механики. Под равновесием в механике традиционно

Равновесие системы сил, линии действия которых лежат в одной плоскости
Во многих практически интересных случаях тело находится в равновесии под действием системы сил, линии действия которых расположены в одной плоскости. Примем эту плоскость за координатную

Расчет ферм
Особое место в ряду статических задач занимает расчет ферм. Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней (Рис.3.3). Если все стержни фермы и вся приложенная к ней

Равновесие тела при наличии трения
Как известно, при скольжении тела по опорной поверхности возникает сопротивление, тормозящее скольжение. Это явление учитывается путем введения в рассмотрение силы трения.

Центр параллельных сил
Это понятие вводится для системы параллельных сил, имеющих равнодействующую, причем точки приложения сил системы – точки

Центр тяжести тела
Рассмотрим материальное тело, расположенное вблизи поверхности Земли (в поле земного притяжения). Допустим сначала, что тело состоит из конечного числа материальных точек, другими словами – частиц,

Центр масс механической системы. Теорема о движении центра масс
Инерционные свойства материального тела определяются не только его массой, но и характером распределения этой массы в теле. Существенную роль в описании такого распределения играет положение центра

ЛЕКЦИЯ 5
5.1. Движение абсолютно твёрдого тела Одной из важнейших задач механики является описание движения абсолютно твердого тела. В общем случае различные точки

Поступательное движение твердого тела
Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению во все время движения.

Кинематика вращательного движения твердого тела
При вращательном движении в теле существует единственная прямая, все точки которой

Скоростью тела.
Окончательно получаем: (5.4) Формула (5.4) называется формулой Эйлера. На Рис.5.

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела
Вращение твердого тела, как и любое другое движение, происходит в результате воздействия внешних сил. Для описания вращательного движения используем теорему об изменении кинетического момента относ

Кинематика плоскопараллельного движения твердого тела
Движение тела называется плоскопараллельным, если расстояние от любой точки тела до некоторой неподвижной (основной) плоскости остается неизменным во все время движения

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела
При изучении кинематики плоско-параллельного движения твердого тела за полюс можно принимать любую точку тела. При решении задач динамики за полюс всегда принимают центр масс тела, а в качестве под

Система Кенига. Первая теорема Кенига
(Изучить самостоятельно) Пусть система отсчета неподвижная (инерциальная). Система

Работа и мощность силы. Потенциальная энергия
Половина произведения массы точки на квадрат ее скорости называется кинетической энергией материальной точки. Кинетической энергией механической системы назы

Работа внутренних сил геометрически неизменяемой механической системы
Заметим, что в отличие от теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении кинетического момента в теорему об изменении кинетической энергии в общем случае входят внутренние силы.

Вычисление кинетической энергии абсолютно твердого тела
Получим формулы для вычисления кинетической энергии абсолютно твердого тела при некоторых его движениях. 1. При поступательном движении в любой момент времени скорости всех точек тела один

Работа внешних сил, приложенных к абсолютно твердому телу
В разделе «Кинематика9quot; установлено, что скорость любой точки твердого тела геометрически складывается из скорости точки, принятой за полюс, и скорости, полученной точкой при сферическом д

Работа силы тяжести
При вычислении работы силы тяжести будем считать, что мы рассматриваем ограниченную область пространства вблизи поверхности Земли, размеры которой малы по сравнению с размерами Земл

Работа упругой силы
Понятие упругой силы обычно ассоциируется с реакцией линейно–упругой пружины. Направим ось вдоль пр

Работа вращающего момента
Пусть сила приложена в некоторой точке тела, имеющего ось вращения. Тело вращается с угловой скорос

Возможные скорости и возможные перемещения
Понятия возможной скорости и возможного перемещения введем сначала для материальной точки, на которую наложена голономная удерживающая нестационарная связь. Возможной скоростью мат

Идеальные связи
Связи, наложенные на механическую систему, называются идеальными, если сумма работ всех реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю:

Принцип возможных перемещений
Принцип возможных перемещений устанавливает условия равновесия механических систем. Под равновесием механической системы традиционно понимают состояние ее покоя по отношению к выбранной инерциально

Общее уравнение динамики
Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек, на которую наложены идеальные уде

§ 123. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

Доказанная в § 89 теорема справедлива для любой из точек системы. Следовательно, если рассмотреть какую-нибудь точку системы с массой имеющую скорость то для этой точки будет

где — элементарные работы действующих на точку внешних и внутренних сил. Составляя такие уравнения для каждой из точек системы и складывая их почленно, найдем, что

Равенство (49) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Проинтегрировав обе части этого равенства в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна в положение, где значение кинетической энергии становится равным , получим

Это уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии в другой (интегральной) форме: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

В отличие от предыдущих теорем внутренние силы в уравнениях (49) или (50) не исключаются. В самом деле, если — силы взаимодействия между точками системы (рис. 309), то

Но при этом точка может перемещаться по направлению к а точка — по направлению к Работа каждой из сил будет тогда положительной и сумма работ нулем не будет. Например, при выстреле (см. задачу 127 в § 112) силы давления пороховых газов, являющиеся для системы снаряд — откатывающиеся части внутренними, совершают работу и сообщают скорости телам системы.

Рассмотрим два важных частных случая.

1. Неизменяемая система. Неизменяемой будем называть механическую систему, в которой расстояние между каждыми двумя взаимодействующими точками остается во все время движения постоянным.

Рассмотрим две точки неизменяемой системы действующие друг на друга с силами (см. рис. 309). Тогда, поскольку при движении отрезка должно быть (см. § 55), то и так как — соответственно скорости и элементарные перемещения точек Кроме того, . В результате для суммы элементарных работ этих сил получим

же получится и для всех других взаимодействующих точек системы. В итоге приходим к выводу, что в случае неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и уравнения (49) или (50) принимают вид

2. Система с идеальными связями. Рассмотрим систему, на которую наложены связи, не изменяющиеся со временем. Разделим все действующие на точки системы внешние и внутренние силы на активные и реакции связей. Тогда уравнение (49) можно представить в виде

где — элементарная работа действующих на точку системы внешних и внутренних активных сил, а — элементарная работа реакций, наложенных на ту же точку внешних и внутренних связей.

Как видим, изменение кинетической энергии системы зависит от работы и активных сил и реакций связей. Однако можно ввести понятие о таких «идеальных» механических системах, у которых наличие связей не влияет на изменение кинетической энергии системы при ее движении. Для таких связей должно, очевидно, выполняться условие

Если для связей, не изменяющихся со временем, сумма работ всех реакций при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи являются идеальными Укажем ряд известных нам видов идеальных связей.

В § 89 было установлено, что если связью является неподвижная поверхность (или кривая), трением о которую можно пренебречь, то при скольжении тел вдоль такой поверхности (кривой) работа реакции N равна нулю. Затем в § 122 показано, что если пренебречь деформациями, то при качении без скольжения тела по шероховатой поверхности работа нормальной реакции N и силы трения (т. е. касательной составляющей реакции) равна нулю. Далее, работа реакции R шарнира (см. рис. 10 и 11), если пренебречь трением, будет также равна нулю, поскольку точка приложения силы R при любом перемещении системы остается неподвижной. Наконец, если на рис. 309 материальные точки рассматривать как связанные жестким (нерастяжимым) стержнем то силы будут реакциями стержня; работа каждой из этих реакций при перемещении системы не равна нулю, но сумма этих работ по доказанному дает нуль. Таким образом, все перечисленные связи можно с учетом сделанных оговорок считать идеальными.

Для механической системы, на которую наложены только не изменяющиеся со временем идеальные связи, будет

Таким образом, изменение кинетической энергии системы с идеальными, не изменяющимися со временем связями при любом ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении приложенных к системе внешних и внутренних активных сил.

Все предыдущие теоремы позволяли исключить из уравнений движения внутренние силы, но все внешние силы, в том числе и наперед неизвестные реакции внешних связей, в уравнениях сохранялись. Практическая ценность теоремы об изменении кинетической энергии состоит в том, что при не изменяющихся со временем идеальных связях она позволяет исключить из уравнений движения все наперед неизвестные реакции связей.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

умножим первое уравнение на а второе на и в результате получим: ; ; T=T1 +T2 -кинетическая энергия механической системы. — теорема об изменении кинетической энергии. Изменение кинетичекой энергии в единицу времени механической системы обусловлено работой совершающей в единицу времени внешними и внутренними силами. T1 +T2 )= ; ; воспользуемся тем фактом,что силовые поля являя потенциальными полями, это значит что для всех полей выполн след соотнош: ; ; ; ( = . -где — энергия взаимодействия механической системы с внешним полем где ; ; ; ; где — потенциальная энергия взаимод двух точек; — потенциальная энергия системы взаимод с внешним полем. ; W-полная энергия. W=T1 +T2 +T3 + ; W= ; W=T+ ; — закон сохранения энергии. Следствие 1: если внешнее поле отсутствует, то полная энергия будет состоять из: W=T+ . при Следствие 2: если центр масс выразить через радиус:

;;; W= — полная энергия механической системы. — кинетическая энергия механической системы, как целая, когда определяется движение центра масс механической системы.; — приведенная масса. Кинетическая энергия механической системы, как материальная точка с приведенной массой и относительной скоростью — потенциальная энергия.

12. Описание упругих колебаний материальной точки на основании 2-го закона Ньютона и закона сохранения энергии. ; ; механ.Ньютона ;;;;;;;;;;;;;. ; ; ; ; -полная энергия; = — уравнение движения ; ; ; y= dy=dz; ; C =-2 ; ; ; ;

13.Связи. Уравнения связей. -уравнение связи ;Связь – это совокупность тел огранич.движение определенного тела. Связи кот. огранич.движение тел описываются аналитическими ур-ями кот. наз.ур-ями связи. Рассмотрим движ. Одной мат.т.движ. кот.ограничена связеми. f( =0; где t-время, ( =0, ( =0, ( =0, ( =0; f(x)=0, f(x)=x-l; уравнение плоскости является связью -функции связи

Каждая определенная связь ограниченная движением мат.точки уменьшает число степеней свободы. стационарные связи – это такие связи ф-ии кот. явно не зависят от времени. в противном случае если ф-ии зависят от времени то она стационарная. В механ.использ. голономные и неголономные связи. Голономн. наз.связи кот. можно определить аналитич.ур-ями и эти ур-ия описываются опред. ур-ями поверхностей в противном случае связь явл.неголономной. силы кот.обусловленны действия связи наз.пассивными или реактивными силими. Активными наз.силы кот вызывают ускорение мат. точек. Если мат.система состоит из N мат.точек 3N-P=r; Определение числа механ.системы с учетом связи огранич.движ.мех.системы. Виды перемещений: Действительные перемещения-это перемещение мат.точки под действием активных и пассивных сил. Возможные- это перемещ.кот.огран.связями действующ.на мат. точку или тело. Виртуальные – это вооброжаемые перемещ. кот. обусловл.действием активных и пассивных сил.

14.Элементы дифференцирования и варьирования в теоретической мех. ; dz=vdt; z=z(t); ; Если в данный фиксированный момент времени переход от одной траектории к другой. то эта операция перехода от одной траектории к другой близко расположенной относительно основной траектории наз.варьированием. -варьирование преременных. С помощью операции варьирования определяется виртуальное варьирование. Если речь идет о вычислении вариации ф-ии зависящей от вариации ; ; ; ( =0, ; ( = ; ( = ; ; = ; =

15. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Рассм. Мех. состоящую из N мат.т.на это на мех.систему наложено p связей(идеальных). r=3N-p Связи описываются ур-ями связи ; все связи идеальны . Вычислим вариации ф-ции . ; умножим ур-ние на и сложим все ур-ия. ; ; Если бы число степеней свободы мех. системы 3N то каждая было бы независимым и тогда выражение в квадратных скобках можно было бы прировнять к нулю, но число степеней свободы меньше 3N и равно 3N-p где р – число ур-ний связи.поэтому мы такого утверждения сделать не можем т.к. неопределенные множители то мы подберем их таким образом что бы в каждом слогаемым выражение в квадратных скобках=0; из явного вида ф-лы связь реакции связи с ур-ями (функциями связи). ; — ур-ние Лагранжа 1-го рода.

Рассм. мех.сис-му, состоящ. из N материальн.точек. На эту мех.сис-му наложено р-связей идеальных. Число степеней свободы r = 3N-p.

Вычислим теперь вариацию функций ур-я (8.1):

Умножим теперь кажд.ур-е (8.3) на множитель и сложим эти ур-я,тогда получ.:

Если бы число степеней свободы мех.сис-мы было 3N, то каждая d было бы независ. и тогда выраж-е в [ ] скобках можно было бы приравнять к 0, но число степеней свободы меньше 3N и равно 3N-p, где р- число ур-й связи, поэтому такого утверждения мы сделать не можем, однако, поскольку неопред.множители, то мы подберем их т.образом, чтобы в каждом слагаемом (8.5) выр-е в [ ] равнялись нулю. След-но из нашего утверждения следует, что

Из явного вида ф-лы (8.6) следует связь реакции связи с ур-ями (ф-циями) связи

Если учтем ур-е (8.6), то получ.

Это и есть ур-е Лагранжа 1-го рода.

реакция связи, наз.идеальной для одной матер.точки,если выполн.ур-е:

При движ-ии матер.точки сил действующих на матер.точку =0

Если ур-е (7.9) скалярно умножим на d . то ( =0 (7.10), это ур-е наз.общим ур-ем механики для одной матер.точки.

Для сис-мы состоящ.из n матер.точек принцип Д*аламбера будет записан так:

Если умножим (7.11) скалярно на d . а затем проссумируем.то получим:

Если связь идеальна, то это ур-е запиш. В виде:

Общее ур-е механики

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *